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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-1函数及其表示试题


2-1 函数及其表示
1.(2011·浙江嘉兴一中模拟)设集合 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列 四个图形,其中能表示以集合 M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( )

[答案] B [解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应,A 中 x∈

(0,2]时没有函数值,C 中函数值不唯一,D 中的值域不是 N,所以选 B. 2.(文)(2011·广州市综合测试)函数 y= 1-2x的定义域为集合 A,函数 y=ln(2x+ 1)的定义域为集合 B,则 A∩B 等于( 1 1 A.(- , ] 2 2 1 C.(-∞,- ) 2 [答案] A ) 1 1 B.(- , ) 2 2 1 D.[ ,+∞) 2

? ?1-2x≥0, [解析] 由? ?2x+1>0, ?

?x≤1, ? 2 得? 1 ?x>-2. ?

1 1 ∴- <x≤ , 2 2

1 1 故 A∩B=(- , ]. 2 2 (理)(2010·湖北文,5)函数 y= 1 log0.5? 4x-3? 的定义域为( )

?3 ? A.? ,1? ?4 ?

?3 ? B.? ,+∞? ?4 ?

C.(1,+∞) [答案] A

?3 ? D.? ,1?∪(1,+∞) ?4 ?

[解析] log0.5(4x-3)>0=log0.51,∴0<4x-3<1, 3 ∴ <x<1. 4

?? ? 3. (2011·山东潍坊模拟)已知 f(x)=? ?f? ?
A. 1 12

1 ? 2

x

,x≥3,

则 f(log23)的值是(

)

x+1? ,x<3.
B. 1 24

C.24 [答案] A [解析] ∵1<log23<2,∴3<log23+2<4, ∴f(log23)=f(log23+1) =f(log23+2)=f(log212) 1 1 =( )log212= . 2 12

D.12

?2 ,x>0, ? 4.(2011·福建文,8)已知函数 f(x)=? ? ?x+1,x≤0,

x

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a

的值等于( A.-3 C.1 [答案] A

) B.-1 D.3

[解析] ∵f(1)=2 =2,∴由 f (a)+f(1)=0 知 f(a)=-2. 当 a>0 时 2 =-2 不成立.当 a<0 时 a+1=-2,a=-3.
?2 ? 5.(文)(2010·广东六校)设函数 f(x)=? ? ?log2x
x a

1

x∈? -∞,2], x∈? 2,+∞? .

则满足 f(x)=4

的 x 的值是( A.2 C.2 或 16 [答案] C

) B.16 D.-2 或 16

[解析] 当 f(x)=2 时.2 =4,解得 x=2. 当 f(x)=log2x 时,log2x=4,解得 x=16. ∴x=2 或 16.故选 C.

x

x

? ?2 -1 (理)设函数 f(x)=? ? ?lgx

1-x

? x<1? ?



x≥1? .

若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(

)

A.(-∞,0)∪(10,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,10) D.(0,10) [答案] A [解析] 由?
? ?x0<1, ? ?21-x0-1>1, ? ?x0≥1, 或? ? ?lgx0>1.

? x0<0 或 x0>10.

1 6.(2012·山东聊城市质检)具有性质 f( )=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交

x

换的函数,下列函数:

?x,? 0<x<1? , ?0,? x=1? , 1 1 ①f(x)=x- ;②f(x)=x+ ;③f(x)=? x x 1 ?-x,? x>1? . ?
的函数是( A.①② C.②③ [答案] B 1 1 [解析] ①f( )= -x=-f(x)满足. ) B.①③ D.只有①

中满足“倒负”变换

x

x

1 1 ②f( )= +x=f(x)不满足.

x

x

1 ③0<x<1 时,f( )=-x=-f(x),

x

x=1 时,f( )=0=-f(x), x x>1 时,f( )= =-f(x)满足.故选 B. x x
7.(文)(2011·济南模拟)已知函数 f(x)= [答案] 0 1 -1 1 x 1-x [解析] ∵f( )= = , x 1 1+x +1 1 1

