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2016上海市各区县初三一模数学试题及答案


2016 上海长宁区初三数学一模试题
(满分 150 分) 2016.1.6 一、选择题。 (本题共 6 个小题,每题 4 分,共 24 分) 1、如果两个三角形的相似比是 1:2,那么他们的面积比是( A.1:2 B.1:4 C.1: 2 ). D.2:1

2、如图,在△ABC 中,∠ADE=∠B,DE:BC=2:3,则下列结论正确的是( ). A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:2 3、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则 sinB 的值是( ). A.

2 2

B.

3 2

C.

1 2

D.2

4、在△ABC 中, 若 cosA= A.直角三角形 5、已知⊙
1

2 , tanB= 3 , 则这个三角形一定是 ( 2
C.钝角三角形
2

) .

B.等腰三角形

D.锐角三角形

O 的半径 r 为 3cm,⊙ O

的半径 R 为 4cm,两圆的圆心距

O O 为 1cm,则这
1 2

两个圆的位置关系的( ). A.相交 B.内含

C.内切

D.外切

6 二次函数 y ? ( x ? 2)2 ?1 的图像可以由二次函数 y ? x 2 的图像平移得到, 下列平移正确的 是( ). A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位 B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位 C.先向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位 D.先向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位 二、填空题。 (本大题共 12 小题,每题 4 分,满分 48 分) 7、已知抛物线 y ? x ? 1 的顶点坐标是(
2 2

). )

8、已知抛物线 y ? x ? bx ? 3 的对称轴为直线 x=1,则实数 b 的值为( 9、已知二次函数 y ? ax ? bx ,阅读下面表格信息,由此可知 y 与 x
2

的函数关系式是(
2

).

10、已知二次函数 y ? ( x ? 3) 图像上的两点 A(3,a)和 B(x,b) , 则 a 和 b 的大小关系是 a( )b. 11、圆是轴对称图形,它的对称轴是( ). 12、已知⊙ O 的弦 AB=8cm,弦心距 OC=3cm,那么该圆的半径是(

)cm.

13、如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 垂直 AB,已知 AC=1,BC= 2 2 ,那么 sin∠ACD 的值是 ( ).

1

1

14、王小勇操纵一辆遥控汽车从 A 处沿北偏西 60°方向走 10m 到 B 处,再从 B 处向正南方 走 20m 到 C 处,此时遥控汽车离 A 处( )m. 15、已知△ABC 中,AD 是中线,G 是重心,设 AD ? m ,那么用 m 表示 AG =( ).

16、如图,已知 AB⊥BD,ED⊥BD,C 是线段 BD 的中点,且 AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么 AB= ( ). 17、如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为

5 ?1 的矩形称 2

作黄金矩形。现将长度为 20cm 的铁丝折成一个黄金矩形,这个黄金 矩形较短的边长是( )cm. 18、如图,ABCD 为正方形,E 是 BC 边上一点,将正方形折叠,使 A 点与 E 点重合,折痕为 MN,如果 tan∠AEN=

1 ,DC+CE=10,那么△ 3

ANE 的面积为( ). 三、解答题。 (本大题共 7 个小题,满分 78 分) 19(本题满分 10 分) 如图,在正方形网格中,每一个小正方形的边长都是 1,已知向 量 a 和 b 的起点、 终点都是小正方形的顶点, 如果 c ? 3a ? 求作 c 并写出 c 的模(不用写作法,只要所求作向量) 。

1 b, 2

20(本题满分 10 分)
2 0 - cos75? - cot10?) ? 2cos60? - 2tan45? . 计算: tan 30? (

2

2

21(本题满分 10 分) 已知△ABC 中,∠CAB=60°,P 为△ABC 内一点且∠APB=∠APC=120°, 求证: AP2 ? BP * CP .

22(本题满分 10 分) 如图,点 C 在⊙O 的直径 BA 的延长线上,AB=2AC,CD 切⊙O 于点 D,连接 CD,OD. (1)求角 C 的正切值: (2)若⊙O 的半径 r=2,求 BD 的长度.

23(本题满分 12 分) 靠校园一侧围墙的体育场看台侧面,如图阴影部分所示,看台的三级台阶高度相等,宽度相 同,现要用钢管做护栏扶手 ACG 及三根与水平地面 PQ 垂直的护栏支架 CD、EF 和 GH(底端 D、F、H 分别在每级台阶的中点处) ,已知看台高为 1.2 米,护栏支架 CD=GH=0.8 米, ∠DCG=66.5°.(参考数据:sin66.5°=0.92,cos66.5°=0.40,tan66.5°=2.30) (1)点 D 与点 H 的高度差是( )米: (2)试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度 l,即 AC+CG+CD+EF+GH 的长度.(结果精确到 0.1 米)

3

3

24(本题满分 12 分) 如图,直角坐标平面内的梯形 OABC,OA 在 x 轴上,OC 在 y 轴上,OA∥BC,点 E 在对角线 OB 上,点 D 在 OC 上,直线 DE 与 x 轴交于点 F,已知 OE=2EB,CB=3,OA=6,BA= 3 5 ,OD=5. (1)求经过点 A、B、C 三点的抛物线解析式: (2)求证:△ODE ∽△OBC: (3)在 y 轴上找一点 G,使得△OFG∽△ODE,直接写出点 G 的坐标。

4

4

25(本题满分 14 分) 如图,平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,sin∠B=

4 ,E 点为 BC 边上的一个动点(不与 B、 5

C 重合) ,过 E 作直线 AB 的垂线,垂足为 F,FE 与 DC 的延长线相交于点 G,连结 DE,DF. (1)当△ABE 恰为直角三角形时,求 BF:CG 的值: (2)当点 E 在线段 BC 上运动时,△BEF 与△CEG 的周长之和是否是常数,请说明理由: (3)设 BE=x,△DEF 的面积为 y,试求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域.

