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数学知识点整理


初中数学定理、公式汇编
一、数与代数 1. 数与式 (1)实数的性质:

分式 ①分式的基本性质:分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不

?a(a ? 0) 1 ? ①实数 a 的相反数是—a,实数 a 的倒数是 (a≠0) ;②实数 a 的绝对值: a ? ?0(a ? 0) a ?? a (a ?

0) ?
③正数大于 0,负数小于 0,两个负实数,绝对值大的反而小。 二次根式: ①积与商的方根的运算性质: ; ab ? a ? b (a≥0,b≥0)

a a?m a a?m ? ? ; ,其中 m 是不等于零的代数式; b b?m b b?m a c ac a c a d ad ( c ? 0) ; ②分式的乘法法则: ? ? ;③分式的除法法则: ? ? ? ? b d bd b d b c bc
变,即 ④分式的乘方法则: (

a n an a b a?b ) ? n (n 为正整数) ;⑤同分母分式加减法则: ? ? ; b c c c b
a d ab ? cd ? ? ; c b bc

⑥异分母分式加减法则: 2. 方程与不等式

a a (a≥0,b>0) ; ? b b

②二次根式的性质: a 2 ? a ? ? (2)整式与分式

?a(a ? 0) ?? a(a ? 0)

? b ? b 2 ? 4ac 2 ①一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0)的求根公式: x ? (b ? 4ac ? 0) 2a
2

②一元二次方程根的判别式: ? ? b ? 4ac 叫做一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0)的
2 2

①同底数幂的乘法法则: 同底数幂相乘, 底数不变指数相加, 即

a m ? a n ? a m?n(m、n 为正整数) ;

根的判别式: ? ? 0 ? 方程有两个不相等的实数根; ? ? 0 ? 方程有两个相等的实数根; ? ? 0 ? 方程没有实数根; ③一元二次方程根与系数的关系:设 x1 、 x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0)的两个根,
2

②同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n 为正整数,m>n) ; ③幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘,即 ④零指数:

a m ? a n ? a m?n

那么 x1 + x2 = ?

b c , x1 x 2 = ; a a

(ab) n ? a n b n (n 为正整数) ;

a 0 ? 1 (a≠0) ;
1 an
(a≠0,n 为正整数) ;
2

④一元一次不等式组的解. (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分,即这个不等式的解。 (口诀:同大取大,同小 取小;大于小的小于大的,取两者之间;大于大的小于小的,无解。 ) 14.不等式组的分类及解集(a<b) .

?n ? ⑤负整数指数: a

⑥平方差公式:两个数的和与两个数的差的积等于这两个数的平方,即 (a ? b)(a ? b) ? a

? b2 ;

⑦完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的 2 倍, 即 (a ? b)
2

? a 2 ? 2ab ? b 2 ;

3.函数 (1)一次函数的图象:函数 y=kx+b(k、b 是常数,k≠0)的图象是过点(0,b) 且与直线 y=kx 平行的一条直线; 一次函数的性质:设 y=kx+b(k≠0) ,则当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大; 当 k<0, y 随 x 的增大而减小; (2)正比例函数的图象:函数 正比例函数的性质:设

y ? kx 的图象是过原点及点(1,k)的一条直线。

y ? kx(k ? 0) ,则:
②当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小;

①当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大;

k (3)反比例函数的图象:函数 y ? (k≠0)是双曲线; x
反比例函数性质:如果 k>0,则当 x>0 时或 x<0 时,y 分别随 x 的增大而减小 如果 k<0,则当 x>0 时或 x<0 时,y 分别随 x 的增大而增大; (4)二次函数的图象:函数 y

? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是对称轴平行于 y

轴的抛物线;

①开口方向:当 a>0 时,抛物线开口向上,当 a<0 时,抛物线开口向下;

b b 4ac ? b 2 , ); ②对称轴:直线 x ? ? ;③顶点坐标( ? 2a 2a 4a
④增减性:当 a>0 时,如果 x ? ?

二、空间与图形 1 角 角平分线的性质: 角平分线上的点到角的两边距离相等,角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。 2 相交线与平行线 同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等; 对顶角的性质:对顶角相等 3 垂线的性质: ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短; 4 线段垂直平分线定义:过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线; 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等, 到线段两端点的距离相 等的点在线段的垂直平分线; 5 平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线; 6 平行线的判定: ①同位角相等,两直线平行; ②内错角相等,两直线平行; ③同旁内角互补,两直线平行; 7 平行线的性质: ①两直线平行,同位角相等; ②两直线平行,内错角相等; ③两直线平行,同旁内角互补; 8 平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 9 三角形的三边关系定理及推论:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; 10 三角形的内角和定理:三角形的三个内角的和等于 180 ; 11 三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和; 三角形的外角和定理推理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角; 12 三角形的三条高的的交点(垂心) 三角形的三条中线的交点(重心) 三角形的三条角平分线交于一点(内心) ; 三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心) ; 13 三角形中位线定理:三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半; 14 全等三角形的判定: ①边角边公理(SAS)②角边角公理(ASA)③角角边定理(AAS)④边边边公理(SSS) ⑤斜边、直角边公理(HL) 15 等腰三角形的性质: ①等腰三角形的两个底角相等; (等边对等角) ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一) 16 等腰三角形的判定: 有两个角相等的三角形是等腰三角形; (等角对等边)
?

