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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.2


数学

北(文)

§3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值
第三章 导数及其应用

基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的单调性 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x) > 0,则在这个区 间上,函数y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,函数y=f(x) 的导数f

′(x) < 0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的. 2.求函数极值点的步骤 (1)求出导数f′(x); (2)解方程f′(x)=0; (3)对于f′(x)=0的每一个解x0: ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为极大值点; ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为极小值点; ③若f′(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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基础知识·自主学习
要点梳理
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值 与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小 值, f(b) 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递 减,则 f(a) 为函数的最大值, f(b) 为函数的最小值.

基础知识

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思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在 [a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求f(x)在(a,b)内的 极值 ; ②将f(x)的各极值与 f(a),f(b) 进行比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) √ (4) × (5) √ (6) √

解析

A C B
[-3,+∞)

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题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【 例 1】 -1.

已知函数f(x)=e -ax

思维启迪

解析

思维升华

(1)求f(x)的单调增区间; (2)是否存在a,使f(x)在(-2,3) 上为减函数,若存在,求出a 的取值范围,若不存在,请说 明理由.

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题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【 例 1】 -1.

已知函数f(x)=e -ax

思维启迪

解析

思维升华

(1)求f(x)的单调增区间; (2)是否存在a,使f(x)在(-2,3) 上为减函数,若存在,求出a 的取值范围,若不存在,请说 明理由.

函数的单调性和函数中的 参数有关,要注意对参数 的讨论.

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题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【 例 1】 -1.

已知函数f(x)=e -ax

思维启迪

解析

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f′(x)=ex-a,

(1)求f(x)的单调增区间; (2)是否存在a,使f(x)在(-2,3) 上为减函数,若存在,求出a 的取值范围,若不存在,请说 明理由.

(1)若a≤0, 则f′(x)=ex-a≥0, 即f(x)在R上单调递增,
若a>0,ex-a≥0, ∴ex≥a,x≥ln a. 因此当a≤0时,f(x)的单调增区 间为R,

当a>0时,f(x)的单调增区间是 [ln a,+∞).
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题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【 例 1】 -1.

已知函数f(x)=e -ax

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解析

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(2)∵f′(x)=ex-a≤0在(-2,3) 上恒成立. ∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立.
又∵-2<x<3,∴e-2<ex<e3, 只需a≥e3. 当a=e3时,f′(x)=ex-e3在 x∈(-2,3)上, f′(x)<0,即f(x)在(-2,3)上为 减函数,∴a≥e3.

(1)求f(x)的单调增区间; (2)是否存在a,使f(x)在(-2,3) 上为减函数,若存在,求出a 的取值范围,若不存在,请说 明理由.

故存在实数a≥e3,使f(x)在(-2,3) 上为减函数.
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题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【 例 1】 -1.

已知函数f(x)=e -ax

思维启迪

解析

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(1)利用导数的符号来判断函数 的单调性;

(1)求f(x)的单调增区间; (2)是否存在a,使f(x)在(-2,3) 上为减函数,若存在,求出a 的取值范围,若不存在,请说 明理由.

(2)已知函数的单调性求函数范围 可以转化为不等式恒成立问题;

(3)f(x)为增函数的充要条件是对 任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且 在(a,b)内的任一非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等 号不能省略,否则漏解.

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1 3 x -(1+a)x2+4ax+24a,其中常 3 (2,2a) . 数a>1,则f(x)的单调减区间为________ 跟踪训练1 (1)设函数f(x)=
解析 f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),

由a>1知,当x<2时,f′(x)>0, 故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数; 当2<x<2a时,f′(x)<0, 故f(x)在区间(2,2a)上是减函数; 当x>2a时,f′(x)>0,

故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数. 综上,当a>1时,
f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,

在区间(2,2a)上是减函数.
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(2)已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调递增函数,

(0,3] . 则 a 的取值范围是________

解析

∵f′(x)=3x2-a,f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,

∴f′(x)≥0,∴a≤3x2,∴a≤3.

又 a>0,可知 0<a≤3.

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题型二 利用导数求函数的极值

【例2】

1 2 设a>0,函数f(x)= x 2

思维启迪

解析

思维升华

-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

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题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值

【例2】

1 2 设a>0,函数f(x)= x 2

思维启迪

解析

思维升华

-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

(1)通过f′(2)的值确定a;

(2)解f′(x)=0,然后要讨论两 个零点的大小确定函数的极 值.

