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专题十:参数的取值问题的题型与方法


专题十:参数取值问题的题型与方法(4 课时)
求参数的取值范围的问题,在中学数学里比比皆是,这一讲,我们分四个方面来探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为 所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化 成函数的最值问题求解. 例 1.已知当 x ? R 时,不等式 a ? cos2x ?

5 ? 4 sin x ? 5a ? 4 恒成立,求实数 a 的取 值范围. 分析:在不等式中含有两个变量 a 及 x ,其中 x 的范围已知( x ? R ),另一变量 a 的范围 即为所求,故可考虑将 a 及 x 分离. 解:原不等式即: 4 sin x ? cos2x ? 5a ? 4 ? a ? 5 要使上式恒成立,只需 5a ? 4 ? a ? 5 大于 4 sin x ? cos 2 x 的最大值,故上述问题转化 成求 f ( x) ? 4 sin x ? cos2 x 的最值问题.

f ( x) ? 4 sin x ? cos2x ? ?2 sin 2 x ? 4 sin x ? 1 ? ?2(sin x ? 1) 2 ? 3 ? 3 ,
∴ 5a ? 4 ? a ? 5 ? 3 ,即 5a ? 4 ? a ? 2 ,

?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 4 ? 上式等价于 ?5a ? 4 ? 0 或? ,解得 ? a ? 8 . 5 ?5a ? 4 ? (a ? 2) 2 ?5a ? 4 ? 0 ? 2 说明:注意到题目中出现了 sin x 及 cos 2 x ,而 cos 2 x ? 1 ? 2 sin x ,故若把 sin x 换元
成 t ,则可把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型. 另解: a ? cos2x ? 5 ? 4 sin x ? 5a ? 4 即

a ? 1 ? 2 sin 2 x ? 5 ? 4 sin x ? 5a ? 4 ,令 sin x ? t ,则 t ? [?1,1] ,
整理得 2t ? 4t ? 4 ? a ? 5a ? 4 ? 0 , t ? [?1,1] 恒成立.
2

设 f (t ) ? 2t 2 ? 4t ? 4 ? a ? 5a ? 4 ,则二次函数的对称轴为 t ? 1 , ? f ( x) 在 [ ?1,1] 内单调递减.

? 只需 f (1) ? 0 ,即 5a ? 4 ? a ? 2 .(下同第一种解法)
例 2 .已 知函 数 f ( x) 在 定 义域 (??,1] 上 是 减函 数, 问是 否 存在 实数 k , 使 不等 式

f (k ? sin x) ? f (k 2 ? sin 2 x) 对一切实数 x 恒成立?并说明理由.
分析: 由单调性与定义域, 原不等式等价于 k ? sin x ? k ? sin x ? 1 对于任意 x ? R 恒成 立,这又等价于
2 2

?k 2 ? 1 ? sin 2 x ? ? ? ?(1) ? 对于任意 x ? R 恒成立. ? 2 1 1 2 k ? k ? ? (sin x ? ) ? ? ? ( 2 ) ? 4 2 ? 2 2 不等式(1)对任意 x ? R 恒成立的充要条件是 k ? (1 ? sin x) min ? 1 ,即 ? 1 ? k ? 1 -----(3) 1 1 2 9 2 不等式(2)对任意 x ? R 恒成立的充要条件是 k ? k ? ? (sin x ? ) max ? , 4 2 4
1

即 k ? ?1 或 k ? 2 ,----------(4) 由(3) 、 (4)求交集,得 k ? ?1 ,故存在 k ? ?1 适合题设条件. 说明:抽象函数与不等式的综合题常常需要利用单调性脱掉函数记号. 例 3.设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 范围. 分析:本题中,绝大多数同学不难得到:

x2 y2 AP 的取值 ? ? 1 顺次交于 A 、 B 两点,试求 PB 9 4

x AP ? ? A ,但从此后却一筹莫展, 问题的根 PB xB

源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变 量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程) ,这只需利用对应的思想实施;其二则是 构造关于所求量的一个不等关系. 思路 1: 从第一条想法入手,

AP x = ? A 已经是一个关系式, 但由于有两个变量 x A 、x B , PB xB

同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第 3 个变量——直线 AB 的斜率 k . 问题 就转化为如何将 x A , x B 转化为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程 求根公式 xA = f(k) ,xB = g(k)

AP/PB = —(xA / xB)
得到所求量关于 k 的函数关系式 由判别式得出 k 的取值范围 所求量的取值范围

解 1 :当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP 1 ?? ; PB 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆
2 2 方程,消去 y 得 9k ? 4 x ? 54kx ? 45 ? 0 ,解之得

?

