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直线的斜率与倾斜角


目的要求:
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念; 2、了解直线的倾斜角概念,理解直线的斜率概念,并能准确 表述直线的倾斜角的定义; 3、已知直线倾斜角(或斜率)会求直线的斜率(或倾斜角); 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。

教学重点、难点:
本节的重点是直线的倾斜角斜率的概念; 难点是斜率存在与不存在的讨论及

用反三角函数表示直线的 倾斜角。

教学过程:

1、“直线的方程”和“方程的直线
(1)有序数对(0,1)满足函数y=2x+1, 则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1)。
(2)反过来,直线上点B(1,3),则 有序实数对(1,3)就满足y=2x+1。 一般地,满足函数式y=kx+b的每一对x, y的值,都是直线 l 上的点的坐标(x,y); 反之,直线 l 上每一点的坐标(x,y)都满 足函数式y=kx+b,因此,一次函数y=kx+b 的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b的 每一对x,y的值为坐标的点构成的。

y

y=2x+1
B(1,3)

A(0,1)

o

x

从方程的角度看,函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0,这样满足一次函数y=kx+b的每一对x, y的值“变成了”二元一次方程y-kx-b=0的解,使方程 和直线建立了联系。

定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直 线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线。

以上定义改用集合表述:
直线可以看成由点组成的集合,记作C,以一个 关于x,y的二元一次方程的解为坐标的集合,记 作 F。 若(1)C ? F ( 2) F ? C,则C=F

例1、已知方程2x+3y+6=0。
(1)把这个方程改成一次函数式; (2)画出这个方程所对应的直线 l。
3 (3)点( 2

,1)是否在直线 l上。

y

2 y ? ? x?2 略解:(1) 3

o x (2)过A(0,-2),B(-3,0) (-3,0) (0,-2) 两点的直线即为所求直线 l ; (3)点( 3 ,1)不在直线 l 上。
2

2、直线的倾斜角
问题1:在直角坐标系中,过点P的一条直线绕P点旋转,不 管旋转多少周,它对x轴的相对位置有几种情形?画图表示。 l y y y y l p l p p p o o o x o x x x
l

总结:有四种情况,如图。可用直线 l

与x轴所成的角来描 述。我们规定,直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地,当直线和x轴平行或重合 时,它的倾斜角为0°。

定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相
交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角,记为 ? 那么就叫 做直线的倾斜角。

问题2:下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对, 违背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?

x

o

?

x

? o
(3)

x

?
o
(4)

x

(1)

(2)

提问:
问题3:直线的倾斜角能不能是0°?能不能是锐角?能不 能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角? (通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ ? <180°, 在此范围内,坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向,倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。)

3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率

定义3:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

k ? tan ? ?=0°时,k值如何? 问题 45 :当 问题 :填表说出直线的倾斜角与斜率 k之间的关系: 当0°< ?< 90°时,k值如何? 当 ? =90°时,k值如何? 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° < ? <180°时,k值如何? ? 的大小
K的范围

K的增减性

例2:直线 l1 的倾斜角?1 =30°,直线 l2 ? l1 , 求 l1 , l 2 的斜率。
y

l1

o

?1 ? 2
l2

解: 的斜率为 k1 ? tan?1 ? 3 l1 3 的倾斜角为 ? ? 900 ? 300 ? 1200 ? l 2 2 x ? l 2 的斜率为 k2 ? tan?2 ? ? 3

例3:如图所示菱形ABCD的 ? BAD=60°,求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
略解: ? AD ? ? BC ? 600 D

C

? AB ? ? DC ? 00 ? AC ? 300 ? BD ? 1200

o
A

x
B

k AD ? k BC ? 3 k AB ? kCD ? 0
k AC ?

3 ; k BD ? ? 3 3

4、课堂练习:
(1)课本第37面练习1、2。 3 (2)直线的倾斜角 ? 的正切值为 ,求此直线的斜率。

5、小结:
直线的倾斜角

5

直线的斜率

定义 取值范围

6、布置作业:
(1)阅读教材第35面至第37面。 (2)第37页习题7.1第1、2、3题。

思考题:
(1)如果直线 l1 的斜率为0,l1 (2)如果直线 l 的斜率 围是什么? (3)直线的倾斜角的正弦为 sin ? ,也是 ? 的三角函数,为什么不用 它来作直线的斜率呢?

? l2 ,那么直线 l 2 的斜率怎样? ,那么它的倾斜角的范 k 的范围是 0 ? k ? 1


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