1

x-1 1 ,则 f(x)+f( )=________. x+1 x

x

1 x-1 1-x ∴f(x)+f( )= + =0. x x+1 1+x (理)若 f(a+b)=f(a)·f(b)且 f(1)=1, 则 =________. [答案] 2011 [解析] 令 b=1,则 ∴

f? 2? f? 3? f? 4? f? 2012? + + +?+ f? 1? f? 2? f? 3? f? 2011?

f? a+1? =f(1)=1, f? a?

f? 2? f? 3? f? 4? f? 2012? + + +?+ =2011. f? 1? f? 2? f? 3? f? 2011? x

2 8.(文)(2011·武汉模拟)已知 f( +1)=lgx,则 f(x)=________. [答案] lg 2 (x>1) x-1

2 2 [解析] 令 +1=t,∵x>0,∴t>1,则 x= , x t-1 ∴f(t)=lg 2

t-1

,f(x)=lg

2

x-1

(x>1).
? ?a,a≤b, ?b,a>b. ?

(理)对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}=?

设函数 f(x)=-x+3,g(x)

=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是__________. [答案] 1
? ?log2x [解析] 结合 f(x)与 g(x)的图象,h(x)=? ? ?-x+3

? ?

0<x≤2?

x>2? ,

易知 h(x)的最大

值为 h(2)=1.

9.(文)(2011·广东文,12)设函数 f(x)= x cosx +1.若 f(a)=11,则 f(- a)= ________. [答案] -9 [解析] 令 g(x)=x cosx,则 f(x)=g(x)+1,g(x)为奇函数.
3

3

f(a)=g(a)+1=11,所以 g(a)=10,f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9.
(理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:

f(x)·f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(2011)=________.
[答案] 13 2 13

[解析] ∵f(x+4)=

f? x+2?



13 =f(x), 13 f? x?

∴函数 f(x)的周期为 4, 所以 f(2011)=f(4×502+3)=f(3)= 13 13 = . f? 1? 2

?x2+1, -1<x<0, ? 2 10.已知函数 f(x)=? ?ex-1 x≥0. ?
[解析] ∵f(1)=e ∴f(a)=1. 1 2 若-1<a<0,则 f(a)=a + =1, 2 1 2 此时 a = , 2
1-1

若 f(1)+f(a)=2,求 a 的值.

=1,又 f(1)+f(a)=2,

又-1<a<0,∴a=- 若 a≥0,则 f(a)=e

2 . 2 =1,∴a=1. 2 . 2 能力拓展提升

a-1

综上所述,a 的值是 1 或-

11.(文)(2011·天津一中)若函数 f(x)= 围是( )

x-4 的定义域为 R, 则实数 m 的取值范 mx2+4mx+3

A.(-∞,+∞) 3 C.( ,+∞) 4 [答案] D [解析] ①m=0 时,分母为 3,定义域为 R.
? ?m≠0, ②由? ?Δ <0 ?

3 B.(0, ) 4 3 D.[0, ) 4

3 得 0<m< . 4

3 综上得 0≤m< . 4 (理)(2011·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数 f(x)对于任意实数 x,存在常数 M,使得不等 式|f(x)|≤M|x|恒成立,那么就称函数 f(x)为有界泛函.下面有 4 个函数: ①f(x)=1; ②f(x)=x ; ③f(x)=(sinx+cosx)x; ④f(x)= 其中有两个属于有界泛函,它们是( A.①② C.①③ [答案] D [解析] 由|f(x)|≤M|x|对 x∈R 恒成立,知| ①中? ②中? ③中?
2

x . x +x+1
2

) B.②④ D.③④

f? x? |max≤M. x

?f? x? ?=|1|∈(0,+∞),故不存在常数 M 使不等式恒成立; ? ? x ? x ?f? x? ?=|x|∈[0,+∞),故不存在常数 M 使不等式恒成立; ? ? x ? ?f? x? ?=|sinx+cosx|= 2|sin(x+π )|≤ 2,故存在 M 使不等式恒成立; ? 4 ? x ?