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题型二 利用导数求函数的极值

【例2】

1 2 设a>0,函数f(x)= x 2

思维启迪

解析

思维升华

-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

(1)由已知,得x>0, a f′(x)=x-(a+1)+x, y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率
为1,
所以f′(2)=1, a 即2-(a+1)+2=1,
所以a=0,此时f(2)=2-2=0, 故所求的切线方程为y=x-2.



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题型二 利用导数求函数的极值
解析 思维启迪 思维升华 1 2 设a>0,函数f(x)= x a 2 (2)f′(x)=x-(a+1)+x

【例2】

-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

x2-?a+1?x+a = x ?x-1??x-a? = . x ①当0<a<1时,
若x∈(0,a),f′(x)>0, 函数f(x)单调递增;
若x∈(a,1),f′(x)<0, 函数f(x)单调递减;

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题型二 利用导数求函数的极值
解析 思维启迪 思维升华 1 2 设a>0,函数f(x)= x 2 若x∈(1,+∞),f′(x)>0,

【例2】

-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

函数f(x)单调递增.
此时x=a是f(x)的极大值点, x=1是f(x)的极小值点,

函数f(x)的极大值是 1 2 f(a)=- a +aln a, 2

1 极小值是f(1)=-2.

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题型二 利用导数求函数的极值

【例2】

1 2 设a>0,函数f(x)= x 2

思维启迪

解析

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-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

?x-1?2 ②当a=1时,f′(x)= x >0,

所以函数f(x)在定义域(0,+∞) 内单调递增,
此时f(x)没有极值点,故无极值. ③当a>1时,若x∈(0,1), f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x∈(1,a),f′(x)<0, 函数f(x)单调递减;

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题型二 利用导数求函数的极值
解析 思维启迪 思维升华 1 2 设a>0,函数f(x)= x 2 若x∈(a,+∞),f′(x)>0,函

【例2】

-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

数f(x)单调递增. 此时x=1是f(x)的极大值点, x=a是f(x)的极小值点,
1 函数f(x)的极大值是f(1)=-2, 1 2 极小值是f(a)=-2a +aln a.

综上,当0<a<1时, 1 2 f(x)的极大值是- a +aln a, 2
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题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值

【例2】

1 2 设a>0,函数f(x)= x 2

思维启迪

解析

思维升华

-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

1 极小值是- ; 2

当a=1时,f(x)没有极值;
1 当a>1时,f(x)的极大值是- 2 , 1 2 极小值是-2a +aln a.

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题型二 利用导数求函数的极值
解析 思维启迪 思维升华 1 2 【例2】 设a>0,函数f(x)= x 2 (1)导函数的零点并不一定就是函 数的极值点.所以在求出导函数 -(a+1)x+a(1+ln x).

(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处 与直线y=-x+1垂直的切线 方程; (2)求函数f(x)的极值.

的零点后一定要注意分析这个零 点是不是函数的极值点. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内 有极值,那么y=f(x)在(a,b)内 绝不是单调函数,即在某区间上 单调函数没有极值.

基础知识

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思想方法

练出高分

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ex 跟踪训练2 设f(x)= 2,其中a为正实数. 1+ax 4 (1)当a= 时,求f(x)的极值点; 3 (2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 2 1 + ax -2ax x 解 对f(x)求导得f′(x)=e · . ?1+ax2?2 4 (1)当a=3时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0, 3 1 解得x1=2,x2=2.结合①,可知 ? ?1 3? 1 3 1? ? ? ? ? -∞,2 , x 2 2 ? ? ?2 2?
f′(x) f(x) + 0 - 0 极大值 极小值 3 1 所以 x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2
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?3 ? ? ,+∞? ?2 ?



题型分类·深度剖析
ex 跟踪训练2 设f(x)= 2,其中a为正实数. 1+ax 4 (1)当a= 时,求f(x)的极值点; 3 (2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
(2)若f(x)为R上的单调函数,

则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0 在R上恒成立,

即Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1.

所以a的取值范围为{a|0<a≤1}.

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题型三 利用导数求函数的最值
2

【 例 3】

已知函数f(x)=ax +1

思维启迪

解析

思维升华

(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点(1,c)处具有公 共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函 数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最 大值为28,求k的取值范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
2

【 例 3】

已知函数f(x)=ax +1

思维启迪

解析

思维升华

(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点(1,c)处具有公 共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函 数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最 大值为28,求k的取值范围.
基础知识 题型分类

(1)题目条件的转化:f(1)= g(1)且f′(1)=g′(1);
(2)可以列表观察h(x)在 (-∞,2]上的变化情况, 然后确定k的取值范围.

