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衡水中学2014高三下学期期中数学文试题


衡水中学 2013--2014 学年度第二学期期中考试
高三年级(文科)数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一 选择题 (每小题 5 分,共 60 分,且每小题只有一个正确选项) 1、已知复数 z ? A. 2 ? i

1 ? 2i ,则它的共轭复数 z 等于( i5
B. 2 ? i C. ?2 ? i D. ?2 ? i

)

2、已知等差数列 {a n } 中, a7 ? a9 ? 16 , s11 ? A. 15 3、已知 sin 2? ? B.30

99 , 则 a12 的值是( 2
C.31

) D.64

1 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? ( ) 3 4 1 1 2 2 A. B. ? C. D. ? 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4、若向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为(
A.



? 2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6


开始

5、某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的值是( A.63 B.31 C.27 D.15

S ?0

6、若点 ? x, y ? 在曲线 y ? ? x 与 y ? ?2 所围成的封闭区域内 (包括边界) ,则 2 x ? y 的最大值为( A.-6 B.4 C.6 ) D.8
输出 i 是

i ?1
S ? 50


e x ? e? x 7、下列函数中,与函数 f ( x) ? 的奇偶性、单调性 3
均相同的是( A. y ? ln( x ? C. y ? tan x 8、以下判断正确的是( ) )
结束

S ? S 2 ?1

i ? 2i ? 1

x 2 ? 1)

B. y ? x

2

D. y ? e

x

A .相关系数 r ( | r |? 1 ), | r | 值越小,变量之间的线性相关程度越高.
B .命题“ 存在x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ 任意x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”.
C .命题“在 ?ABC 中,若 A ? B, 则sin A ? sin B ”的逆命题为假命题.

D .“ b ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 是偶函数”的充要条件.
9、已知椭圆 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1(m, n ? 0) ,椭圆 C1 的焦点和长轴端点 m n 4 3
) D. ( 3, ?3)

分别是双曲线 C2 的顶点和焦点,则双曲线 C2 的渐近线必经过点( A. ( 2, 3) B. (2, 3) C. ( 3,1)

10、已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是有一 直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( )

11、设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为
2

坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

). C. y ? 4 x
2

B. y ? ? 8 x
2

D. y ? 8 x
2

12、若点 P (a, b) 在函数 y ? ? x ? 3ln x 的图像上,点 Q (c, d ) 在函数 y ? x ? 2 的图像上,则
2

(a - c) 2 + (b - d ) 2 的最小值为(
A. 2 B. 2

) C. 2 2 D.8

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸上相应位置。 13、已知全集 U ? ?0,1,2,3,4? ,集合 A ? ?1,2? , B ? ?2,3,4? ,则 是 . 的子集个数

14、 在 ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 且角 A=60°, 若 S ?ABC ? 则 ABC 的周长等于 。

15 3 , 且 5sinB=3sinC, 4

15、正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面积的最 小值为____________. 16 、若数列

?a n ? 的通项公式 a

n

?

1 ,记 cn ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) ,则 c n ? ( n ? 1)2

_________ 三 解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程及演 算步骤,只写出最后结果不得分) 17、 (本小题满分 12 分) 若 f ( x) ?

3 cos2 ax ? sin ax cos ax (a ? 0) 的图像与直线 y ? m(m ? 0) 相切,并且切点

横坐标依次成公差为 ? 的等差数列. (1)求 a 和 m 的值; (2) ⊿ABC 中 a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边。若 ( 一个对称中心,且 a=4,求⊿ABC 面积的最大值。

A 3 , ) 是函数 f ( x) 图象的 2 2

18、 (本小题满分 12 分) 今年我校高二文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的学业水平测试,现学校决定利用随 机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样统计,先将 800 人按 001,002, 。 。 。 。 。800 进行编号: (1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的三个人的编号: (下面 摘取了第 7 行至第 9 行)

(2)抽出 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表: 数学 人数 优 秀 优秀 地 良好 理 及格 a 4 b 9 18 6 7 良 好 20 及 格 5

成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表

中数学成绩良好的共有 20+18+4=42 人,若在该样本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a、b 的 值; (3)在地理成绩为及格的学生中,已知 a ? 10, b ? 8 ,求数学成绩为优秀的人数比及格的人 数少的概率

