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点线面位置关系练习


本课内容:点线面位置关系

【空间中的平行问题】
(1)直线与平面平行的判定及其性质
①线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (线线平行→线面 平行) ②线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和 交线平行。 (线面平行→线线平行)

(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理: ①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行) ②如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) ③垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理: ①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) ②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行)

【空间中的垂直问题】
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面 角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。

(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

【空间角问题】
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为 0 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线, a?, b? 形 成 两 条 相 交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

(2)直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角:规定为

0

②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 ③平面的斜线与平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成 的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 解题时, 注意挖掘题设中两个信息: ①斜线上一点到面的垂线; ②过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直, 由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半 平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成 的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面 垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

课堂练习:
一、选择题
1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为 4 ,体积为 16 ,则这个 球的表面积是( ) A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 2.已知在四面体 ABCD 中, E , F 分别是 AC , BD 的中点,若 AB ? 2, CD ? 4, EF ? AB ,则 EF 与 CD 所成 的角的度数为( ) A. 90 B. 45 C. 60 D. 30 3.三个平面把空间分成 7 部分时,它们的交线有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 1 条或 2 条



2 4 4.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,底面是边长为 的正方形,高为 ,则点 A 1 到截面 AB 1D 1 的距离为(
A.

)

8 3

B.

3 8

C.

4 3

D.

3 4

D 是 CC1 上任意一点,连接 A1B, BD, A1D, AD , 5.直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,各侧棱和底面的边长均为 a ,点
则三棱锥 A ? A 1BD 的体积为( )

A.

1 3 a 6

B.

3 3 a 12
1 3 a 12


C.

3 3 a 6

D.

6.下列说法不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

二、填空题
1.正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。 2 . 空 间 四 边 形 ABCD 中 , E , F , G, H分 别 是 AB, BC, CD, DA 的 中 点 , 则 BC 与 AD 的 位 置 关 系 是 _____________;四边形 EFGH 是__________形;当___________时,四边形 EFGH 是菱形;当___________时, 四边形 EFGH 是矩形;当___________时,四边形 EFGH 是正方形 3.四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形,则 二面角 V ? AB ? C 的平面角为_____________。 4.三棱锥 P ? ABC, PA ? PB ? PC ? 73, AB ? 10, BC ? 8, CA ? 6, 则二面角 P ? AC ? B 的大小为____ 5. P 为边长为 a 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA ? PB ? PC ? a ,则 P 到 AB 的距离为______。

课后作业:
一、选择题
1.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m?? , n / /? ,则 m ? n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ ②若 ? / / ? , ? / /? , m?? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

D.①和④ )

2.若长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c ,则长方体体对角线长为(

A. a2 ? b2 ? c2

B.

1 2 a ? b2 ? c2 2

C.

2 a 2 ? b2 ? c 2 2

D.

3 2 a ? b2 ? c 2 2

3.在三棱锥 A ? BCD 中, AC ? 底面 BCD, BD ? DC, BD ? DC, AC ? a, ?ABC ? 300 ,则点 C 到平面 ABD 的 距离是( A. ) B.

5 a 5

15 a 5

C.

3 a 5

D.

15 a 3


E 是 AC CE 垂直于( 4.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 1 1 的中点,则直线
A. AC B. BD C. A1D D. A1D1

5.三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三个侧面两两垂直,则 H 为△ ABC 的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心



6.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2 ,其余各棱长都为 1 ,则二面角 A ? CD ? B 的余弦值为(



A.

1 2

B.

1 3

C.

3 3

D.

2 3

7.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线 EF 与

SA 所成的角等于(
A. 90
0


0

B. 60

C. 45

0

D. 30

0

二、填空题
1.点 A, B 到平面 ? 的距离分别为 4cm 和 6cm ,则线段 AB 的中点 M 到 ? 平面的距离为_________________.

2.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为_______。
0

3 .一条直线和一个平面所成的角为 60 ,则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是 ____________. 4.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12 ,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面 所成的二面角等于_____。 5. 在正三棱锥 P ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心) 中, AB ? 4, PA ? 8 ,过 A 作与 PB, PC 分 别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? ADE 的周长的最小值是________

参考答案 课堂练习:
一、选择题 1.C 正四棱柱的底面积为 4 ,正四棱柱的底面的边长为 2 ,正四棱柱的底面的对角线为 2 2 ,正四棱柱的对角 线为 2 6 ,而球的直径等于正四棱柱的对角线,即 2R ? 2 6 , R ? 6, S球 ? 4? R 2 ? 24? 2.D 取 BC 的中点 G ,则 EG ? 1, FG ? 2, EF ? FG, 则 EF 与 CD 所成的角 ?EFG ? 30 3.C 此时三个平面两两相交,且有三条平行的交线 4.C 利用三棱锥 A1 ? AB1D1 的体积变换: VA1 ? AB1D1 ? VA? A1B1D1 ,则 ? 2 ? 4 ? 5.B
0

1 3

1 ? 6? h 3

1 1 a2 3a 3a 2 VA? A1BD ? VD ? A1BA ? Sh ? ? ? ? 3 3 2 2 12

6. D 一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;这些直线都在同一个平面内即直 线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题 1. 27 分上、中、下三个部分,每个部分分空间为 9 个部分,共 27 部分 2.异面直线;平行四边形; BD ? AC ; BD ? AC ; BD ? AC 且 BD ? AC 3. 60 4. 60
0

0

注意 P 在底面的射影是斜边的中点

5.

3a 2

课后作业:
一、选择题 1. A ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n ,而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ,而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2.C 设同一顶点的三条棱分别为 x, y , z ,则 x2 ? y 2 ? a2 , y 2 ? z 2 ? b2 , x2 ? z 2 ? c2 得x ? y ?z ?
2 2 2

1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (a ? b 2 ? c 2 ) ,则对角线长为 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 2 2

3.B 4.B 5 .C

作等积变换 VA? BCD ? VC ? ABD

BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影 BC ? PA ? BC ? AH

6 .C

取 AC 的中点 E ,取 CD 的中点 F , EF ?

1 2 3 EF 3 , BE ? , BF ? cos ? ? ? 2 2 2 BF 3

7.C 取 SB 的中点 G ,则 GE ? GF ? 二、填空题 1. 5cm 或 1cm 2. 48 3. 90 4. 30
0

a 2 ,在△ SFC 中, EF ? a , ?EFG ? 450 2 2

分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况

每个表面有 4 个,共 6 ? 4 个;每个对角面有 4 个,共 6 ? 4 个 垂直时最大 底面边长为 2 3 ,高为 1 , tan ? ?

0

1 3
'

5. 11

沿着 PA 将正三棱锥 P ? ABC 侧面展开,则 A, D, E, A' 共线,且 AA // BC


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