5

5

选择题 填空题

2015-2016 上海长宁区初三数学一模试题参考答案 1-6:B、A、C、D、C、B 7、 (0,1) 12、5 8、-2 13、 9、 y ? x 2 ? x 14、 10 3 15、 10、≤ 11、圆的直径 16、4

1 3
18、

2 m 3

17、 15 ? 5 3 解答题: 19:原式= (

10 3

5 3 2 1 ) ? 1 ? 2 * ? 2 *1 =3 3 2

20:图略

c 的模为 65
AP BP 2 ? ,即 AP ? BP * CP PC AP

21:证明△APB∽△CDA 得

22: (1)tanC=

3 ; (2)BD= 2 3 3

23: (1)0.8; (2)4.9 米 24: (1) y ? ?

1 2 4 1 3 3 x ? x ? 6 或者 y ? ? ( x ? ) 2 ? 6 3 3 3 2 4

(2)E(2,4) ,OE= 2 5 ,OB= 3 5 ,

OE 2 5 OC = ,∠DOE=∠BOC, ? OB OD 5

故得证 (3) (0,5) 、 (0,-5) 、 (0,20) 、 (0,-20)

25: (1)

3 或者 5 7
24 算法略

(2)常数 (3) y ?

24 6 2 x? x (0?x?10) 5 25

6

6

黄浦区 2015 学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. 如果两个相似三角形的周长比为 1:4,那么这两个三角形的相似比为( (A)1:2; (B)1:4; (C)1:8; (D)1:16. )

2016.1

2. 已知线段 a、b、c,其中 c 是 a、b 的比例中项,若 a=9cm,b=4cm,则线段 c 长( (A)18cm; (B)5cm; (C)6cm; (D) ? 6cm. )



3. 如果向量 a 与向量 b 方向相反,且 3 a ? b ,那么向量 a 用向量 b 表示为( (A) a ? 3b ; (B) a ? ?3b ; (C) a ?

1 b; 3

(D) a ? ? b .

1 3

4. 在直角坐标平面内有一点 P(3,4) ,OP 与 x 轴正半轴的夹角为 ? ,下列结论正确的是 ( ) (A) tan ? ?

4 4 3 5 ; (B) cot ? ? ; (C) sin ? ? ; (D) cos ? ? . 3 5 5 4


5. 下列函数中不是二次函数的有( (A) y ? x( x ? 1) ; (B) y ?

2 x 2 ? 1; (C) y ? ? x 2 ; (D) y ? ( x ? 4) 2 ? x 2 .

6. 如图 1,在△ ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,如果 DE∥BC,且∠DCE=∠B, 那么下列说法中,错误的是( (A)△ADE∽△ABC; (B)△ADE∽△ACD; (C)△ADE∽△DCB; (D)△DEC∽△CDB. 二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. 如果 sin ? ? 图1 )

3 ,那么锐角 ? ? 2

. .

8. 已知线段 a、b、c、d,如果 9. 计算:

a c 2 a?c ? ? ,那么 ? b d 3 b?d
.

3 1 (a ? 2b) ? a ? 4b ? 2 2

10. 在 Rt△ ABC 中,∠C=90° ,AC=2,cotA=

1 ,则 BC= 3

.

11. 如图 2,已知 AD、BC 相交于点 O,AB∥CD∥EF,如果 CE=2,EB=4,FD=1.5, 那么 AD= .

7

7

12. 如图 3,在△ ABC 中,点 D 是 BC 边上的点,且 CD=2BD,如果 AB ? a , AD ? b ,那 么 BC ? (用含 a 、 b 的式子表示).

图2

图3

图4

13. 在△ ABC 中,点 O 是重心,DE 经过点 O 且平行于 BC 交 边 AB、 AC 于点 D、 E,则 S△ ADE :S△ ABC = .

14. 如图 4,在△ ABC 中,D、E 分别是边 AC、AB 上的点,且 AD=2, DC=4, AE=3, EB=1, 则 DE: BC = 15. 某水库水坝的坝高为 10 米,迎水坡的坡度为 1:2.4,则该 水库迎水坡的长度为 米. 图5 .

16. 如图 5,AD、BE 分别是△ ABC 中 BC、AC 边上的高,AD=4, AC=6,则 sin∠EBC= .

2 2 17. 已知抛物线 y1 ? a( x ? m) ? k 与 y2 ? a( x ? m) ? k (m ? 0) 关于 y 轴对称,我们称 y1

与 y2 互为 “和谐抛物线” , 请写出抛物线 y ? ?4 x ? 6 x ? 7 的 “和谐抛物线”
2

.

18. 如图 6,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=45° ,点 E 是 AB 的中点,DE=DC,∠EDC=90° ,若 AB=2,则 AD 的长是 .

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 计算: cos 45? ?
2

tan 30? ? cot 2 30? 2 sin 60?

图6

20. (本题满分 10 分) 如图 7,已知△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB 和 AC 上,
8 8

DE∥BC,点 F 是 DE 延长线上的点, 若

AD DE ? ,联结 FC, BD EF

AE 2 AD ? ,求 的值. AC 3 FC
图7

21. (本题满分 10 分) 已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 如图 8 所示,请结合图像中所 给信息完成以下问题: (1)求抛物线的表达式; (2)若该抛物线经过一次平移后过原点 O,请写出一种 平移方法,并写出平移后得到的新抛物线的表达式.

图8 22. (本题满分 10 分) 如图 9,已知四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 F, 点 E 是 BD 上一点,且∠BCA=∠ADE,∠CBD=∠BAE. (1)求证:△ ABC ∽△AED; (2)求证:BE · AC = CD · AB.