19、 (本小题满分 12 分) 如图, ABCD 是边长为 2 的正方形,

ED ? 平面 ABCD , ED ? 1 , EF // BD 且 EF ?
(1)求证:平面 EAC ? 平面 BDEF (2)求几何体 ABCDEF 的体积

1 BD . 2

20、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F (1,0) ,A、B 是椭圆 C 的 左、右顶点,P 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且△APB 面积的最大值为 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 AP 与直线 x ? 2 交于点 D,证明:以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ( 1)若直线 y ? x ? m 与函数 f ( x) 的图象相切,求实数 m 的值;

1 有唯一的公共点; x f (b) ? f (a) b ? a (3)设 0 ? a ? b ,比较 与 的大小,并说明理由。 2 b?a
(2)证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x ?

选做题(本小题满分 10 分)请在答题卡上将所选题目的题号后面的小方框涂黑,并在答题卡

上作答。 22.选修 4—1;几何证明选讲. 如图,已知⊙O 中,直径 AB 垂直于弦 CD,垂足为 M,P 是 CD 延长线上一点, PE 切⊙O 于点 E, 连接 BE 交 CD 于点 F, 证明:

(1)∠BFM=∠PEF; (2)PF2=PD· PC.

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 为极点,以 x 铀正半轴为极轴,已 知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ,曲线 C2 的参数方程为 ? ,射线 ? ? ? ,? ? ? ? 0 ?? ?? ) C. (I)求证: OB ? OC ? (Ⅱ)当 ? ?

? x ? m ? t cos ? (t 为参数, ? y ? t sin ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 交于(不包括极点 O)三点 A、B、

2 OA ;

?
12

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 ? 的值.

24、选修 4—5:不等式选讲 设不等式 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 的解集为 M (1)求集合 M; (2)若 x ? M , y ?

1 1 5 , z ? , 求证: x ? 2 y ? 3z ? 6 9 3

高三期中文数答案: 1---12 BACCA CADDC BD 13、4 14、 8 ? 19 15、 4? 16、

n?2 n ?1

17、解: (1) f ( x) ?

3 cos2 ax ? sin ax cos ax =

3 ? ? sin(2ax ? ) ??????3 分 2 3 3 ?1 ? 0 2

由题意,函数 f ( x) 的周期为 ? ,且最大(或最小)值为 m ,而 m ? 0 ,

所以, a ? 1 , m ?

3 ?1 2

???? ????????6 分

(2)∵(

A 3 , ) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心 2 2

∴ sin(A ?

?
3

)?0

又因为 A 为⊿ABC 的内角,所以 A ?

?
3

???? ????????8 分

1 16 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? ? b2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc 2 所以 bc ? 16 (当且仅当 b ? c 时取等号)?????10 分
S max ? 4 3 (当且仅当 b ? c 时取到最大值)
?????12 分 ????3 分

18、解: (1)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 785,667,199;

7?9?a (2)由 ? 0.3 ,得 a ? 14 , 100 ∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 , ∴ b ? 17 ;
(3)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, b ? 8 ,

????5 分

????7 分

∴满足条件的 (a, b) 有: (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16) , (16,15) , (17,14) , (18,13) , (19,12) , (20,11) , (21,10) , (22,9) , (23,8)共 14 组, 且每组出现的可能性相同. ?.?9 分 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有: (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16)共 6 组. ????11 分 ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为 分

6 3 ? . 14 7

????12

? ED ? AC. 19、 (1)? ED ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD,
? ABCD为正方形 ? BD ? AC, 又ED ? BD ? D ? AC ? 平面BDEF ,
又 AC ? 平面EAC ,?平面EAC ? 平面BDEF ???6 分 (2)因为 ED ? 平面 ABCD ∴ ED ? BD 又? EF ∥ BD 且 EF =

1 BD , 2

? BDEF是直角梯形 ,又? ABCD是边长为2的正方形 , BD ? 2 2 , EF ? 2

( 2 ? 2 2) ?1 3 2 ,又 AC ? 平面BDEF , ? 梯形BDEF的面积为 ? 2 2
所以几何体的体积 V ABCDEF ? 2V A? BDEF ? 2 ? S BDEF ? AO ? 2 ? ? 分 20.解析: (1)由题意可设椭圆 C 的方程为