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
2

【 例 3】

已知函数f(x)=ax +1
3

思维启迪

解析

思维升华

(a>0),g(x)=x +bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点(1,c)处具有公 共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函 数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最 大值为28,求k的取值范围.
基础知识 题型分类



(1)f′(x)=2ax,

g′(x)=3x2+b.

因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在 它们的交点(1,c)处具有公共切 线,

所以f(1)=g(1)且f′(1)=g′(1), 即a+1=1+b且2a=3+b,

解得a=3,b=3.
(2)记h(x)=f(x)+g(x), 当a=3,b=-9时,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
2

【 例 3】

已知函数f(x)=ax +1

思维启迪

解析

思维升华

(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点(1,c)处具有公 共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函 数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最 大值为28,求k的取值范围.
基础知识 题型分类

h(x)=x3+3x2-9x+1, 所以h′(x)=3x2+6x-9. 令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1. h′(x),h(x)在(-∞,2]上的变 化情况如下表所示:
(-∞, x h′(x) h(x) -3 (-3,1) -3) + ↗ 0 28 - ↘ 1 0 -4 (1,2) 2 + ↗ + 3

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
2

【 例 3】

已知函数f(x)=ax +1
3

思维启迪

解析

思维升华

(a>0),g(x)=x +bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点(1,c)处具有公 共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函 数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最 大值为28,求k的取值范围.
基础知识 题型分类

由表可知当k≤-3时,函数h(x)在 区间[k,2]上的最大值为28;
当-3<k<2时,函数h(x)在区间[ k,2] 上的最大值小于28. 因此k的取值范围是(-∞,-3].

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
2

【 例 3】

已知函数f(x)=ax +1
3

思维启迪

解析

思维升华

(a>0),g(x)=x +bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点(1,c)处具有公 共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函 数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最 大值为28,求k的取值范围.
基础知识 题型分类

(1)求解函数的最值时,要先求函 数y=f(x)在[a,b]内所有使f′(x) =0的点,再计算函数y=f(x)在 区间内所有使f′(x)=0的点和区 间端点处的函数值,最后比较即 得.

(2)可以利用列表法研究函数在一 个区间上的变化情况.

思想方法

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跟踪训练3 已知函数f(x)=xln x. (1)求函数f(x)的极值点; (2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上 的最小值.(其中e为自然对数的底数).
1 解 (1)f′(x)=ln x+1,x>0,由f′(x)=0得x=e , 1 1 所以f(x)在区间(0, e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增. 1 所以,x= 是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在. e (2)g(x)=xln x-a(x-1),
则g′(x)=ln x+1-a,

由g′(x)=0,得x=ea-1,
所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 已知函数f(x)=xln x. (1)求函数f(x)的极值点; (2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上 的最小值.(其中e为自然对数的底数).
在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.
当ea 1≤1,即a≤1时,在区间[1,e] 上,g(x)为递增函数,


所以g(x)的最小值为g(1)=0. 当1<ea-1<e,即1<a<2时,g(x)的最小值为g(ea-1)=a-ea-1. 当ea-1≥e,即a≥2时,在区间[1,e] 上,g(x)为递减函数,

所以g(x)的最小值为g(e)=a+e-ae.
综上,当a≤1时,g(x)的最小值为0;

当1<a<2时,g(x)的最小值为a-ea 1;


当a≥2时,g(x)的最小值为a+e-ae.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

审 思题 维路 启线 迪图

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解方程f′(x)=0列表求单调区间;
(2)根据(1)中表格,讨论k-1和区间[0,1] 的关系求最 值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

解 (1)由题意知f′(x)=(x-k+1)ex. 令f′(x)=0,得x=k-1.
f(x)与f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x)
基础知识 题型分类

2分

(-∞,k-1) -

k-1 0 -ek
-1

(k-1,+∞) +

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1); 单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1] 上单调递增, 所以f(x)在区间[0,1] 上的最小值为f(0)=-k;
8分

6分

当0<k-1<1,即1<k<2时,
f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1] 上单调递增,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答


温 馨 提 醒

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek 1;

当k-1≥1,即k≥2时,f(x)在[0,1] 上单调递减, 所以f(x)在区间[0,1] 上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上,当k≤1时,f(x)在[0,1] 上的最小值为f(0)=-k;
当1<k<2时,f(x)在[0,1] 上的最小值为f(k-1)=-ek 1;


10分

当k≥2时,f(x)在[0,1] 上的最小值为f(1)=(1-k)e.
基础知识 题型分类 思想方法

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以 下几步答题: 第一步:求函数f(x)的导数f′(x);

第二步:求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

第三步:求f(x)在给定区间上的端点值;

第四步:将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较, 确定f(x)的最大值与最小值;
第五步:反思回顾:查看关键点,易错点和解题规范.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题考查求函数的单调区间,求函数在给定区间[0,1] 上的最值,属常规题型.