1 ? ? 4 ?f? x? ?=? 2 1 ?=? ④中? ? ?x +x+1? ?? x+1? 2+3?≤3, ? ? x ? ? ? 2 4? ? 故存在 M 使不等式恒成立. [点评] 作为选择题判断①后即排除 A、C,判断②后排除 B,即可选出 D. 12.(文)(2011·海南海口模拟)对 a,b∈R,记 min{a,b}=? 1 =min{ x,-|x-1|+2}(x∈R)的最大值为________. 2 [答案] 1 1 [解析] y=f(x)是 y= x 与 y=-|x-1|+2 两者中的较小者, 数形结合可知, 函数的 2 最大值为 1.
?a? ? ? ?b?

a<b? , a≥b? ,

函数 f(x)

(理)(2011·山东烟台模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数
? ?f? x? ,f? x? ≤K, K,定义函数 fK(x)=? ?K, f? x? >K. ?

取函数 f(x)=a

-|x|

1 (a>1).当 K= 时,函数

a

fK(x)在下列区间上单调递减的是(
A.(-∞,0) C.(-∞,-1) [答案] D

) B.(-a,+∞) D.(1,+∞)

[解析]

?a ,a ≤1, ? a 1 当 K= 时,f (x)=? a 1 1 ?a,a >a. ?
-|x| -|x|

K

-|x|

1 ?? a? ,x≤-1或x≥1, ? =? 1 ?a,-1<x<1. ?
|x |

1 ∵a>1,∴0< <1,如图,作出函数 fK(x)的图象可得其单调减区间为(1,+∞).

a

13.(文)(2011·上海交大附中月考)函数 f(x)=

x2
2

x +1

1 1 1 ,则 f( )+f( )+f( )+f(1)+ 4 3 2

f(2)+f(3)+f(4)=________.
[答案] 7 2

1 x2 1 1 x2 x2 1 1 1 1 [解析] f(1)= , (x)+f( )= 2 + f = 2 + 则 f( )+f( )+f( ) 2=1, 2 x x +1 1 x +1 1+x 4 3 2 2+1

x

1 7 +f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+ = . 2 2 (理)(2011·襄樊检测)设函数 f(x)=?
? ?x +bx+c, ?2, ?
2

x≤0,

x>0.
)

若 f(-4)=f(0),f(-

2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( A.1 [答案] C [解析] 法一:若 x≤0,则 f(x)=x +bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
?? -4? ? ∴? ?? -2? ?
2 2 2

B.2

C.3

D.4

+b·? +b·?

-4? -2?

+c=c, +c=-2,

解得?

?b=4, ? ?c=2. ?

? ?x +4x+2, ∴f(x)=? ? ?2, x>0.

2

x≤0,

当 x≤0 时,由 f(x)=x,得 x +4x+2=x, 解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2. ∴方程 f(x)=x 有 3 个解.

2

法二:由 f(-4)=f(0)且 f(-2)=-2,可得 f(x)=x +bx+c 的对称轴是 x=-2,且 顶点为(-2,-2),于是可得到 f(x)的简图(如图所示).方程 f(x)=x 的解的个数就是函 数 y=f(x)的图象与 y=x 的图象的交点的个数,所以有 3 个解. 4 14.(2011·洛阳模拟)已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域 |x|+2 是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有________个. [答案] 5 [解析] 由 0≤ 4 4 -1≤1,即 1≤ ≤2 得 |x|+2 |x|+2

2

0≤|x|≤2,满足条件的整数数对有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共 5 个. [点评] 数对(a,b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为 0,最大值为 2,才能满足

f(x)的值域为[0,1]的要求.
15.(文)已知函数 f(x)= 的解析式. 2 [解析] 由 f(2)=1 得 =1,即 2a+b=2; 2a+b 由 f(x)=x 得 变形得 x(

x (ab≠0),f(2)=1,又方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x) ax+b

x =x, ax+b

1 -1)=0, ax+b

1-b 解此方程得 x=0 或 x= ,

a

1-b 又因方程有唯一解,∴ =0,

a

1 解得 b=1,代入 2a+b=2 得 a= , 2 ∴f(x)= 2x . x+2

(理)(2011·广东普宁模拟)已知函数 f(x)=lg(x+ -2),其中 a 是大于 0 的常数. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)当 a∈(1,4)时,求函数 f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围. [解析] (1)由 x+ -2>0,得