?

x1, 2 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

2

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形.

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 当 k ? 0 时, x1 ? , x2 ? , 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4
所以

x ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 18k 18 AP =1 ? =1 ? ?? 1 = 2 2 PB x 2 9k ? 2 9k ? 5 9 k ? 2 9k ? 5 9?2 9? 5
? ? (?54k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?

.

k2

由 所以

?

?

?1 ? 1?

18 9?2 9? 5 k2

1 ? ? ,综上 5

5 , 9 AP 1 ?1 ? ?? . PB 5

思路 2: 如果想构造关于所求量的不等式, 则应该考虑到: 判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范围, 于是问题转化为如何将所求量与 k 联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于

x AP ? ? 1 不是关于 x1 , x 2 的对称 PB x2
关系式. 原因找到后,解决问题的 方法自然也就有了,即我们可以构 造关于 x1 , x 2 的对称关系式.

把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 韦达定理 xA + xB = f (k) ,xA xB = g(k) AP/PB = —(xA / xB) 构造所求量与 k 的关系式 由判别式得出 k 的取值范围 关于所求量的不等式

解 2 :设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

?9k

2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0

?

(*)

3



? 54k ? x1 ? x 2 ? 2 , ? ? 9k ? 4 ? ? x x ? 45 . 1 2 ? 9k 2 ? 4 ?



x1 1 324k 2 . ? ? ,则, ? ? ? 2 ? ? x2 45k 2 ? 20
5 , 9

在(*)中,由判别式 ? ? 0, 可得 k 2 ?

从而有

4?

324k 2 36 1 36 ,所以 4 ? ? ? ? 2 ? , ? 2 ? 5 45k ? 20 5

解得

1 1 AP 1 ? ? ? 5 .结合 0 ? ? ? 1 得 ? ? ? 1 . 综上, ? 1 ? ?? . 5 5 PB 5

说明:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性 法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法. 二、直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象, 则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷. 例 4.当 x ? (1,2) 时,不等式 ( x ? 1) 2 ? loga x 恒成立,求 a 的取值范围. 分析:若将不等号两边分别设成两个函数, 则左边为二次函数,图象是抛物线,右边为 常见的对数函数的图象,故可以通过图象求解. 1 o 2 x y y1 =(x-1)2 y2 =log ax

解:设: y1 ? ( x ? 1) 2 , y2 ? loga x ,则 y1 的图象为右图所示的抛物线,要使对一切 显然 a ? 1 , 并且必须也只需当 x ? 2 时 y 2 的函数值大于等于 y1 的 x ? (1,2) ,y1 ? y2 恒成立, 函数值. 故 loga ? 1 , a ? 1 ,? 1<a ? 2. 例 5.函数 y ? ( x ? 1) log3 a ? 6x log3 a ? x ? 1,其中在 x ? [0,1] 时函数恒正,求 a 的范围.
2

解:排除对数 log3 a 的干扰,选 x 为“主元”化函数为
2 y ? (log3 a ? 6 log3 a ? 1) x ? 1 ? log3 a, 2

x ? [0,1] ,

一次(或常数)函数恒正,被线段端点“抬在” x 轴的上方。故有:

4

?a ? 0 1 1 ? 3 ? f (0) ? 0 ? ? a ? 3 ,? ?1 ? log 3 a ? . 3 3 ? f (1) ? 0 ?
说明:给定一次函数 y ? f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,若 y ? f ( x) 在 [m, n] 内恒有 f ( x) ? 0 , 则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于