(2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全 面,不准确的情况.
(3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题.
题型分类 思想方法

基础知识

练出高分

思想方法·感悟提高
1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列 表观察函数的变化情况,直观而且条理,减少 失分.

方 法 与 技 巧

2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全; 含参数时,要讨论参数的大小.

3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极 值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还 是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值 点必须在函数的定义域内进行.

失 误 与 防 范

2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值 点,要通过认真比较才能下结论.

3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题, 处理好f′(x)=0时的情况;区分极值点和导数为0 的点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所 示,则y=f(x)的图像可能为 ( C )

解析

根据f′(x)的符号,f(x)图像应该是先下降后上升,最后

下降,排除A,D;

从适合f′(x)=0的点可以排除B.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

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专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.下面为函数y=xsin x+cos x的递增区间的是 π 3π A.( , ) B.(π,2π) 2 2 3π 5π C.( , ) D.(2π,3π) 2 2

( C )

解析 y′=(xsin x+cos x)′ =sin x+xcos x-sin x=xcos x,

3π 5π 当x∈( , )时,恒有xcos x>0.故选C. 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

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3.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则( A ) A.a<-1 1 C.a>- e
解析

B.a>-1 1 D.a<- e
∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.

∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,
则方程y′=ex+a=0有大于零的解,

∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 4.设函数f(x)= x -9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实 2 数a的取值范围是 A.1<a≤2 C.a≤2 B.a≥4 D.0<a≤3 ( A )

1 2 9 解析 ∵f(x)= x -9ln x,∴f′(x)=x- (x>0), 2 x 9 当x- x ≤0时,有0<x≤3,即在(0,3]上原函数是减函
数,
∴a-1>0且a+1≤3,解得1<a≤2.
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5.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 B. 0 C.2 D.4

( C )

解析 ∵f′(x)=3x2-6x, 令f′(x)=0,得x=0或x=2. ∴f(x)在[ -1,0)上是增函数,f(x)在(0,1] 上是减函数.
∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.

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9 -3,0),(0,3) . 6.函数f(x)=x+x的单调减区间为( _____________
2 9 x -9 f′(x)=1-x2= x2 ,

解析

令f′(x)<0,解得-3<x<0或0<x<3,

故单调减区间为(-3,0)和(0,3).

基础知识

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思想方法

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7.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值, a>2或a<-1 . 则a的取值范围是___________
解析 ∵f(x)=x3+3ax2+3[ (a+2)x+1] ,

∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).

令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0.
∵函数f(x)有极大值和极小值, ∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根. 即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1.
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2 x 8.设函数f(x)=x3- -2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有 2 7 (-∞,2). f(x)>a,则实数a的取值范围是________

解析 f′(x)=3x2-x-2, 令f′(x)=0,得3x2-x-2=0,
2 解得x=1或x=- , 3

7 2 157 11 又f(1)= ,f(- )= ,f(-1)= ,f(2)=7, 2 3 27 2 7 7 故f(x)min= ,∴a< . 2 2
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5
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1 9.已知函数f(x)=x+ln x.求函数f(x)的极值和单调区间. 1 1 x-1 解 因为f′(x)=-x2+x = x2 ,
令f′(x)=0,得x=1,又f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x),f(x)随x的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) - 1 0 极小值 (1,+∞) +

所以x=1时,f(x)的极小值为1. f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
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10.已知函数f(x)=x2+bsin (1)求函数f(x)的解析式;

x-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对

于任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0. (2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x在区间(0,1)上单调递 减,求实数a的取值范围.
解 (1)F(x)=f(x)+2=x2+bsin x-2+2=x2+bsin x,

依题意,对任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0.

即x2+bsin x-(-x)2-bsin(-x)=0,
即2bsin x=0,所以b=0,所以f(x)=x2-2.
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10.已知函数f(x)=x2+bsin (1)求函数f(x)的解析式;

x-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对

于任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0. (2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x在区间(0,1)上单调递 减,求实数a的取值范围.
(2)∵g(x)=x2-2+2(x+1)+aln x,
∴g(x)=x2+2x+aln x,

a g′(x)=2x+2+x .
∵函数g(x)在(0,1)上单调递减,∴在区间(0,1)内,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

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5
6 7 8 9 10

10.已知函数f(x)=x2+bsin (1)求函数f(x)的解析式;

x-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对

于任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0. (2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x在区间(0,1)上单调递 减,求实数a的取值范围.
2 a 2x +2x+a g′(x)=2x+2+x= ≤0恒成立, x

