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高二圆锥曲线期末复习


圆锥曲线与方程复习
解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两 类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的 方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法 等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类 型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的 方程(

等量关系) ,侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于 形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物 线。 1、 三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义, (这种说法不作要求)三种圆锥曲线均可看成是这样的 点集: ?P | 如图: 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具 有规律性。 当 0<e<1 时,点 P 轨迹是椭圆;当 e>1 时,点 P 轨迹是双曲线;当 e=1 时, 点 P 轨迹是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、 F2 为定点},双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2 为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不 因为位置的改变而改变。 ① 定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中: 中心为两焦点中点; 椭圆及双曲线关于长轴、 短轴或实轴、 虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。
② 定量:
? ? | PF | ? ? e, e ? 0? ,其中 F 为定点,d 为 P 到定直线?的距离,F ? ?, d ?

椭 焦 距 2a

圆 2c

双 曲 线

抛 物 线 ——

长轴长

——

——

实轴长 短轴长 通径长 离心率 基本量关系

—— 2b 2·
e?
b2 a

2a

—— —— 2p 1

c a

a2=b2+c2

C2=a2+b2

——

(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) , 举焦点在 x 轴上的方程如下: 椭
x2


? y2 b2 ?1

双 曲 线
x2 a2 ? y2 b2 ?1

抛 物 线 y2=2px(p>0)

标准方程

a2

(a>b>0) 顶 焦 中 范 点 点 心 围 |x|≤a |y|≤b —— (±a,0) (0,±b)

(a>0,b>0) (±a,0) (0,0) ( ,0)
p 2

(±c,0) (0,0) |x|≥a ——

x≥0 |PF|=x0+
p 2

焦半径

总之研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形 结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。

二、常见结论:
x2 y 2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1 共同的焦点的双曲线 a 2 ? k b2 ? k a 2 b2 x2 y2 (2)与双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), 有共同渐近线的双曲线系方程为 a b 2 2 x y ? 2 ? ? (a>0,b>0,λ ≠0), 2 a b 当 λ >0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ <0 时,所求双曲线的焦点与已知的不在同一坐标轴上 (3)等轴双曲线的性质:

1、 (1)与双曲线

离心率为 2 ,渐近线方程为 y=±x 等轴双曲线可以设为 x2-y2=λ ≠0 2、焦点弦的性质 2 焦点弦 过 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点弦AB ,A( x1 , y1 )B( x2 , y 2 ) (1) AB ? x1 ? x2 ? p ?

p2 2p 2 ( 2 ) , , , y1 y2 ? ? p x1 x2 ? 4 sin 2 ?

(3)以 AB 为直径的圆与准线相切 (4)抛物线的通径:通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的 线段叫做抛物线的通径.通径的长为 2 p ,通径是过焦点最短的弦.


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