?a ? 0 ?a ? 0 ? f ( m) ? 0 ⅰ) ? 或ⅱ) ? 亦可合并定成 ? ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( m) ? 0 同理,若在 [m, n] 内恒有 f ( x) ? 0 ,则有 ? . ? f ( n) ? 0
例 6.对于满足 | p |? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x 2 ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取 值范围. 分析:在不等式中出现了两个字母: x 及 p 关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一 个作为常数。显然可将 p 视作自变量,则上述问题即可转化为在 [?2,2] 内关于 p 的一次函数 大于 0 恒成立的问题. 略解:不等式即 ( x ? 1) p ? x 2 ? 2x ? 1 ? 0 ,设 f ( p) ? ( x ? 1) p ? x 2 ? 2x ? 1 ? 0 ,则

f ( p ) 在 [?2,2] 上恒大于 0,故有:
2 ? x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 即 解得: ? ? 2 ? ? ? x ? 1或x ? ?1 ? f (2) ? ?x ? 1 ? 0

∴ x ? ?1 或 x ? 3 . 例 7. 设 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, 都有 f ( x) ? a 恒成立, 求 a 的取值范围。 分析:题目中要证明 f ( x) ? a 恒成立,若把 a 移到等号的左边,则把原题转化成左边二 次函数在区间 [?1,??) 时恒大于 0 的问题. 解:设 F ( x) ? f ( x) ? a ? x 2 ? 2ax ? 2 ? a . ⅰ)当 ? ? 4(a ? 1)(a ? 2) ? 0 时,即 ? 2 ? a ? 1 时,对一切 x ? [?1,??) , F ( x) ? 0 恒成 立; ⅱ)当 ? ? 4(a ? 1)(a ? 2) ? 0 时由图可得以下充要条件: y

得 ? 3 ? a ? ?2 综合可得 a 的取值范围为 [?3,1] .

? ?? ? 0 ?(a ? 1)(a ? 2) ? 0 ? ? ? f ( ?1) ? 0 即 ?a ? 3 ? 0 ?a ? ?1, ? ? 2a ?? ? ?1, ? 2 ?

-1

o

x

2 说明:若二次函数 y ? ax ? bx ? c

(a ? 0) 大于 0 恒成立,则有 ?

?a ? 0 ,若是二次函 ?? ? 0

数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.
5

例 8.关于 x 的方程 9 x ? (4 ? a)3 x ? 4 ? 0 恒有解,求 a 的范围. 分析:题目中出现了 3 x 及 9 x ,故可通过换元转化成二次函数型求 解. 解法 1(利用韦达定理) : x 设 3 ? t ,则 t>0. 则原方程有解即方程 t 2 ? (4 ? a)t ? 4 ? 0 有正 根。 4 o

y

x

?? ? 0 ? ? ? x1 ? x 2 ? ?(4 ? a) ? 0 ?x ? x ? 4 ? 0 ? 1 2

?( 4 ? a ) 2 ? 16 ? 0 ?a ? 0或a ? ?8 即? ?? ? a ? ?4 ?a ? ?4

解得 a ? ?8 . 解法 2(利用根与系数的分布知识) : 2 即要求 t ? (4 ? a)t ? 4 ? 0 有正根, 设 f ( x) ? t 2 ? (4 ? a)t ? 4 . 10 . ? ? 0 , 即 (4 ? a) 2 ? 16 ? 0 , ∴ a ? 0 或 a ? ?8 . 4 o

y

a ? 0 时, f ( x) ? (t ? 2) ? 0 ,得 t ? ?2 ? 0 ,
2

不合题意;