∴a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.
∵-(2x2+2x)在(0,1)上单调递减,∴a≤-4为所求.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

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3 4 5

1.已知f(x)是可导的函数,且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则( A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e2 014f(0) D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0)

)

f?x? 解析 令g(x)= ex , f′?x?ex-f?x?ex f′?x?-f?x? f?x? 则g′(x)=( ex )′= = <0, e2x ex
f?x? 所以函数g(x)= ex 是单调减函数,
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专项能力提升
3 4 5

1.已知f(x)是可导的函数,且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则( D ) A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e2 014f(0) D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0)
所以g(1)<g(0),g(2 014)<g(0), f?1? f?0? f?2 014? f?0? 即 e1 < 1 , e2 014 < 1 ,

故f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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专项能力提升
3 4 5

2 2. 如图是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图像, 则 x2 1+x2等于( C )

8 A. 9
解析

10 B. 9

16 C. 9

28 D. 9

由图像可得 f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,

又∵x1、x2 是 f′(x)=3x2-2x-2=0 的两根, 2 2 ∴x1+x2= ,x1x2=- , 3 3 22 2 16 2 2 2 故 x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=( ) +2× = . 3 3 9
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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专项能力提升
3 4 5

1 2 3.已知函数f(x)=- x +4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的 2 (0,1)∪(2,3) . 取值范围是___________

3 -x +4x-3 解析 由题意知f′(x)=-x+4-x = x ?x-1??x-3? =- , x 由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,
则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内, 函数f(x)在区间[ t,t+1] 上就不单调, 由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

2

练出高分
1 2

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3 4 5

4.(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
解 (1)f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4 =ex(ax+a+b)-2x-4,
∵y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4,

∴f′(0)=a+b-4=4,f(0)=b=4, ∴a=4,b=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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3 4 5

4.(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
(2)由(1)知f′(x)=4ex(x+2)-2(x+2)=2(x+2)(2ex-1) 1 令f′(x)=0得x1=-2,x2=ln 2,
列表: x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值
? 1? ?-2,ln ? 2? ?

1 ln 2 0 极小值

? ?ln ?

? 1 ? 2,+∞?

- ↘

+ ↗

基础知识

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3 4 5

4.(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
? ∴y=f(x)的单调增区间为(-∞,-2),?ln ? ? 1 ,+∞?; 2 ?

? 单调减区间为?-2,ln ?

1? ?. 2?


f(x)极大值=f(-2)=4-4e 2.

基础知识

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3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0) =1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
解 (1)由 f(0)=1,f(1)=0,得 c=1,a+b=-1,

则 f(x)=[ ax2-(a+1)x+1] ex,

f′(x)=[ ax2+(a-1)x-a] ex, 依题意对于任意 x∈[0,1] ,有 f′(x)≤0. 当a>0时, 因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图像开口向上,
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3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0) =1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
而f′(0)=-a<0,所以需f′(1)=(a-1)e<0,即0<a<1; 当a=1时,对于任意x∈[0,1] ,有f′(x)=(x2-1)ex≤0,

且只在x=1时f′(x)=0,f(x)符合条件; 当a=0时,对于任意x∈[0,1] ,f′(x)=-xex≤0, 且只在x=0时,f′(x)=0,f(x)符合条件; 当a<0时,因f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件.
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5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0) =1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
故a的取值范围为0≤a≤1. (2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,

g′(x)=(-2ax+1-a)ex, ①当a=0时,g′(x)=ex>0, g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,

在x=1处取得最大值g(1)=e.
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1 2

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5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0) =1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
②当a=1时,对于任意x∈[0,1]有g′(x)=-2xex≤0, g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2,

1-a ③当0<a<1时,由g′(x)=0得x= 2a >0. 1-a 1 若 2a ≥1,即0<a≤3时,
g(x)在[0,1] 上单调递增,
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在x=1处取得最小值g(1)=0.

练出高分
1 2

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5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0) =1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a, 在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e. 1-a 1 当 2a <1,即3<a<1时, 1? a 1-a 1-a g(x)在 x= 2a 处取得最大值 g( 2a )=2ae 2 a



在 x=0 或 x=1 处取得最小值,
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1 2

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3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0) =1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, 由 g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0, e-1 e-1 1 得 a= .则当3<a≤ 时, e+1 e+1 g(0)-g(1)≤0,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a; e-1 当 <a<1 时,g(0)-g(1)>0, e+1 g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e.
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