图9 23. (本题满分 12 分) 如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动,已知细 绳从悬挂点 O 到球心的长度为 50 厘米,小球在 A、B 两个 位置时达到最高点,且最高点高度相同(不计空气阻力) , 在 C 点位置时达到最低点,达到左侧最高点时与最低点时 细绳相应所成的角度为 37° ,细绳在右侧达到最高点时与 一个水平放置的挡板 DE 所成的角度为 30° . ( sin 37 ? ? 0.6 , cos 37? ? 0.8 , tan 37 ? ? 0.75 ) (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差; (2)求 OD 这段细绳的长度.

图 10 24. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 3 分,第(2) 小题 3 分,第(3)小题 6 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线
9 9

、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,与 y 轴交于点 C(0, y ? ax2 ? 3ax ? c 与 x 轴交于 A(-1,0) 2). (1)求抛物线的对称轴及 B 点的坐标; (2)求证:∠CAO=∠BCO; (3)点 D 是射线 BC 上一点 (不与 B、 C 重合) , 联结 OD, 过点 B 作 BE⊥OD, 垂足为△ BOD 外一点 E,若△ BDE 与△ ABC 相似,求点 D 的坐标.

图 11

25. (本题满分 14 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) 已知直线 l1、l2,l1∥l2,点 A 是 l1 上的点,B、C 是 l2 上的点,AC⊥BC,∠ABC=60° , AB= 4,O 是 AB 的中点,D 是 CB 延长线上的点,将△ DOC 沿直线 CO 翻折,点 D 与 D' 重合. (1)如图 12,当点 D' 落在直线 l1 上时,求 DB 的长; (2)延长 DO 交 l1 于点 E,直线 OD' 分别交 l1、l2 于点 M、N, ①如图 13,当点 E 在线段 AM 上时,设 AE=x,DN=y,求 y 关于 x 的函数解析式及定 义域; ②若△ DON 的面积为

3 3 时,求 AE 的长. 2

图 12

图 13

10

10

2016 年黄浦区中考数学一模卷
一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 二、填空题 7.6 8.

2 3

9. a ? b

? ?

10.6

11.

9 2

12. 3b ? 3a
2

?

?

13. 4 : 9 三.解答题

14. 1 : 2

15. 26

16.

5 3

3 ? 37 ? 17. y ? ?4 ? x ? ? ? 4? 4 ?

18.

2 2

3 2 ? 2? 3 ? 3 2 ……………………………………………(8 分) 19.(1)【解】原式= ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? 3 2 1 1 1 ? ? ? 3 = 3 .……………………………………………………………………(2 分) 6 2 3 AD AE 20.【解】∵ DE ∥ BC ,∴ ,……………………………………………………(2 分) ? BD EC AD DE AE DE 又∵ ,∴ ,…………………………………………………………(2 分) ? ? EC EF BD EF ∴ AB ∥ FC ,………………………………………………………………………………(2 分) AD AE ∴ ,………………………………………………………………………………(2 分) ? FC EC AE 2 AE 2 ∵ ? , ? ,………………………………………………………………………(1 分) AC 3 EC 1 AD ∴ ? 2 .…………………………………………………………………………………(1 分) FC

? ?

21.【解】(1)∵抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点 ?1,0 ? , ? ?3,0? , ? 0,3? ,

?a ? b ? c ? 0, ? ∴ ?9a ? 3b ? c ? 0, ……………………………………………………………………(3 分) ?c ? 3. ? ?a ? ?1, ? 解得 ?b ? ?2, ………………………………………………………………………(2 分) ?c ? 3. ?
∴抛物线的表达式为 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 .………………………………………………(1 分) (本题若利用其他方法,请参照评分标准酌情给分) (2)方法一:将抛物线向下平移 3 个单位,得到新的抛物线 y ? ? x2 ? 2 x . ……(4 分) 方法二:将抛物线向左平移 1 个单位,得到新的抛物线 y ? ? ? x ? 2? ? 4 .…(4 分)
2

11

11

方法三:将抛物线向右平移 3 个单位,得到新的抛物线 y ? ? ? x ? 2? ? 4 .…(4 分)
2

22. 【解】证明:(1)∵∠BCA=∠ADE,又∠BFC=∠AFD,∴∠CBD=∠CAD,……(1 分) 又∵∠CBD=∠BAE,∴∠CAD=∠BAE,…………………………………………………(1 分) ∴∠BAC=∠DAE,…………………………………………………………………………(1 分) ∴△ABC∽△AED. …………………………………………………………………………(1 分) (2)∵△ ABC∽△AED, ∴

AB AE AB AC ? ? ,∴ ,…………………………………………………………(2 分) AC AD AE AD

又∠BAE=∠CAD,∴△BAE∽△CAD,…………………………………………………(2 分) ∴

BE AB ? ,∴ BE ? AC ? CD ? AB .…………………………………………………(2 分) CD AC

23. 【解】(1)过点 A 作 AF⊥OC,垂足为点 F.……………………………………………(1 分) 在 Rt△ AFO 中,∵ ?AOF ? 37? ,AO=50cm, ∴ OF ? 50 ? cos37? …………………………………………………………………………(2 分) ? 50 ? 0.8 ? 40 cm …………………………………………………………………………(1 分) ∴ CF ? 50 ? 40 ? 10 cm.……………………………………………………………………(1 分) 答:小球达到最高点位置与最低点位置的高度差为 10cm. ……………………………(1 分) (2)因为 B 点与 A 点的高度相同,所以 B 点与 C 点的高度差为 10cm,联结 BF,BF⊥OC. 设 OD 长为 xcm,……………………………………………………………………………(1 分) ∵ ?BDE ? 30? , ?ODE ? 90? , ∴ ?BDC ? 60? , ∴ DF ? ? 40 ? x ? cm , DB ? ? 50 ? x ? cm ,………………………………………………(2 分) 在 Rt△ DFB 中, 40 ? x ? ? 50 ? x ? cos60? ,……………………………………………(1 分) x ? 30 ,∴ OD ? 30 …………………………………………………………(1 分) 答:OD 这段细绳的长度为 30cm.…………………………………………………………(1 分) 24.【解】(1)∵抛物线 y ? ax 2 ? 3ax ? c , ∴x??