b ,则 y 随 x 的增大而减小, 2a b 如果 x ? ? ,则 y 随 x 的增大而增大; 2a b 当 a<0 时,如果 x ? ? ,则 y 随 x 的增大而增大, 2a b 如果 x ? ? ,则 y 随 x 的增大而减小; 2a
2

⑤二次函数与一元二次方程的关系: 一元二次方程 ax

? bx ? c ? 0 ,

? ? 0 ? 方程有两个不相等的实数根 ? y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 与 x 轴有两个交点
? ? 0 ? 方程有两个相等的实数根 ?
? ? 0 ? 方程没有实数根 ?

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 与 x 轴有 1 个交点

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 与 x 轴没有交点

17 等边三角形的性质: 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 60° 18 等边三角形的判定: ① 三个角都相等的三角形是等边三角形。 ② 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 19 直角三角形的性质: ①直角三角形的两个锐角互为余角; ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; ③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理) ; ④直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半; 20 直角三角形的判定: ①有两个角互余的三角形是直角三角形; ②如果三角形的三边长 a、b 、c 有下面关系 a ? b ? c ,那么这个三角形是直角三角形
2 2 2 ?

(勾股定理的逆定理) 。 (21 四边形 多边形的内角和定理:n 边形的内角和等于 (n ? 2) ? 180? (n≥3,n 是正整数) ; 22 平行四边形的性质: ①平行四边形的对边相等; ②平行四边形的对角相等; ③平行四边形的对角线互相平分; 23 平行四边形的判定: ①两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③对角线互相平分的四边形是平行四边形; ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 24 矩形的性质: (除具有平行四边形所有性质外) ①矩形的四个角都是直角; ②矩形的对角线相等; 25 矩形的判定: ①有三个角是直角的四边形是矩形; ②对角线相等的平行四边形是矩形; 26 菱形的特征: (除具有平行四边形所有性质外 ①菱形的四边相等; ②菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角; 27 菱形的判定: 四边相等的四边形是菱形; 28 正方形的特征: ①正方形的四边相等; ②正方形的四个角都是直角; ③正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角; 29 正方形的判定: ①有一个角是直角的菱形是正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形。

30 等腰梯形的特征: ①等腰梯形同一底边上的两个内角相等 ②等腰梯形的两条对角线相等。 31 等腰梯形的判定: ①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 32 圆的定义。 (1) 、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 (2) 、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 33 圆的各元素。 (1) 、半径:圆上一点与圆心的连线段。 (2) 、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 (3) 、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦) 。 (4) 、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 劣弧: 小于半圆周的弧。 优弧: 大于半圆周的弧。 (5) 、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 (6) 、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 (7) 、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 34 圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 35 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧; 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 36 圆心角、弦和弧三者之间的关系: 在同圆或等圆中,圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等,可以得到另外两组也相等; 37 平行弦夹等弧:圆的两条平行弦所夹的弧相等; 38 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数; 39 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等; 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量分别相等; 40 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的 一半。 圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,反过来,90 的圆周角所对的弦是直径; 41 圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。 42 圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆; (这个圆叫三角形的外接圆,圆心叫三角形的 外心,到三个顶点的距离相等,直角三角形的外心就是斜边的中点,钝角三角形的外 心在三角形的外部,锐角三角形的外心在三角形的内部)
?

43 点与圆的位置关系(设圆的半径为 r,点 P 到圆心 O 的距离为 d) : ①点 P 在圆上,则 d=r,反之也成立; ②点 P 在圆内,则 d<r,反之也成立; ③点 P 在圆外,则 d>r,反之也成立; 44 直线和圆的位置关系(d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;这条直线叫圆的割线 直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;这条直线叫圆的切线,这个点叫切点 直线与圆没有交点,直线与圆相离。 d< r(r > d) d= r 直线与圆相交。 直线与圆相切。

50 弧长计算公式: l ?

n ?R (R 为圆的半径,n 是弧所对的圆心角的度数, l 为弧长) 180

51 扇形面积: S 扇形

?

n ?R 2 或 S 扇形 ? 1 lR (R 为半径,n 是扇形所对的圆心角的度数, 360 2

l 为扇形的弧长)
52 圆锥的侧面展开图是扇形, 圆锥母线变扇形半径,底面周长变扇形弧长。 扇形圆心角α 圆锥母线 a 高h

d > r(r <d) 直线与圆相离。 45 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线; A 46 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径; 47 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,这一点到两切点的线段相等, 1 O· P 2 它与圆心的连线平分两切线的夹角; ∵ PA、PB 切⊙O 于点 A、B ∴ PA=PB,∠1=∠2。 B 48 内切圆及有关计算。 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,到三边的距离相等。 (2)三角形的内心在三角形的内部。 (3)如图,△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O 切△ABC 三边于点 D、E、F。 求:AD、BE、CF 的长。 A 分析:设 AD=x,则 AD=AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x. x x F 7 5 D 可得方程:5-x+7-x=6,解得 x=3 O 7-x 5-x (4)△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c。 B C 求内切圆的半径 r。 A 5-x E 7-x 6 分析:先证得正方形 ODCE,得 CD=CE=r b-r b-r