x

a ? ?8 时, f ( x) ? (t ? 2) 2 ? 0 ,得 t ? 2 ? 0 , 符合题意。∴ a ? ?8 . 20 . ? ? 0 ,即 a ? ?8 或 a ? 0 时, 4?a ? 0 ,即 a ? ?4 . ∵ f (0) ? 4 ? 0 ,故只需对称轴 ? 2 ∴ a ? ?8 ,综合可得 a ? ?8 .
三、求参数的取值范围在解析几何中的应用 解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。 由于此类问题 综合性强,且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽,因而给解题带来了诸多困难。为 此,我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法. 在几何问题中,有些问题和参数无关,这就构成定值问题,解决这些问题常通过取参数和 特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式 是恒定的. 解析几何中的最值问题,一般先根据条件列出所求目标——函数关系式,然后根据函数关 系式手特征选用参数法,配方法,判别式法,应用不等式的性质,以及三角函数最值法等求出 它的最大值或最小值. 充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题(解析法的应用,数形结合的数学思想,圆 锥曲线与圆锥曲线的位置关系,与圆锥曲线相关的定值问题,最值问题,应用问题和探索性问 题). 研究最值问题是实践的需要,人类在实践活动中往往追求最佳结果,抽象化之成为数学上 的最值问题,所以最值问题几乎渗透到数学的每一章. 解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值,到定直线的距离最值,还有 面积最值,斜率最值等,解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值. 而一些函数最值,反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题. 1.几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解 决。
6

2.代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数, 再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数 的值域法、函数的单调性法. 例 9. 已知椭圆 C : x 2 ? 2 y 2 ? 8 和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于 A 、 B 两点,在

线段 AB 上取点 Q ,使 值范围.

AP AQ ?? ,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程及点 Q 的横坐标的取 PB QB

分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点 Q 的横、 纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点 Q( x, y) 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为参 数, 如何将 x ,y 与 k 联系起来?一方面利用点 Q 在直线 AB 上; 另一方面就是运用题目条件:

AP PB

??

AQ QB

x?

4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 8 ? ( x A ? xB )
将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理

x ? f ?k ?
利用点 Q 满足直线 AB 的方程:y = k ( x—4)+1,消去参数 k

点 Q 的轨迹方程

AP AQ 4( x A ? x B ) ? 2 x A x B ?? 来转化.由 A 、 B 、 P 、 Q 四点共线,不难得到 x ? , PB QB 8 ? ( x A ? xB )
要建立 x 与 k 的关系,只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可. 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中 有数. 在得到 x ? f ?k ? 之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关

7

于 x , y 的方程(不含 k ) ,则可由 y ? k ( x ? 4) ? 1 解得 k ? 得到轨迹方程。从而简化消去参的过程. 解:设 A?x1 , y1 ? , B( x2,y 2 ) , Q( x, y) ,则由

y ?1 ,直接代入 x ? f ?k ? 即可 x?4

4 ? x1 x ? x1 AP AQ 可得: , ? ?? x2 ? 4 x2 ? x PB QB
(1)

解之得: x ?

4( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 8 ? ( x1 ? x2 )

设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一元 二次方程:

?2k


2

? 1 x 2 ? 4k (1 ? 4k ) x ? 2(1 ? 4k ) 2 ? 8 ? 0

?

(2)

4k (4k ? 1) ? x1 ? x 2 ? , ? ? 2k 2 ? 1 ? 2 ? x x ? 2(1 ? 4k ) ? 8 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
4k ? 3 . k?2
(3)

代入(1) ,化简得: x ?

与 y ? k ( x ? 4) ? 1 联立,消去 k 得: ?2 x ? y ? 4?( x ? 4) ? 0. 在(2)中,由 ? ? ?64k ? 64k ? 24 ? 0 ,解得
2

2 ? 10 2 ? 10 ,结合(3) ?k? 4 4

可求得

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? . 9 9


故知点 Q 的轨迹方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? ). 9 9

说明:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦 达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引 参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 例 10.已知? ?[0, ? ) ,试讨论 ? 的值变化时,方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 表示的曲线的 形状. 解: (1)当? ? 0 时,方程化为 y ? ?1 ,它表示两条与 x 轴平行的直线;
2 2

8

(2)当 ? ? (3)当 ? ?

? ?
2 4

时,方程化为 x ? ?1 ,它表示两条与 y 轴平行的直线; 时,方程化为 x 2 ? y 2 ? 1,它表示一个单位圆;

(4)当 0 ? ? ?

?
4

时,方程化为

x2 y2 1 1 ? ? 1 ,因为 ? ? 0 ,所以它表 1 1 sin ? cos ? sin ? cos ?

