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《向量的线性运算》的教学设计


《向量的线性运算》教学设计
一、教材分析 1、本单元的教学内容的范围 本单元包括向量的概念、向量的加法、向量的减法、数乘向量和向量共线的条件与轴上 向量坐标运算,共 5 小节内容。 2.本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用 站在数学学科角度来看平面向量,向量的运算(包括中学阶段的平面向量与空间向量) 是在数的运算的基础上对运算的发展; 向量的两重性使得向量成为几

何问题代数化的一个重 要组成部分, 这对数字化时代研究几何问题提供了一个良好的手段; 平面向量为研究三角函 数、解析几何等提供了工具作用;平面向量是空间向量的基础。 《向量的线性运算》作为平面向量的第一个单元的教学内容,既是《平面向量》这一模 块的重要知识,也是学习本模块其他知识的基础。 3.本单元的教学内容总体教学目标 (1)通过实例,了解平面向量的实际背景。 (2)理解平面向量和相等向量的含义,理解向量的几何表示。 (3)通过实例,掌握向量的加法、减法以及数乘向量运算及其几何意义;理解两个向量共 线的含义。 (4)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 (5)通过学习使学生初步体会向量所具有的代数和几何的两重性。 4.本单元的教学内容重点和难点分析 本单元的教学重点包括向量的概念、 向量的线性运算和平行向量基本定理; 难点是向量 的概念。 通过学习使学生建立起向量的概念是学习向量知识的一个重要目标, 因而向量的概念是 教学的一个重点内容; 向量的线性运算不仅是本单元的教学重点也是本模块的教学重点; 通 过学习平行向量基本定理不仅能加深对向量概念的理解, 而且平行向量基本定理在向量知识 体系和数学的其他分支中都有广泛的应用, 因此平行向量基本定理应是本单元的一个教学重 点。 向量作为一个新的概念,学生开始接触时自然会感到困难,加之 2.1.1 小节中不仅概念 多,而且还有自由向量和位置向量的干扰,更使得向量的概念难上加难,因此向量的概念是 学生学习的一个难点。当然,学生对向量的加法、减法运算及平行向量基本定理的理解会产 生一定的困难,但学生如果很好的理解了向量的概念,则着几个难点的难度会随之降下来。 5.本单元教材的编写特色 (1) 用点的相对位置和位移理解向量(自由向量) ,用位移的合成理解向量的加法。 (2) 用放大、缩小理解数乘向量。用相似三角形的性质理解数乘向量的分配率。 二、本单元所需教学资源的概述 教学中可采用几何画板及实物投影等辅助教学 三、本单元学时建议 本单元教学可用 5 课时来完成,具体分配如下: 2.1.1 向量的概念 1 课时; 2.1.2 向量的加法 1 课时; 2.1.3 向量的减法 1 课时; 2.1.4 数乘向量 1 课时; 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 1 课时。
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四、本单元的教学内容处理的几点想法 1.关于向量概念的教学 (1) 先由学生已有的位移的概念出发, 引入向量的概念: 质点从 A 出发运动到点 B ,在从 B 点运动到点 C , 这时点 C 相对于点 A 的位置如何表示? 在由位移的概念引出向量的概念之后,再让学生联 想已经学习过的力、速度、加速度等知识来加深学生对 向量概念的理解。 注意这里不是先介绍物理中的力、速度或加速度, 而是重点由位移出发,它的好处在于: ① 在说明某点相对于另一个点的位置时, 更容易让学生具体的想到 “大小” 和 “方向” ; ② 从点的位移的角度更便于使学生理解自由向量; ③ 从位移的角度理解向量的概念的过程也为学生理解向量的加法打下伏笔。 (2)在学生建立起自由向量的概念之后,对比自由向 量认识位置向量的概念。 这里一方面要强调向量 OA 叫做点 A 相对于点 O 的位置向量,另一方面要指出在研究向量时,常常要 把多个向量通过平移,使他们有共同的起点,这时每 个向量就有其终点唯一确定。 (3)教材中 P 78 第 22 行“由以上分析,一个平面向量的直观形象是平面上‘同向且等长 的有向线段的集合’ ”这一说法值得商榷。 2.关于向量加法的教学 (1)结合位移的概念(右图为向量第一节课图形)理解向 量的加法的三角形法则和多边形法则。这样可使学生理解 起来更加自然,从而达到降低难度的目的。 (2)把向量加法的平行四边形法则放在三角形法则之后, 一方面可深化学生对向量加法的理解,也为学生日后学习 向量的分解作知识准备。 (3)关于加法交换率 a ? b ? b ? a 的证明,采用下面的方法学生接受起来可能会比课本上 的方法更自然(以两个向量不共线的情形为例) : 已知向量 a, b 。如图,作 AB ? a, BC ? b ,则 AC ? a ? b 。 作 CD ? a ,则四边形 ABDC 为平行四边形,