展开
底面半径 r

扇形半径

扇形弧长 底面周长

53 扇形的圆心角α =

r ? 360 0 a
S 全= ? ar+ ? r2

54、S 侧= ? ar
55、弓形面积 S弓形

h2 ? r 2 ? a2

a?b?c AD=AF=b-r,BE=BF=a-r, b-r+a-r=c 得 r= 2 1 (5)S△ABC= r ( a ? b ? c) 2 49 圆与圆位置关系(d 表示圆心距,r1>r2)
(1)外离:d>r1+r2, 交点有 0 个; 外切:d=r1+r2, 交点有 1 个; 相交:r1-r2<d<r1+r2,交点有 2 个; 内切:d=r1-r2, 交点有 1 个; 内含:0≤d<r1-r2, 交点有 0 个。 (2)性质。 相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 相切两圆的连心线必经过切点。

? S扇形 ? S ?

F D r r C r E a-r rO a-r B

相切

相离

56 尺规作图(基本作图、利用基本图形作三角形和圆) 作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角;作已知角的平分线; 作线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线; 58、视图与投影 画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图、左视图、俯视图) ; 基本几何体的展开图(除球外) 、根据展开图判断和设别立体模型; 59.图形与变换 图形的轴对称 轴对称的基本性质:对应点所连的线段被对称轴平分; 等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形; 图形的平移 图形平移的基本性质:对应点的连线平行且相等;

图形的旋转 图形旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋 转中心连线所成的角彼此相等; 平行四边形、矩形、菱形、正多边形(边数是偶数) 、圆是中心对称图形; 图形的相似 比例的基本性质:如果

(3)频率分布直方图 频率= 频数 ,各小组的频数之和等于总数,各小组的频率之和等于 1,
总数

频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。 (4)平均数的两个公式 n 个数 x1 、 x2 ……, xn 的平均数为: x
?

a c a c ? ,则 ad ? bc ,如果 ad ? bc ,则 ? (b ? 0, d ? 0) b d b d

相似三角形的设别方法: ①两组角对应相等 ②两边对应成比例且夹角对应相等 ③三边对应成比例 相似三角形的性质:①相似三角形的对应角相等;②相似三角形的对应边成比例; ③相似三角形的周长之比等于相似比; ④相似三角形的面积比等于相似比的平方; 相似多边形的性质: ①相似多边形的对应角相等;②相似多边形的对应边成比例; ③相似多边形的面积之比等于相似比的平方; 图形的位似与图形相似的关系:两个图形相似不一定是位似图形,两个位似图形一定是相似图形; 60、Rt△ABC 中,∠C= 90 ,SinA= ?A的对边 ,cosA= ?A的邻边 , tanA= ?A的对边 ,
?



?

x1 ? x 2 ? ......? x n n



② 如果在 n 个数中, x1 出现 f1 次、 x2 出现 f 2 次……, xk 出现 f k 次,并且 f1 + f 2 ……+ f k =n,



x?

?

x1 f 1 ? x 2 f 2 ? ......? x k f k n



斜边

斜边

?A的邻边

特殊角的三角函数值:

30?
Sinα

45?

60?

(5)极差、方差与标准差计算公式: ①极差: 一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围,这种方法得到的差称为极差, 即:极差=最大值-最小值; ②方差:

1 2

2 2 2 2
1

3 2
1 2

数据 x1 、 则 x2 ……, xn 的方差为 s , ③标准差: 数据 x1 、 x2 ……, xn 的标准差 s ,

2

s

? 2 ? 2 ? 2? 2 1 ?? ? ? ? ? ? = ?? x1 ? x ? ? ? x 2 ? x ? ? .....? ? x n ? x ? ? n? ? ? ? ? ? ? ?? ?

Cosα

3 2

tanα

3 3

3

则s=

三、概率与统计 1.统计 数据收集方法、数据的表示方法(统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图) (1)总体与样本 所要考察对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体, 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体数目叫做样本的容量。 数据的分析与决策(借助所学的统计知识,对所收集到的数据进行整理、分析, 在分析的结果上再作判断和决策) (2)众数与中位数 众数:一组数据中,出现次数最多的数据; 中位数:将一组数据按从大到小依次排列,处在最中间位置的数据。

? 2 ? 2 ? 2? 1 ?? ? ? ? ? ? ?? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? .....? ? xn ? x ? ? n? ? ? ? ? ? ? ?? ?

一组数据的方差越大,这组数据的波动越大。 1. 概率 ①如果用 P 表示一个事件发生的概率,则 0≤P(A)≤1; P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0; ②在具体情境中了解概率的意义,运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率。 ③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值; 3. 统计的初步知识、概率在社会生活中有着广泛的应用,能用所学的这些知识解决实际问题。


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