示一个焦点在 x 轴上那个的椭圆;

x2 y2 1 1 (5)当 ? ? ? 时,方程化为 ,所以它表 ? ? 1 ,因为 0 ? ? 1 1 4 2 sin ? cos ? sin ? cos ?
示一个焦点在 y 轴上那个的椭圆;

?

?

x2 y2 1 1 ? ? 1 ,因为 ? 0 ,? ?0, (6)当 ? ? ? ? 时,方程化为 1 1 2 sin ? cos ? ? sin ? cos ?
所以它表示一个焦点在 x 轴上那个的双曲线.

?

9

五、强化训练
1. (南京市 2003 年高三年级第一次质量检测试题) 若对 n 个向量 a1 , a2 ,?an 存在 n 个不全 为零的实数 k1 , k 2 ,?, k n , 使得 k1 a1 ? k 2 a2 ? ? ? k n an ? 0 成立, 则称向量 a1 , a2 ,?an 为 “线 性相关” . 依此规定, 能说明 a1 ? (1,0) ,a2 ? (1, ?1) ,a3 ? (2, 2)“线性相关” 的实数 k1 , k 2 , k 3 依次可以取 (写出一组数值即可,不必考虑所有情况) .

y2 x2 2.已知双曲线 C : ? ? 1 ,直线 l 过点 A 2 ,0 ,斜率为 k ,当 0 ? k ? 1 时,双曲线的 2 2
上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标.

?

?

3.设函数 f ( x) ? 2 x?1 ? 2 ? x?1 , x ? R ,若当 0 ? ? ?

? 时, 2

f (cos2 ? ? 2m sin ? ) ? f (?2m ? 2) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4.已知关于 x 的方程 lg( x 2 ? 20x) ? lg(8x ? 6a ? 3) ? 0 有唯一解,求实数 a 的取值范围.

5.试就 k 的不同取值,讨论方程 (k ? 2) x2 ? (6 ? k ) y 2 ? (6 ? k )(k ? 2) 所表示的曲线形状,并 指出其焦点坐标.

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六、参考答案 1.分析:本题将高等代数中 n 维向量空间的线形相关的定义,移植到平面向量中,定义 了 n 个平面向量线性相关.在解题过程中,首先应该依据定义,得到 k1 a1 ? k2 a2 ? k3 a3 ? 0 ,即

k1 (1,0) ? k2(1, ? 1) ? k(2,2) 0 ? 3

, 于 是 (k1 ? k2 ? 2 k3 , ? k2 ? 2 k3 ) ? 0 ,所以 ?

?k1 ? k 2 ? 2k 3? 0, 即 ? ?k2 ? 2k3 ? 0.

? k1 ? ?4k3 , 则 k1 : k2 : k3 ? ?4 : 2 :1 .所以, k1 , k2 , k3 的值依次可取 ?4c, 2c, c ( c 是不等于零的 ? k ? 2 k . 3 ? 2
任意实数) . 2.分析 1 :解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是 研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点 B 作与 l 平行的直线, 必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 ? ? 0 . 由此出发,可设计如下解题思路:

l : y ? k(x ? 2)

?0 ? k ? 1?
2

直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为

l ': y ? kx ? 2k 2 ? 2 ? 2k

把直线 l’的方程代入双曲线方程,消去 y,令判别式 ?

?0

解得k的值
解题过程略. 分析 2 :如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有 一点 B 到直线 l 的距离为 2 ” ,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
问题

kx ? 2 ? x 2 ? 2 k
关于 x 的方程

k 2 ?1

? 2

?0 ? k ? 1?
有唯一解

转化为一元二次方程根的问题 求解

11

解:设点 M ( x, 2 ? x 2 ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为:

kx ? 2 ? x 2 ? 2k k 2 ?1
2

? 2

?0 ? k ? 1?

???

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程. 由于 0 ? k ? 1 ,所以 2 ? x ? x ? kx ,从而有

kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? ?kx ? 2 ? x 2 ? 2k.
于是关于 x 的方程 ???