a x

a x

x2-2x+a >0, x

a>1 时,x2-2x+a>0 恒成立,定义域为(0,+∞). a=1 时,定义域为{x|x>0 且 x≠1},
0<a<1 时,定义域为{x|0<x<1- 1-a或 x>1+ 1-a}. (2)设 g(x)=x+ -2,当 a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1- 2= 立, ∴g(x)=x+ -2 在[2,+∞)上是增函数. ∴f(x)=lg(x+ -2)在[2,+∞)上是增函数. ∴f(x)=lg(x+ -2)在[2,+∞)上的最小值为 f(2)=lg . x 2 (3)对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,即 x+ -2>1 对 x∈[2,+∞)恒成立. 3 2 9 2 2 ∴a>3x-x ,而 h(x)=3x-x =-(x- ) + 在 x∈[2,+∞)上是减函数,∴h(x)max= 2 4

a x

a x

x2-a >0 恒成 x2

a x

a x a

a

a x

h(2)=2,∴a>2.
16.某自来水厂的蓄水池存有 400t 水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60t,同时蓄水 池又向居民小区不间断供水,th 内供水总量为 120 6t t,(0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80t 时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的 24h 内,有几 小时出现供水紧张现象. [解析] (1)设 th 后蓄水池中的水量为 yt, 则 y=400+60t-120 6t(0≤t≤24)

令 6t=x,则 x =6t 且 0≤x≤12, ∴y=400+10x -120x=10(x-6) +40(0≤x≤12); ∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40, 即从供水开始到第 6h 时,蓄水池水量最少,只有 40t. (2)依题意 400+10x -120x<80, 得 x -12x+32<0, 8 32 解得 4<x<8,即 4< 6t<8,∴ <t< ; 3 3 ∵ 32 8 - =8,∴每天约有 8h 供水紧张. 3 3
2 2 2 2

2

1. (2011·江西文,3)若 f(x)=

1 ,则 f(x)的定义域为( 1 log ? 2x+1? 2 1 B.(- ,+∞) 2 1 D.(- ,2) 2

)

1 A.(- ,0) 2 1 C.(- ,0)∪(0,+∞) 2 [答案] C [解析] 要使函数有意义,则有
? ?2x+1>0 ? ? ?2x+1≠1

?x>-1 ? 2 ,所以? ?x≠0 ?

.故选 C.

2.值域为{2,5,10},对应关系为 y=x +1 的函数个数为( A.1 C.27 [答案] C B.8 D.39

2

)

[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况.当 y=2,即 x =1 时,x =1,-1 或±1 有三种情况,同理当 y=5,10 时,x 的值各有三种情况,由分步乘法计数原 理知,共有 3×3×3=27 种可能.故选 C. 3.水池有 2 个进水口,1 个出水口,每个水口的进出水速度如下图(1)(2)所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如下图(3)所示(至少打开一个水口).

2

给出以下 3 个论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; 点到 4 点不进水只出水; 点到 6 点不进水不出水. ②3 ③4 则 一定正确的论断是( A.① C.①③ [答案] A [解析] 由(1)、(2)两图得到每一个进水口的速度是出水口的速度的一半,在(3)图中 从 0 点到 3 点进了 6 个单位水量,因此这段时间是只进水不出水,故①对;从 3 点到 4 点水 量下降了 1 个单位,故应该是一个进水口开着,一个出水口开着,故②不正确;从 4 点到 6 点蓄水量保持不变, 一种情况是不进水不出水, 另一种情况是 2 个进水口与 1 个出水口同时 开着,进水量和出水量相同,故③不一定正确. ) B.①② D.①②③

x>0, ?log2x, ? 4.设函数 f(x)=? 1 ?log2? -x? , x<0. ?
( ) A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) [答案] C

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

[解析] 解法 1:由图象变换知函数 f(x)图象如图,且 f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇 函数,∴f(a)>f(-a)化为 f(a)>0,∴当 x∈(-1,0)∪(1,+∞),f(a)>f(-a),故选 C.

