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椭圆定义及其标准方程


课题:2.1.1 椭圆的定义与标准方程
课型:新授课 执行时间:___年___月___日 知识与能力目标:学习椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的两种形式及其推 导过程;能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握用待定系数法求椭圆的标准方程. 过程与方法目标:通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探 索能力;通过对椭圆标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法, 提

高学生运用坐标法解决几何问题的能力,并渗透数形结合和等价转化的数学思想 方法. 情感、态度与价值观目标:通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生 学习数学的积极性,培养学生的学习兴趣和创新意识,培养学生勇于探索的精神 教学重点:椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程. 教学难点:椭圆标准方程的建立和推导. 教学难点:椭圆标准方程的建立和推导. 教学用具:多媒体 教学方法:启发、引导、讨论. 教师活动 学生活动 设计意图 一 、创设问题情境 用多媒体演示生活中椭圆的图片 (神七的运行 观察图片, 轨道,太阳系中行星的运行轨道等) ,形象的给出 对椭圆有直观 由生活实例 椭圆,介绍椭圆知识的应用。然后请同学列举一 的印象,体会 引入,形象具 些实际生活中的椭圆形的例子。 椭圆知识的应 体,易于接受, 用在日常生活 同时激发求知 中的普遍性。 欲,提高学习 二 新课探究 兴趣。 数学实验:动手绘制椭圆 实验 1: 用一根无弹性的细绳, 把它的两端都固定 在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动 笔尖画出的轨迹是什么? 实验 2: 如果把细绳的两端拉开一段距离分别固定 在图板的两点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔 尖,画出的轨迹是什么曲线? 合作交流 思考 1:在作图的过程中,有哪些物体的位置没 变?有哪些量没有变? 生:两定点间的距离没变,绳子的长度没变,点 在运动。”

多媒体演示椭圆轨迹产生的过程, 在演示中找 学生归纳 出变量与不变量,回应实验时提出的问题,从而 总结椭圆定 概括出椭圆的定义: 义,并由学生 椭圆定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和 代 表 完 善 定 等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做 椭圆的焦距; 注意: MF1 ? MF2 ? F1 F2 非常重要。 思考 2: 若调节两点的相对位置, 所得到的图形有 何变化? 当 MF1 ? MF2 ? F1 F2 时,其轨迹为线段 F1F2 ; 当 MF1 ? MF2 ? F1 F2 时,其轨迹不存在; 三、启发引导,推导椭圆标准方程 (一) 、回忆求曲线方程一般步骤: 建系、设点、列式、化简 (二) 、探讨建立平面直角坐标系的方案 体现“对称美”“简洁美”的特点 y 1、焦点在 X 轴上
P

义。

结合多媒体 课件形象概括 定义,解析要 点, 使学生易于 接受

学生思考, 学生代表回答 问题 简单练习, 巩固掌握椭圆 的定义

同桌一组, 动手绘图。

让学生体验 椭圆的产生过 程;提出问题, 为归纳椭圆的 定义埋下伏笔

O x F1 F2 (1)建系: 以 F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的中 垂线为 y 轴建立直角坐标系。 (2)设点: 设 P(x,y)是椭圆上任意一点,因|F1F2|=2c, 则 F1(-c,0),F2(c,0)(学生回答) (3)列式:

又设 M 与 F1 , F2 距离之和等于 2a ( 2a ? 2c ) (常数)

启发学生 建系方法,建 立适当的直角 坐标系。 探讨几种 建系方案。最 后采用以下两 种方案

? P ? ?P PF 1 ? PF 2 ? 2a?
又 ? PF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ,

? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ,

标准方程

(4)化简:

x2 a2

+

y2 b2

=1

y2 x2 ? ?1 a2 b2
(a ? b ? 0)
y

1

( a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) ,
由定义 2a ? 2c ,? a 2 ? c 2 ? 0 令? a 2 ? c 2 ? b 2 代入, 得 两边同除 a b 得
2
2 2

(a ? b ? 0)
y M

F1 F2
F2
M O x

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,

图形

F1

O

x2 y2 ? ?1 a2 b2
2

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 叫做椭圆的 方程的化简, 2 a b 学生会感到困 标准方程, 其焦点在 x 轴上, 焦点坐标为 F1(-c,0), 难,这也是教 F2(c,0)且 a 2 ? b 2 ? c 2 学的一个难

带根式的

a,b,c 关系

b2 ? a2 ? c2

b2 ? a2 ? c2

椭圆标准方程:

焦点坐标 在师生互 动的过程中, 让 学生体会数学 的严谨, 使他们 的观察能力、 运 算能力、 推理能 力得到训练, 渗 透数形结合的 数学思想。 并感 受椭圆方程、 图 形的对称美, 获 得成功的喜悦!