?3a 3 ? , 2a 2 3 ,………………………………………………………………(2 分) 2

∴对称轴是直线 x ?

∵ A?? 1,0 ? ,且 A 点在 B 点左侧,∴ B?4,0? ,………………………………………(1 分) (2)∵

CO BO ,∴ △COA ∽ △BOC ,…………………(2 分) ? ? 2 ,∠COA=∠COB=90° AO CO

∴∠CAO=∠BCO. …………………………………………………………………(1 分)

1 1 ? ? (3)过点 B?4,0? , C ?0,2? 的直线 BC 表达式 y ? ? x ? 2 ,设 D 点坐标为 ? m,? m ? 2 ? , 2 2 ? ?
∵∠CAO+∠ACO=90° ,∠CAO=∠BCO,∴∠ACB=∠BCO+∠ACO=90° . ∴ ?ACB ? ?BED ? 90? . 当点 D 在线段 BC 上时,
12 12

∵ △ BDE 与 △ABC 相似, ?EDB ? ?CBA ,∴∠EDB=∠CAO,………………………(1 分) ∵∠CAO=∠BCO,又∠EDB=∠CDO,∴∠BCO=∠CDO,

? 1 ? ∴CO=DO, ∵CO=2,∴ m 2 ? ? ? m ? 2 ? ? 2 2 ,……………………………………(1 分) 2 ? ?
解得 m1 ? 0 (舍), m2 ?

2

8 ?8 6? ,∴ D? , ? .…………………………………………………(1 分) 5 ?5 5?

当点 D 在线段 BC 的延长线上, ∵ △ BDE 与 △ABC 相似,∠CAO=∠BCO,∠BCO >∠BDE,∴∠BDE=∠CBA,……(1 分)

? 1 ? ∴DO=BO,∵BO=4,∴ m 2 ? ? ? m ? 2 ? ? 4 2 ,………………………………………(1 分) 2 ? ?
解得 m1 ? ?

2

12 ? 12 16 ? , m2 ? 4 (舍),∴ D? ? , ? ,………………………………………(1 分) 5 ? 5 5?

? 8 6 ? ? 12 16 ? 综上所述,D 点的坐标为 ? , ? 或 ? ? , ? . ?5 5? ? 5 5 ?
25.【解】(1)∵AC⊥BC, O 是 AB 的中点,∴CO=BO, ∵∠ABC=60° ,∴∠OCB=∠ABC=60° , ∵AB=4,∴OB=BC=2,……………………………………………………………………(1 分) ∵ △DOC 沿 CO 翻折,点 D 与 D' 重合,∴ CD ? CD ' , ?OCB ? ?OCD ' ? 60? , ∴ ?DCD ' ? 120? ,∴ ?DCD '? ?ABC ? 180? ,∴AB∥ CD ' ,…………………………(1 分) 又 l1 ∥ l 2 ,∴四边形 ABCD ' 是平行四边形,……………………………………………(1 分) ∴ AB ? CD ' ,∴CD=AB=4,∴DB=2,……………………………………………………(1 分) (2)①∵ l1 ∥ l 2 ,O 是 AB 的中点,∴

AE AO 1 ? ? ,∴AE=DB,………………………(1 分) DB BO 1

∵AB∥ CD ' ,∴ ?NOB ? ?OD ' C , 又∠ODC= ?OD ' C ,∴∠NOB=∠ODC,………………………………………………(1 分) 又∠DBO=∠DBO,∴ △ DBO ∽ △ OBN ,………………………………………………(1 分) ∴OB:BN=DB:OB,∵AE=x,DN=y,OB=2,∴ 22 ? x?x ? y ? ,………………………(1 分)

4 ? x2 ? 0 ? x≤2 ? .………………………………………………………………(2 分) ∴y? x
②过点 O 作 OH⊥ l2 ,垂足为点 H,∵OB=2,∠ABC=60° ,∴OH= 3 ,

3 1 3 3 ,∴ DN ? OH ? 3 ,∴ y ? 3 ,…………………………(1 分) 2 2 2 4 ? x2 当点 E 在线段 AM 上时, y ? , x
∵ ?DON 的面积为
13 13

4 ? x2 ,解得 x1 ? 1 , x2 ? ?4 (舍),∴AE=1. …………………………………(1 分) x x2 ? 4 当点 E 在线段 AM 的延长线上时, y ? ,…………………………………………(1 分) x x2 ? 4 ∴3? ,解得 x1 ? 4 , x2 ? ?1 (舍),∴AE=4,…………………………………(1 分) x 综上所述,AE=1 或 4.
∴3?

14

14

2015 学年第一学期期末考试九年级数学试卷
(满分 150 分,考试时间 100 分钟)
考生注意: 1. 本试卷含四个大题,共 26 题; 2. 答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一 律无效; 3. 除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一. 选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答 题纸的相应位置上. 】 1.如图,在直角△ABC 中, ?C ? 90 °,BC=1, tan A= 下列判断正确的是????????????( A.∠A=30°; B.AC =

1 , 2


B

C

A

1 ; C.AB=2; D.AC =2 2


第1题

2.抛物线 y ? ?4x 2 ? 5 的开口方向??????( A.向上; B.向下; C.向左; D.向右

A E D

3.如图,D、E 在△ABC 的边上,如果 ED∥BC,AE:BE=1:2,BC=6,
B C

那么 DE 的模为…………………………………( A. ? 2 ; B. ? 3 ;

) D.3.
第3题

C.2;

4.已知⊙O 是以坐标原点 O 为圆心,5 为半径的圆,点 M 的坐标为 (?3,4) ,则点 M 与⊙O 的位置关系为??????????????( A. M 在⊙O 上; B. M 在⊙O 内; ) D.M 在⊙O 右上方

C.M 在⊙O 外;

5.如图,在 RT△ABC 中,∠C=90°,∠A=26°,以点 C 为圆心,BC 为半径的圆分别交 AB、AC 于点 D、点 E,则 ( ) B.64°; C. 52°; D.128°.
第5题

的度数为??

