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11.1(理


●第十一章

概率与统计

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●11.1 事件与概率

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考点探究突破

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基础梳理自测

◎构建能力大厦的奠基石◎

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?

知识梳理?

1.事件的分类.
? ?必然事件 ?确定事件 ? 事件 ? ?不可能事件 ?随机事件 ?

?

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2.频数、频率、概率. (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称 为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 为事件A出现的频率.

(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频
率 发生的概率. 答案:(1)n次试验中事件A出现的次数nA
nA fn(A)=? n

,那么把这个常数记作

,称为事件A

(2)逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上

P(A)
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3.事件的关系与运算.

定义 包含关系 如果事件A ,则事件

符号表示 (或 )

B

,这时称事件B包含

事件A(或称事件A包含于 事件B) 相等关系 若B?A且 ,那么 A=B

称事件A与事件B相等

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并事件 (和事件)

若某事件发生当且仅当事 件A发生或事件B发生,则称 此事件为事件A与事件B的

(或

)

并事件(或和事件)
交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事 件A发生且事件B发生,则称 (或 )

此事件为事件A与事件B的
交事件(或积事件)

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互斥事件

若A∩B为



A∩B=?

件,那么事件A与事件 B互斥 对立事件 若A∩B为 事

件,A∪B为

,那么

称事件A与事件B互为 对立事件 答案:发生 B 不可能 一定发生 不可能 B?A A?B A?B A∪B A+B 必然事件
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A∩B A

4.概率的几个基本性质. (1)概率的取值范围 (2)必然事件的概率P= (3)不可能事件的概率P= (4)概率的加法公式. 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= . ,P(A)= . . .

若事件A与B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)= . 答案:(1)0≤P≤1 (2)1 (3)0 (4)P(A)+P(B) 1 1-P(B)
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?

基础自测?
).

1.在下列六个事件中,随机事件的个数为(

①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;②从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10的10张号签中任取一张,得到4号签;③没有水分,种子发芽;④某电 话总机在60秒内接到至少10次呼叫;⑤在101 kPa下,水的温度达到50 ℃ 时沸腾;⑥同性电荷,相互排斥. A.2 B.3 C.4 D.5

答案: A

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2.总数为10万张的彩票,中奖率为?,下列说法中正确的是( A.买1张一定不中奖 B.买1 000张一定中奖 C.买2 000张一定中奖 D.买2 000张不一定中奖 答案: D

1 1000

).

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3.某人在打靶时,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的互斥事件是

(

).
B.2次都中 D.只有1次中靶

A.至多有1次中靶 C.2次都不中靶 答案:C

4.某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3, 0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 答案:0.5
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.

5.下列说法:①频率反映了事件发生的频繁程度,概率反映了事件发生 的可能性大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频 率就是事件A发生的概率;③百分率是频率,但不是概率;④频率是不 能脱离具体的n次试验的试验值,而概率是具有确定性的、不依赖于

试验次数的理论值;⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其
中正确的说法有 .

答案:①④⑤

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?

思维拓展?

1.“频率”与“概率”有何区别? 提示:频率是个试验值,具有随机性,试验次数不同则得到的频率也会 不同,当试验次数很大时,一个事件的试验频率就会稳定接近于它的 理论概率.因此频率只能近似地反映事件发生可能性的大小,频率是 通过大量试验得到的,它的变化始终围绕着一个常数值,即概率.概率 是个理论值,是由事件的本质所决定的,与试验的次数无关,它能准确

反映事件出现可能性的大小,试验频率与理论概率是不能等同的.

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2.如何正确区分互斥与对立的关系? 提示:在任何一次试验中不可能同时发生的两个事件是互斥事件.若 事件A与事件B是互斥的,则A与B的交集是空集,此时若A与B的并集 是全集,则A与B是对立的,即“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

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◎拓展升华思维的加油站◎

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?

一、随机事件及其概率

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【例1】 某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示:

射击次数n

10

20

50

100

200

500

击中10环次 8 数m 击中10环频 m 率 n
?

19

44

93

178

453

(1)计算表中击中10环的各个频率; (2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率是多少?(结果精确到0.1)
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解:(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906. (2)随着射击次数的增加,频率基本稳定在0.9,并在其附近摆动,由此可 估计该运动员击中10环的概率约为0.9.

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?方法提炼1.判断一个事件是必然事件、不可能事件还

是随机事件,基本依据就是在一定条件下,所求的结果是否一定出现, 不可能出现还是既有可能出现也有可能不出现. 2.频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生可能性 的大小,但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小,通过大量重复 试验可以发现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就会稳定于某 个固定的值,这个值就是概率. 请做[针对训练]1

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二、互斥事件、对立事件的概率 【例2-1】 国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如下表

所示:
命中/环 10 9 8 7

概率

0.32

0.28

0.18

0.12

求该射击队员射击一次 (1)射中9环或10环的概率; (2)至少命中8环的概率; (3)命中不足8环的概率.
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解:记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥. (1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生

时,事件A发生.由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28
+0.32=0.60. (2)设“射击一次,至少命中8环”的事件为B,那么当A8,A9,A10之一发 生时,事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P (A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.

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(3)由于事件“射击一次,命中不足8环”是事件B:“射击一次,至少命
B 中8环”的对立事件:即?表示事件“射击一次,命中不足8环”,根据
B 对立事件的概率公式得P(?)=1-P(B)=1-0.78=0.22.

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【例2-2】 有朋自远方来,已知他乘火车,轮船,汽车,飞机来的概率分 别是0.3,0.2,0.1,0.4.求: (1)他乘火车或飞机来的概率; (2)他不乘轮船来的概率. 解:设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事 件A、B、C、D, 则P(A)=0.3,P(B)=0.2, P(C)=0.1,P(D)=0.4, 且事件A、B、C、D之间是互斥的.
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(1)他乘火车或飞机来的概率为 P1=P(A∪D)=P(A)+P(D)

=0.3+0.4=0.7.
(2)他乘轮船来的概率是P(B)=0.2,所以他不乘轮船来的概率为P=1-P (B)=1-0.2=0.8.

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【例2-3】 现有7名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀, B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀,从中选出数学、物理、 化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛. (1)求C1被选中的概率; (2)求A1和B1不全被选中的概率.

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解:(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结
果组成的12个基本事件为: (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),

(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2).
C1恰被选中有6个基本事件: (A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),

记事件“C1被选中”为M.
因而P(M)=?=?.
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6 1 12 2

N (2)用N表示“A1,B1不全被选中”这一事件,则其对立事件?表示“A1, N N B1全被选中”这一事件,由于?={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以事件?由

2 1 两个基本事件组成,所以P(?)=?=?, N 12 6
N 由对立事件的概率公式得P(N)=1-P(?)=1-?=?.

1 5 6 6

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?方法提炼求随机事件的概率的方法有:

(1)通过大量重复试验,求出事件发生的频率,以此估计事件的概率.

(2)根据互斥事件的概率加法公式计算概率.
A (3)转化为对立事件,运用公式P(A)=1-P(?)求概率.

请做[针对训练]2

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本课结束 谢谢观看

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