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??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? BD ? AC ? a ? b ,? a ? b ? b ? a 。
教学过程中,可考虑采取小组探究的方式,让学生寻找证明的方法。 3.关于向量减法的教学 (1)类比数的运算理解向量减法的两种定义方式 方法 1:实数的减法是加法的逆运算 ?向量减法是向量加法的逆运算; 方法 2:减去一个数等于加上这个数的相反数 ?减去一个向量等于加上这个向量的相反向
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量。 (2)从三角形法则和平行四边形法则两个角度理解两个定义 方法 1:向量的减法作为加法的逆运算。从三角形法则角度看,两个向量的减法是把两个向 量的始点放在一起,他们的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量(下 面图形中的左图) ; 方法 2:在相反向量的基础上通过加法定义向量的减法,用平行四边形法则理解更自然(下 面图形中的右图) 。

(3)可选配如下类型 学生对向量加法和减法运算的例解: 化简: ① CD ? ED ;② AB ? DE ? DB ? EB 。

的例题、习题加深

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4.关于数乘向量的教学 (1)类比数的乘法导入,并从图形的“放大” “缩小”来直观的理解数乘向量。 (2)对于数乘向量的三个运算率,一般不要求学生证明。对于分配律可指导学生课后阅读, 对于前两个运算率, 学生程度好的学校可选取其中之一给出证明, 而另外一个让有兴趣的学 生尝试课后给出证明方法。因为这个问题的证明有两个重要作用: ①强化从“大小”和“方向”两个角度把握向量概念的意识; ②培养学生分类讨论的数学思想。 (3)对于例 3 也可采取下面的解法:

???? ? ??? ? ??? ? ????? ? / / / ? OA ? 3OA, A B ? 3 AB , ???? ? ? ??? ? ????? ??? ? ? OA/ ? 3 OA , A/ B/ ? 3 AB , ?OA/ B / ? ?OAB ,
??? ? ??OA/ B, ? ?OAB ,? OB / ? 3 OB 。

???? ? ??? ???? ? ??? ? ? ?OB/ 与 OB 方向相同,?OB/ ? 3OB 。
本例从向量的形式表现了“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 。 5.关于向量共线的条件与轴上向量的坐标运算的教学 (1)平行向量基本定理的证明要求学生理解其中严谨的逻辑关系 当 a ? ? b 时,由数乘向量的定义知 a // b ; 当 a // b 时,若 a ? 0 ,由于 b ? 0 ,显然存在唯一的实数 ? ? 0 使得 a ? ? b 成立;

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? ? b b ? ? ? ? ? ? ? ? 若 a ? 0 且 a, b 方向相同,取 ? ? ? ,则 a ? ? b ,即存在 ? ? ? 使得 a ? ? b 成立。 a a ? ? ? ? ? ? ? ? 现假设有两个实数 ?1 , ?2 使得 a ? ?1b 和 a ? ?2 b 成立,于是 ?1 b ? ?1 b ,? ? ?1 ? ?2 ? b ? 0 。
? ? ? b ? 0 ,??1 ? ?2 ? 0,??1 ? ?2 。
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? ? ? ? ? ? ? a ? 0 且 a, b 方向相同时,存在唯一的实数 ? ,使得 a ? ? b 成立;
类似地可证明当 a ? 0 且 a, b 方向相反时,存在唯一的实数 ? ,使得 a ? ? b 成立?。 (2)通过例 1 的教学要引导学生体会以下两点 ①由向量相等的一个条件可为我们带来“长度上的相等”和“方向上的平行”两个方面的结 果; ②研究两个向量的关系(相等)时,常常要把两个向量用平面上不共线的两个向量来表示。 (3)通过例 2 的教学要让学生掌握平行于同一个向量的两个向量平行。 (4)轴上向量的坐标的教学要围绕平形向量基本定理的应用展开。 (5)教材中 P 91 第 11 行“反过来,任意给定一个实数 x ,我们总能作一个向量 a ? xe , 使它的长度等于这个实数 x 的绝对值,方向与实数的符号一致” ,这里的“方向与实数的符 号一致”是不是改成“方向与实数的符号所确定的方向一致”更合适些。

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