A.26°;

6.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论 中正确的是??????????????( ) A.ac>0; B.当 x> ? 1 时,y<0;

15

15

C. b=2a;

D.9a+3b+c=0.

第6题

二.填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知

a 3 a?b ? ,那么 = ▲ . b 2 b

8. 两个相似比为 1:4 的相似三角形的一组对应边上的中线比为 ▲ . 9.如图 D、E 分别为△ABC 的边 AB、AC 上的点,当 ▲ 时(填一个条件) ,△DEA 与 △ABC 相似. 10. 如图△ABC 中∠C=90°,若 CD⊥AB 于 D,且 BD=4,AD=9,则 CD= ▲ . 11. 计算: 2(3a ? 4b) ? 5a ?
A


C


B

D E B C

A

C

B

D
第 10 题

A

D

3 12. 如图,菱形 ABCD 的边长为 10, sin ?BAC ? ,则对角线 AC 的长为 ▲ . 5 2 13. 抛物线 y ? ?2( x ? 3) ? 4 的顶点坐标是 ▲ .
14.若 A(1,2)、B(3,2)、 C(0,5)、D( m ,5)抛物线 y ? ax ? bx ? c 图像上的四点,则 m =
2

第9题

第 12 题

▲ . 15.已知 A(4,y1) 、B(-4,y2)是抛物线 y ? ( x ? 3) ? 2 的图像上两点,则 y1__▲__y2.
2

16.已知⊙O 中一条长为 24 的弦的弦心距为 5,则此圆的半径长为 ▲ . 17.如图,在等边△ABC 内有一点 D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD 绕 A 点逆时针旋转, 使 AB 与 AC 重合,点 D 旋转至点 E,则∠CDE 的正弦值为 ▲ .

第 17 题

第 18 题

18 . 如 图 抛 物 线 , y ? x 2 ? 2x ? 3 交 x 轴于 A(-1,0)、B(3,0) 交 y 轴于 C(0,

16

16

-3) ,M 是抛物线的顶点,现将抛物线沿平行于 y 轴的方向向上平移三个单位,则曲线 CMB 在平移过程中扫过的面积为 ▲(面积单位) . 三、 (本大题共 8 题,第 19--22 题每题 8 分;第 23、24 题每题 10 分.第 25 题 12 分;第 26 题每题 14 分;满分 78 分) 19. 计算:

tan 45o cos2 30o ? 3 tan30o ? 2 sin 45o cot 30o

20.已知某二次函数的对称轴平行于 y 轴,图像顶点为 A(1,0)且与 y 轴交于点 B(0,1). (1)求该二次函数的解析式;

(2) 设 C 为该二次函数图像上横坐标为 2 的点, 记 OA=a , OB ? b 试用 a 、 b 表示 OC .

??? ? ?

21.如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图,已知自动 扶梯 AC 的坡度为 1:2,AC 的长度为 5 5 米,AB 为底楼 地面,CD 为二楼楼面,EF 为二楼楼顶,当然有 EF∥AB ∥CD,E 为自动扶梯 AC 的最高端 C 的正上方,过 C 的直 线 EG⊥AB 于 G,在自动扶梯的底端 A 测得 E 的仰角为 42°,求该商场二楼的楼高 CE. (参考数据 sin 42 °=
A

E C

F D B

G
第 21 题

2 5 2 5 , cos 42 °= , tan 42 °= ) 3 3 5

22.如图,以 AB 为直径的⊙O 与弦 CD 相交于点 E,若 AC=2



17

17

AE=3,CE=

.求弧 BD 的长度.(保留 ? )

第 22 题

23.如图,D 为△ABC 边 AB 上一点, 且 CD 分△ABC 为两个相似比为 1: 3 的一对相似三 角形. (不妨如图假设左小右大) 求: (1)△BCD 与△ACD 的面积比; (2)△ABC 的各内角度数.

C
第 23 题

B

D

A

24.本题共 10 分,其中(1) 、 (2)小题各 5 分 如图,△ABC 中,AB=AC=6,F 为 BC 的中点,D 为 CA 延长线上一点,∠DFE=∠B; (1) 求证:

CD BF ? ; DF EF

D A E

(2) 若 EF∥CD, 求 DE 的长度.

B

F

C

第 24 题

18

18

25.本题共 12 分,其中(1) 、 (4)小题各 2 分, (2) 、 (3)小题各 4 分 (1)已知二次函数 y ? ( x ? 1)(x ? 3) 的图像如图, 请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎 样的左右平移,新图像通过坐标原点? (2)在关于二次函数图像的研究中,秦篆晔同学发 现抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )和抛物 线 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )关于 y 轴对称, 基于协作共享,秦同学将其发现口诀化 “ a 、 c 不变, b 相反”供大家分享,而在旁边补笔 记的胡庄韵同学听成了 “ a 、 c 相反, b 不 变” ,并按此法误写,然而按此误写的抛物线 第 25 题图

第 25 题

恰巧与原抛物线也对称,请你写出小胡同学所写的与原抛物线 y ? ( x ? 1)(x ? 3) 的对 称图形的解析式,并研究其与原抛物线的具体对称情况。 (3)抛物线 y ? ( x ? 1)(x ? 3) 与 x 轴从左到右交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,M 是其对称 轴上一点,点 N 在 x 轴上,当点 N 满足怎样的条件,以点 N、B、C 为顶点的三角形与 △MAB 有可能相似,请写出所有满足条件的点 N 的坐标. (4)E、F 为抛物线 y ? ( x ? 1)(x ? 3) 上两点,且 E、F 关于 D ( ,0) 对称,请直接写出 E、 F 两点的坐标.

