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江苏省数学竞赛提优教案:第18讲 平几中的几个重要定理(一)


第 18 讲 平几中的几个重要定理(一) 本节主要内容有 Ptolemy、Ceva、Menelaus 等定理及应用. 定理 1 (Ptolemy 定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和; (逆命题成立) 定理 2 (Ceva 定理)设 X、Y、Z 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的 Z P B X A 一点,则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点的

充要条件是 Y AZ BX CY · · =1. ZB XC YA C 定理 3 (Menelaus 定理)设 X、Y、Z 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上,则 X、Y、 Z 共线的充要条件是 AZ BX CY · · =1. ZB XC YA Z Y A B C X 定理 4 设 P、Q、A、B 为任意四点,则 PA -PB =QA -QB ?PQ⊥AB. 2 2 2 2 D C A 类例题 例 1 证明 Ptolemy 定理. A E B 已知:如图,圆内接 ABCD,求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC. 分析 可设法把 AC·BD 拆成两部分,如把 AC 写成 AE+EC,这样,AC·BD 就拆成了两部 分:AE·BD 及 EC·BD,于是只要证明 AE·BD=AD·BC 及 EC·BD=AB·CD 即可. 证明 在 AC 上取点 E,使?ADE=?BDC, 由?DAE=?DBC,得⊿AED∽⊿BCD. ∴ AE∶BC=AD∶BD,即 AE·BD=AD·BC. ⑴ 又?ADB=?EDC,?ABD=?ECD,得⊿ABD∽⊿ECD. ∴ AB∶ED=BD∶CD,即 EC·BD=AB·CD. AC·BD=AB·CD+AD·BC. ⑵ ⑴+⑵,得 说明 本定理的证明给证明 ab=cd+ef 的问题提供了一个典范. 链接 用类似的证法,可以得到 Ptolemy 定理的推广(广义 Ptolemy 定理):对于一般的四 边形 ABCD,有 AB·CD+AD·BC≥AC·BD.当且仅当 ABCD 是圆内接四边形时等号成立. 例 2 证明 Ceva 定理. 分析 此三个比值都可以表达为三角形面积的比,从而可用面积来证明. 证明:设 S⊿APB=S1,S⊿BPC=S2,S⊿CPA=S3. 则 A Z P B X C AZ S3 BX S1 CY S2 = , = , = , ZB S2 XC S3 YA S1 Y 三式相乘,即得证. 说明 用同一法可证其逆正确. 链接 本题也可过点 A 作 MN∥BC 延长 BY、CZ 与 MN 分别交于 M、N,再用比例来证明.运 用此定理可以比较简洁证明三条角平分线、三条中线、三条高等共点问题. 例 3 证明 Menelaus 定理. 证明:作 CN∥BA,交 XY 于 N, Z Y A AZ CY CN XC 则 = , = . CN YA ZB BX AZ BX CY AZ CN BX CY 于是 · · = · · · =1. ZB XC YA CN ZB XC YA 本定理也可用面积来证明:如图,连 AX,BY, 记 S?AYB=S1,S?BYC=S2,S?CYX=S3,S?XYA=S4.则 N X B A C Z S1 S4 Y S2 S3 C X B AZ S4 BX S2+S3 CY S3 = ; = ; = ,三式相乘即得证. ZB S2+S3 XC S3 YA S4 说明 用同一法可证其逆正确.Ceva 定理与 Menelaus 定理是一

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