? 2 ? x 2 2 ? ( 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx) 2 ? , ? ? kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? 2(k 2 ? 1) , ? ? 2 ? 2 ( k ? 1 ) ? 2 k ? kx ? 0 ? ? k 2 ? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ? ? ?? 2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0.
由 0 ? k ? 1 可知: 方程 k ? 1 x ? 2k
2 2

?

?

?

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0

?
2

2



?

?

? 2(k ?

2

? 1) ? 2k x ?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 的二根同正, 故

?

2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx ? 0 恒成立,于是 ??? 等价于

?k

2

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 .

?

2

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得

k?

2 5 . 5

说明:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优 越性. 3. 分析与解: 从不等式分析入手, 易知首先需要判断 f ( x) 的奇偶性和单调性, 不难证明, 在 R 上 f ( x) 是奇函数和增函数,由此解出 cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 .
2

2 令 t ? sin ? ,命题转化为不等式 t ? 2mt ? (2m ? 1) ? 0 , t ? [0,1] -------------------(*) 恒成立时,求实数 m 的取值范围。

接下来,设 g (t ) ? t ? 2mt ? (2m ? 1) ,按对称轴 t ? m 与区间 [0,1] 的位置关系,分类使
2

g (t ) min ? 0 ,综合求得 m ? ?

1. 2
12

本题也可以用函数思想处理,将(*)化为 2m(1 ? t ) ? ?(t 2 ? 1) , t ? [0,1] , ⑴ 当 t ? m 时, m ? R ; (2) 0 ? t ? 1 时, 2m ? h(t ) ? 2 ? [(1 ? t ) ? 数,易知当 t ? 0 时, h( x) min

2 1 ] ,由函数 F (u ) ? u ? 在 (?1,1] 上是减函 1? t u 1 , 1 、 (2)知 m ? ? 。 ? ?1 ,∴ m ? ? , 综合(1) 2 2

说明:本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识,以及用函 数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题,是综合性较强的一道好题。 4. 分析: 方程可转化成 lg( x 2 ? 20x) ? lg(8x ? 6a ? 3) , 从而得 x 2 ? 20x ? 8x ? 6a ? 3 ? 0 ,注意到若将等号两边 看成是二次函数 则只需考虑 y ? x 2 ? 20x 及一次函数 y ? 8x ? 6a ? 3 , 这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。 解:令 y1 ? x 2 ? 20x ? ( x ? 10) 2 ? 100, 则如图所示,y1 的图象为一个定抛物线, y 2 ? 8x ? 6a ? 3 , 而截距不定的直线, 要使 y1 y 2 的图象是一条斜率为定值 8, 和 y 2 在 x 轴上有唯一交点,则直线必须位于 l1 和 l 2 之间。 (包括 l1 但不包括 l 2 )当直线为 l1 时,直线过点 163 ; (?20,0) 此时纵截距为 ? 6a ? 3 ? 160 , a ? ? 6 l2 x -20 o

y l1 l

当直线为 l2 时,直线过点(0,0) ,纵截距为 ? 6a ? 3 ? 0 , a ? ?

1 ,∴ a 的范围为 2

[?

163 1 ,? ) 6 2

5.解: (1)当 k ? 2 时,方程化为 y ? 0 ,表示 x 轴; (2)当 k ? 6 时,方程化为 x ? 0 ,表示 y 轴; (3)当 k ? 2,6 时,方程为标准形式:

x2 y2 ? ? 1(*) 6?k k ?2 ①当 6 ? k ? k ? 2 ? k ? 4 时,方程化为 x2 ? y 2 ? 2 表示以原点为圆心, 2 为半径的
②当 k ? 2 时,方程(*)表示焦点在 x 轴上的双曲线,焦点为 (? 8 ? 2k ,0) ③当 2 ? k ? 4 时,方程(*)表示焦点在 x 轴上的椭圆,焦点为 (? 8 ? 2k ,0) ④当 4 ? k ? 6 时,方程(*)表示焦点在 y 轴上的椭圆,焦点为 (0, ? 2k ? 8) ⑤当 k ? 6 时,方程(*)表示焦点在 y 轴上的双曲线,焦点为 (0, ? 2k ? 8)

圆。

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