3 2

19

19

26. 本题共 14 分,其中(1) 、 (2) 、 (3)小题各 4 分, (4)小题 2 分 如图点 C 在以 AB 为直径的半圆的圆周上,若 AB= 4,∠ABC=30°,D 为边 AB 上一动点, 点 E 和 D 关于 AC 对称,当 D 与 A 重合时,F 为 EC 的延长线上满足 CF=EC 的点,当 D 与 A 不重合时,F 为 EC 的延长线与过 D 且垂直于 DE 的直线的交点, (1)当 D 与 A 不重合时,CF=EC 的结论是否成立?试证明你的判定。, (2)设 AD= x ,EF= y ,求 y 关于 x 的函数及其定义域; (3)如存在 E 或 F 恰好落在弧 AC 或弧 BC 上时,求出此时 AD 的值;如不存在,则请说明 理由. (4)请直接写出当 D 从 A 运动到 B 时,线段 EF 扫过的面积.

第 26 题

2015 学年第一学期期末考试九年级数学评分参考
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. D; 2. B; 3. C; 4.A; 5. C; 6. D.

二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.

1 ; 2

8.1:4;

9. ?AED ? ?B 等;

10.6;

11. a ? 8b ;

12.16;

13. (3,4) ;

14.4;

15.>;

16.13;

17.

3 7 ; 8

18. 9.

三、简答题(本大题共 8 题,第 19--22 题每题 8 分;第 23、24 题每题 10 分.第 25 题 12 分;第 26 题每题 14 分;满分 78 分)

19.解:原式=

1 3 2 3? ?2 3 2

?

(

3 2 ) 2 3

????????5 分

20

20

= 3?

2?

3 3 3? 2. = 4 4

???????8(2+1)分

20.解:对称轴平行于 y 轴,图像顶点为 A(1,0) 的 y ? a( x ? 1) 2 ???2 分 将 B(0,1)代入易知 a ? 1 ,因此所求二次函数为 y ? ( x ? 1) 2 ??4 分 ∵ f (2) ? 1 ,∴C(2,1) . ∴ OC = 2a ? b ???????????6 分 ???????????8 分

21. 解:∵EH⊥AB ,EF∥AB∥CD,E 为自动扶梯 AC 的最高端 C 的正上方, ∴EC⊥CD, ???????????2 分

∵在直角△ACH 中,AC 的坡度为 1:2,AC= 5 5 , ∴CH=5,AH=10, ∵在直角△AEH 中∠EAH=42° ∴EH=AH ? tan?EAH ? AH ? tan42 ? 4 5 ,????????7 分
0

???????????5 分

∴EC= 4 5 ? 5 ?????8 分 22.解:∵△ACE 中,AC=2 ∴AC =12=AE +CE
2 2 2

??????

A
,AE=3,CE= ,

??????????2 分

O C E B D

∴△ACE 是直角三角形,即 AE⊥CD(E 为垂足)

CE 1 ? ,∴∠A=30°??4 分 在直角△AEC 中, sin A ? AC 2
联接 OC,∵O A =OC ∴ ∴∠COE=2∠A=60° ???????6 分

=sin∠COE,解得 OC=2

∵AE⊥CD,∴

=

=

60? ? 2 2 ? ? .???????8 分 180 3

其他方法,请参照评分. 23.(1)一对相似比为 1: 3 的△BCD 与△ACD 的面积比为 1:3?????4 分
21 21

(2)如图, ∵∠ADC >∠B (∠ADC>∠BCD) ,∴∠ADC=∠CDB =90° ∴斜边 BC 和 AC 为这对相似三角形的对应边 ?????????6 分 若∠B=∠A,则 BC=AC,这样和 BC:AC=1: 3 (相似比)矛盾. ∴∠BCD=∠A,∠C =90° ∵在直角△A B C 中, tan A = ???????8 分
C

BC 3 ? AC 3
B D A

∴∠A=30°∠B=60° ????????10 分 △ABC 的各内角∠A=30°∠B=60°∠C =90° 其他方法,请参照评分. 24. (1)∵AB=AC ∴∠B=∠C ????????1 分

D A E

∵∠DFB =∠C+∠CDF,∠DFE=∠B=∠C ???2 分 ∴∠CDF=∠EFB ????????3 分 ∴△BEF∽△CFD ????????4 分 ∴

CD BF ? DF EF

B

F

C

????????5 分

(2) ∵EF∥CD, ∴∠EFB=∠C ∵∠CDF=∠EFB, ∴∠CDF=∠C ????????6 分 ∵F 为 BC 的中点,∴E 为 AB 中点,FB=FC=FD ????7 分 联接 DB,∠FDB =∠FBD; ????????8 分 ∴∠CDB=

1 1800 ? 90°, DE= AB=3 ????????10 分 2 2

其他方法,请参照评分.