1 解法 2:当 a>0 时,由 f(a)>f(-a)得,log2a>log a, 2 ∴a>1; 1 当 a<0 时,由 f(a)>f(-a)得,log (-a)>log2(-a),∴-1<a<0,故选 C. 2 5.a、b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f 是 M 到 N 的映射,f(x)=x,则 a+b 的值为( A.-1 [答案] C [解析] ∵f(x)=x,∴f(1)=1=a,若 f( )=1,则有 =1,与集合元素的互异性矛 盾, ∴f( )=0,∴b=0,∴a+b=1. 6. (2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会, 规定各班每 10 人推选一名代表, 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班 人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( A.y=[ ] 10 C.y=[ ) ) B.0 C.1 D.±1

b a

b a

b a

b a

x

B.y=[ ] D.y=[

x+3
10 10

] ]

x+4
10

x+5

[答案] B [解析] 当 x 除以 10 的余数为 0,1,2,3,4,5,6 时,由题设知 y=[ ],且易验证此时 10

x

x x+3 [ ]=[ ]. 10 10
当 x 除以 10 的余数为 7,8,9 时,由题设知 y=[ ]+1,且易验证知此时[ ]+1= 10 10 [

x

x

x+3
10

].综上知,必有 y=[

x+3
10

].故选 B.

7.设函数 f(x)、g(x)的定义域分别为 F、G,且 F?G.若对任意的 x∈F,都有 g(x)=

f(x), g(x)为偶函数, 且 则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”. 已知函数 f(x)=? ? 2
x

?1? ? ?

(x≤0),若 g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数,则函数 g(x)的解析式为( A.g(x)=2
|x|

)

B.g(x)=log2|x| 1 D.g(x)=log |x| 2

?1?|x| C.g(x)=? ? ?2?
[答案] A

?1?x [解析] 由延拓函数的定义知,当 x≤0 时,g(x)=? ? ,当 x>0 时,-x<0,∴g(-x) ?2? ?1?-x x =? ? =2 , ?2?
∵g(x)为偶函数,∴g(x)=2 ,
x

??1?x ?? ? x≤0 故 g(x)=??2? ?2x x>0 ?

,即 g(x)=2 .

|x|

?log2? 1-x? ,x≤0, ? 8. (2011·合肥模拟)已知函数 f(x)=? ? ?f? x-1? +1,x>0.

则 f(2011)等于(

)

A.2008 C.2010 [答案] D

B.2009 D.2011

[解析] 当 x>0 时,f(x)-f(x-1)=1,∴f(2011) =[f(2011)-f(2010)]+[f(2010)-f(2009)]+?+[f(1)-f(0)]+f(0) =1+1+?+2011个+f(0)=2011+log21=2011. 1 9.

如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( )

[答案] C [解析] 函数在[0,π ]上的解析式为 d= 1 +1 -2×1×1×cosl= 2-2cosl = l 2l 4sin =2sin . 2 2 l =2sin ,故函数的解析式为 d= 2
2 2

在[π ,2π ]上的解析式为 d= 2-2cos? 2π -l? l 2sin ,l∈[0,2π ]. 2

[点评] 这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点,采用排除法; 或求函数解析式. 10.某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府通过投资 1 2 对该项特产的销售进行扶持,已知每投入 x 万元,可获得纯利润 P=- (x-40) +100 万 160 元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划 方案为:在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资,其中在前 5 年中,每年都 从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路, 公路 5 年建成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的 5 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每 159 119 2 投入 x 万元,可获纯利润 Q=- (60-x) + ·(60-x)万元,问仅从这 10 年的累积利 160 2

润看,该规划方案是否可行? [解析] 在实施规划前,由题设 P=- 1 2 (x-40) +100(万元),知每年只需投入 40 160

万,即可获得最大利润 100 万元,则 10 年的总利润为 W1=100×10=1000(万元). 实施规划后的前 5 年中,由题设 P=- 795 最大利润 Pmax= (万元), 8 795 3975 前 5 年的利润和为 ×5= (万元). 8 8 设在公路通车的后 5 年中,每年用 x 万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x)万元用 于外地区的销售投资, 则其总利润为 1 159 2 119 2 2 W2=[- (x-40) +100]×5+(- x + x)×5=-5(x-30) +4950. 160 160 2 当 x=30 时,W2=4950(万元)为最大值, 3975 从而 10 年的总利润为 +4950(万元). 8 ∵ 3975 +4950>1000, 8 1 2 (x-40) +100 知,每年投入 30 万元时,有 160

∴该规划方案有极大实施价值.


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