1 3

1 3 2 ? 2 ? 2. ???12 3 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

?1 ? 2 ? 2a ? b ? 2 3, ? 由题意知 ?c ? 1, 解得 a ? 2, b ? 3 . ? 2 2 2 ?a ? b ? c . ? x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1 .????????4 分 4 3 (2)由题意,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

y P

D E x

O F B A ? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 2 由?x 得 (3 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 . y2 ? ?1 ? 3 ?4 16k 2 ? 12 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ? . 3 ? 4k 2 6 ? 8k 2 所 以 , x0 ? 3 ? 4k 2 12k .???????????????6 分 y0 ? k ( x0 ? 2) ? 3 ? 4k 2 因为点 F 坐标为 (1, 0) , 1 3 当 k ? ? 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2 直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 与直线 PF 相切.?8 分 y 1 4k 当 k ? ? 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? 0 ? . x0 ? 1 1 ? 4k 2 2

所以直线 PF 的方程为 y ?

4k ( x ? 1) . 1 ? 4k 2
8k 4k ? 2k ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2
2 k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2 | k | .????10 分 1 ? 4k 2 |1 ? 4k 2 |

点 E 到直线 PF 的距离 d ?

1 | BD | .故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 2 综上得,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. ???????????????12 分
又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ?

21、解: (1) f / ( x) ?

1 x

1 ? 1, ? x0 ? 1, y0 ? ln x0 ? ln1 ? 0 , x0 代入 y ? x ? m ,得 m ? ?1 ……………………….2 分
设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 k ?

1 3 ?( x ? ) 2 ? 1 1 1 1 2 4 ?0 (2)令 h( x) ? f ( x) ? ( x ? ) ? ln x ? x ? ,则 h / ( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x x x2 ? h( x) 在 (0, ??) 内单调递减,……………………….4 分 又 h(1) ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0 所以 x ? 1 是函数 h( x ) 的惟一的零点。所以点 (1, 0) 是两曲线惟一的公共点。……….6 分 b ?1 ln b ? ln a b ? a 1 b a (3) , ? ? ln ? 2 b ? a 2 a b ?1 a 1 x ?1 b 又因为 0 ? a ? b, 所以 ? 1 构造函数 ? ( x) ? ln x ? ………….8 分 ( x ? 1) 2 x ?1 a 1 x ? 1 ? ( x ? 1) 1 2 ( x ? 1) 2 ? / ( x) ? ? ? ? ? ?0 2x ( x ? 1) 2 2 x ( x ? 1) 2 2 x( x ? 1) 2

? ? ( x) 在 (1, ??) 内单调递增…….10 分
又当 x ? 1 时, ? (1) ? 0 ? x ? 1 时, ? ( x) ? 0 即
/

1 x ?1 ln x ? 2 x ?1


b ?1 ln b ? ln a b ? a 1 b a 则有 ln ? 成立。即 ? 2 b?a 2 a b ?1 a
22、(1)连接 OE,

f (b) ? f (a) b ? a ………….12 分 ? 2 b?a

∵PE 切⊙O 于点 E,∴OE⊥PE. ∴∠PEF+∠FEO=90°. 又∵AB⊥CD, ∴∠B+∠BFM=90°. 又∵∠B=∠FEO, ∴∠BFM=∠PEF. -------------5 分 (2)∵∠EFP=∠BFM, ∴∠EFP=∠PEF. ∴PE=PF. 又∵PE2=PD·PC, ∴PF2=PD·PC.
-------------10 分

24. (1)① ?

? x ? ?1 ? x ?? ?? 2 x ? 2

???????(1 分)

②?

?? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ?2 ? 2
???????(2 分)

① ?

?x ? 1 ? x ?? ?2 x ? 2
???????(3 分)

不等式的解集为 [?1,1] (2) | x ? 2 y ? 3z |?| x | ?2 | y | ?3 | z |

???????(4 分) ???????(7 分) ???????(9 分)

1 1 5 ?| 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 6 9 3 ?| x ? 2 y ? 3z |? 5 3

???????(10 分)


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