25.解: (1)二次函数 y ? ( x ? 1)(x ? 3) 的图像向左平移 1 个或 3 个单位,新图像通过坐标 原点????????????????????????2 分 (2)小胡所写的抛物线为 y ? ? x ? 4x ? 3 ,???????????4 分
2

其图像与原抛物线( y ? x ? 4 x ? 3 )的图像关于坐标原点对称。??6 分
2

(3)∵M 是抛物线对称轴上一点 ∴△MAB 为等腰三角形 当以点 N、B、C 为顶点的三角形等腰时才可能为与△MAB 相似,?7 分 当 NB=NC 时,易知 N 1 (0,0) 当 CN=CB 时,易知 N 2 (?3,0) 当 BC=BN 时,易知 N 3 (3 ? 3 2 ,0) 和 N 4 (3 ? 3 2 ,0) ??????10 分

22

22

(4)上述抛物线上点 (

3 3? 3 3 3? 3 3 )关于 D ( ,0) 对称.?12 分 ,? ) 和( , 2 2 2 2 2

其他方法,请参照评分. 26. (1)结论成立,连接 CD,如图 1 所示. ∵点 E 与点 D 关于 AC 对称,∴CE=CD.??1 分 ∴∠E=∠CDE. ??????2 分

∵DF⊥DE,∴∠E+∠F=90° ,∠CDE+∠CDF=90° . ∴∠F=∠CDF. ∴CD=CF. ??????3 分 ∴CE=CD=CF.??????4 分
E F C

(2)由(1)得 EF=2CD, 过 C 作 CH⊥AB 于 H,??5 分 ∵AB= 4,∠ABC=30°, 即如图 3,联接 OC,AO=CO,BO=CO, ∠ACB= ∠A+∠B=

A

H

D

B

180 =90°???????6 分 2

设 AD= x ,AH=1,CH= 3 ,DH= x ? 1 (或 1 ? x ) 在直角△CDH 中 CD ? CH 2 ? DH 2 ?

x 2 ? 2x ? 4 ?7 分
C E F

∴ y ? 2 x 2 ? 2 x ? 4 (其中 0 ? x ? 4) ?????8 分 (3)∵根据题意点 E 与点 D 关于 AC 对称, 点 F 与点 D 关于 BC 对称, ∴∠OAE=120,∠OBF=60
A

D

B

∴E 不可能恰好落在弧 AC, ?????10 分 当 F 恰好落在弧 BC 上时,△BDF 为等边三角形 ∴此时 AD=2 ?????????????12 分 (当 AD=0 和 AD=4 时,E 和 F 也分别恰好落在弧 AC 和弧 BC 上??建议不计分) (4)∵点 D 与点 E 关于 AC 对称,点 D 与点 F 关于 BC 对称, ∴当点 D 从点 A 运动到点 B 时,点 E 的运动路径 AM 与 AB 关于 AC 对称, 点 F 的运动路径 NB 与 AB 关于 BC 对称. ∴EF 扫过的图形就是图中阴影部分. ∴S 阴影=2S△ABC=2× AC?BC=AC?BC= 4 3 ∴EF 扫过的面积为 4 .??????14 分

23

23

其他方法,请参照评分.

24

24

静安区 2015 学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试卷
(完成时间:100 分钟
考生注意: 1. 本试卷含三个大题, 共 25 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸、本试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. 2016.1

满分:150 分 )

1 2

的相反数是 (B) ? 2 ; (C)

(A) 2 ;

2 ; 2

(D) ?

2 . 2

2.下列方程中,有实数解的是 (A) x 2 ? x ? 1 ? 0 ; (B) x ? 2 ? 1 ? x ; (C) 3.化简 ( x ?1 ? 1)?1 的结果是 (A)

1? x 1? x ? 0 ; (D) 2 ? 1. 2 x ?x x ?x

x ; 1? x

(B)

x ; x ?1

(C) x ? 1 ;

(D) 1 ? x .

4.如果点 A(2,m)在抛物线 y ? x 2 上,将此抛物线向右平移 3 个单位后,点 A 同时平移 到点 A’ ,那么 A’坐标为 (A) (2,1) ; (B) (2,7) (C) (5,4) ; (D) (-1,4) . 5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD 是高,如果 AD=m,∠A= ? , 那么 BC 的长为 (A) m ? tan ? ? cos ? ; (B) m ? cot ? ? cos? ; (C)

m ? tan ? m ? tan ? ; (D) . sin ? cos ?

6.如图,在△ABC 与△ADE 中,∠BAC=∠D,要使△ABC 与△ADE 相似,还需满足下列条件 中的 (A) (C) A

AC AB AC BC ; (B) ; ? ? AD AE AD DE AC BC AC AB ; (D) . ? ? AD AE AD DE
B

D C
(第 6 题图)

E

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.计算: (?2a 2 )3 ? ▲ .

25

25

8.函数 f ( x) ?

x?3 的定义域为 x?2


▲ .



9.方程 x ? 5 ? x ? 1 的根为

10.如果函数 y ? (m ? 3) x ? 1 ? m 的图像经过第二、三、四象限,那么常数 m 的取值范围 为 ▲ . ▲ .

11.二次函数 y ? x 2 ? 6 x ? 1 的图像的顶点坐标是

12.如果抛物线 y ? ax 2 ? 2ax ? 5 与 y 轴交于点 A,那么点 A 关于此抛物线对称轴的对称点 坐 标是 ▲ . A D F C (第 13 题图) ▲ . (用 E

13.如图,已知 D、E 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 上的点,DE//BC,BE 与 CD 相交于点 F,如果 AE=1,CE=2,那么 EF∶BF 等于 14.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 G 是重心,如果 sin A ? 那么 GC 的长等于 ▲ . ▲ .

1 ,BC=2, 3 B

15. 已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, BC=2AD, 设 AB ? a ,BC ? b , 那么 CD ? ? ? 向量 a 、 b 的式子表示) ;

16.在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,∠AED=∠B,AB=6,BC=5,AC=4, 如果四边形 DBCE 的周长为

25 ,那么 AD 的长等于 2



.

A

D

17.如图,在□ABCD 中,AE⊥BC,垂足为 E,如果 AB=5, BC=8, sin B ?