(?c,0)

(0,?c)

通过填表, 进行对比总结, 不仅使学生加 深了对椭圆定 义和标准方程 的理解, 有助于 教学目标的实 现 教师板书 学生填表记忆

注意若坐标系的选取不同,可得到椭圆的不 点。教学时, 同的方程 要注意说明这 如果椭圆的焦点 类方程的化简 在 y 轴上(选取方式 y 方法。
王新敞
奎屯 新疆

焦点位置

在 x 轴上

在 y 轴上

不同,调换 x, y 轴) 焦 点 则 变 成

P

F2 O F1

x

总结椭圆的标准方程的特点 (1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平 方和,右边是1 ( 2 )椭圆的标准方程中三个参数 a 、 b 、 c 满足
a2 ? b2 ? c2 。

F1 (0,?c), F2 (0, c) , 只
要 将 方 程

(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、 c的值。 (4) 椭圆的标准方程中,x 2、y 2 的分母哪一个大, 则焦点在哪一个轴上。
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 ? ? 1 中的 x, y 调换,即可得 a2 b2 y x ? 2 ? 1 ,也是椭圆的标准方程 2 a b
2 2

练习 1: 求出 a,b 值, 并判断下列椭圆的焦点位置
x2 y2 1、 2 ? 2 ? 1 5 3 x2 y2 2、 2 ? 2 ? 1 4 6

通过表格的形式,让学生对两种方程进行对比分 析,强化对椭圆方程的理解。

3、

x2 y2 ? ?1 9 6

4、

x2 y2 ? ?1 4 7

练习 2: 判断下列椭圆的焦点位置, 求出焦点坐标 和焦距? 1、
x2 y2 ? ?1 15 20

五、课堂小结: 一个定义:椭圆定义
x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? 2 b a b 二类方程: a

2、

x2 y2 ? ?1 25 24

3、 2 x 2 ? y 2 ? 16

4、 4 x 2 ? 2 y 2 ? 1 教师引导学生 思考、练习 板书设计
椭圆及其标准方程 1、椭圆的定义 例 1: (写要点) 椭圆标准方程的推导过程书 写

练习 3:求适合下列条件的椭圆标准方程 1.a=4,b=3,焦点在 x 轴上; 2.b=1, c ? 15 ,焦点在 y 轴上 3、若椭圆满足: a=5 , c=3

2、标准方程

小结:求标准方程一般步骤: 1、定位:确定焦点位置 2、定量:确定 a、b、c 值 四、知识应用 例 1:已知椭圆的焦点坐标分别为(-2,0) , (2,0) 5 3 ( , - ) 并且经过点 ,求椭圆的标准方程. 2 2
?5 3? 思路 1:利用椭圆定义(椭圆上的点 ? , ? ? 到两 ?2 2?

(1) 、焦点在 x 轴上

有层次的 练习题有助于 学生更好的熟 练利用椭圆的 标准方程解题。

(2) 、焦点在

y 轴上

教学后记:

个焦点 ?? 2, 0? 、?2,0? 的距离之和为常数 2 a )求出
b、 再结合已知条件和 a 、 a 值, c 间的关系求出 b 2

的值,进而写出标准方程; 思路 2: 先根据已知条件设出焦点在 y 轴上的椭圆 方程的标准方程
y2 x2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? ,再将椭圆 a 2 b2

?5 3? 上点的坐标 ? , ? ? 代入此方程,并结合 a 、 b 、 ?2 2?

明确本节课 学生反思本节 的学习内容 课重点是否掌 2 2 c 间的关系求出 a 、 b 的值,从而得到椭圆的标 握 准方程.

2.1.1 椭圆的定义与标准方程(学案)
一、新课探究

三、例题 练习 1:求出 a,b 值,并判断下列椭圆的焦点位置(口答) 1、
x2 y2 ? ?1 5 2 32

2、

x2 y2 ? ?1 42 62

3、

x2 y2 ? ?1 9 6

4、

x2 y2 ? ?1 4 7

练习 2:判断下列椭圆的焦点位置,求出焦点坐标和焦距? 1、
x2 y2 ? ?1 15 20

2、

x2 y2 ? ?1 25 24

3、 2 x 2 ? y 2 ? 16

4、 4 x 2 ? 2 y 2 ? 1

二、新授课 1、椭圆定义:

M

例:求适合下列条件的椭圆标准方程
F1 F2

1.a=4,b=3,焦点在 x 轴上;

2.b=1, c ? 15 ,焦点在 y 轴上

3、 若椭圆满足: a=5 , c=3

5 3 ( , - ) 4、 焦点坐标分别为 (-2,0) , (2,0) 并且经过点 2 2

2、椭圆标准方程 标准方程

y M

小结:求标准方程一般步骤:
y

图形

F1

O

F2

x O

F2
M x

四、课堂检测:求适合下列条件的椭圆标准方程 1.a=4,b=1,焦点在 x 轴上; 2、a=5,焦点(0,-4) , (0,4) 3、焦点在 x 轴上,焦距等于 4,经过点 P(3, — 2 6 )

a,b,c 关系 焦点坐标 焦点位置

F1


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