4 .那么 tan ?CDE ? 5

B ▲ .

E (第 17 题图)

C

18. 将□ABCD(如图)绕点 A 旋转后,点 D 落在边 AB 上的点 D’,点 C 落到 C ’,且点 C’ 、B、 C 在一直线上,如果 AB=13,AD=3,那么∠A 的余弦值为 D A B C (第 18 题图) ▲ .

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 化简:

x2 ? x ? 6 x2 ? 6x ? 9 ? ,并求当 x ? 3 2 时的值. x2 ? 4 x2 ? 2x

1

26

26

20. (本题满分 10 分) 用配方法解方程: 2 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 . 21. (本题满分 10 分, 其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) ) 如图,直线 y ? 反比 例函数图像上,OB 与 x 轴正半轴的夹角为 ? ,且 tan ? ? (1)求点 B 的坐标; (2)求△OAB 的面积. A B O 22. (本题满分 10 分) (第 21 题图)

4 ,第一象限内的点 B 在这个 x 与反比例函数的图像交于点 A(3, a ) 3 1 . 3
y

x

如图,从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ,测得杆顶端点 P 的仰角是 26.6°,向 前 走 30 米到达 B 点, 测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 45°和 33.7°. 求该电线杆 PQ 的高度(结果精确到 1 米) . (备用数据: sin 26.6? ? 0.45, cos 26.6? ? 0.89, tan 26.6? ? 0.50, cot 26.6? ? 2.00 ,

sin 33.7? ? 0.55, cos 33.7? ? 0.83, tan 33.7? ? 0.67, cot 33.7? ? 1.50 .)
P Q

A

B (第 22 题图)

23. (本题满分 12 分,其中每小题 6 分) 已知:如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AB 上,BD=AD=AC,AD 与 CE 相交 于点 F, AE 2 ? EF ? EC . (1) 求证:∠ADC=∠DCE+∠EAF; (2) 求证:AF·AD=AB·EF.
27 27

A E F B D (第 23 题图) C

24. (本题满分 12 分,其中每小题 6 分) 如图,直线 y ? 点 C,与直线 y ?

1 x ? 1 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、B,二次函数的图像与 y 轴相交于 2

1 x ? 1 相交于点 A、D,CD// x 轴,∠CDA=∠OCA. 2
y

(1) 求点 C 的坐标; (2) 求这个二次函数的解析式. C

D

A O

B x (第 24 题图)

25. (本题满分 14 分,其中第(1)小题 4 分,第(2) 、 (3)小题各 5 分) 已知:在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC=BC=10, cos ?ACB ?

4 ,点 E 在对角线 AC 上, 5

且 CE=AD,BE 的延长线与射线 AD、射线 CD 分别相交于点 F、G.设 AD=x,△AEF 的面积 为 y. (1)求证:∠DCA=∠EBC; (2)如图,当点 G 在线段 CD 上时,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)如果△DFG 是直角三角形,求△AEF 的面积. A F D G E

B (第 25 题图)

C

28

28

静安区 2015 学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试卷 参考答案及评分说明 2016.1
一、选择题: 1.D; 2.D; 3.A; 4.C; 5.C; 6.C. 二、填空题: 7 . ? 8a 6 ; 5) ; 13. 8. x ? ?2 ; 9. x ? 4 ; 10.1 ? m ? 3 ; 11. (3, -8) ; 12. (2,

1 ; 3

14.2;

15. ? a ? b ;

1 2

16.2;

17.

1 ; 2

18.

5 . 13

三、解答题: 19.解:原式=

( x ? 2)( x ? 3) ( x ? 3)2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4 分) ? ( x ? 2)( x ? 2) x( x ? 2)



( x ? 2)( x ? 3) x( x ? 2) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ( x ? 2)( x ? 2) ( x ? 3)2



x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) x ?3
1

当 x ? 3 2 ? 3 时,原式= 20.解: x 2 ?

3 3 ?3

?

1 1? 3

??

1? 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分) 2

3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) x ? ? 0, · 2 2 3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) x2 ? x ? , · 2 2 3 3 3 9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) x 2 ? x ? ( ) 2 ? ? ,· 2 4 2 16 3 33 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) (x ? ) 2 ? 4 16 3 33 x? ?? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) 4 4 3 33 3 33 x1 ? ? , x2 ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) 2 4 2 4

29

29

21.解: (1)∵直线 y ? ∴a ?

4 , x 与反比例函数的图像交于点 A(3, a ) 3

4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? 3 =4,∴点的坐标 A(3,4) 3 k 设反比例函数解析式为 y ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) x k 12 ∴ 4 ? , k ? 12 ,∴反比例函数解析式为 y ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 3 x
过点 B 作 BH⊥ x 轴,垂足为 H, 由 tan ? ? ∴m ?

BH 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? ,设 BH= m ,则 OB= 3m ,∴B( 3m , m ) · OB 3

12 , m ? ?2 (负值舍去) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 3m

∴点 B 的坐标为(6,2) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) (1) ····································· 过 点 A 作 AE⊥ x 轴,垂足为 E,

S ?OAB ? S ?OAE ? S梯形AEHB ? S ?OBH · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分)

1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) AE ? OE ? ( AE ? BH ) ? EH ? OH ? BH · 2 2 2 1 1 1 = ? 3 ? 4 ? (4 ? 2) ? 3 ? ? 6 ? 2 ? 9. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) 2 2 2
=

22.解:延长 PQ 交直线 AB 于点 H,由题意得. 由题意,得 PH⊥AB,AB=30,∠PAH=26 .6°,∠PBH=45°,∠QBH=33.7°, 在 Rt△QBH 中, cot ?QBH ?

BH ? 1.50 ,设 QH= x ,BH= 1.5 x ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) QH

在 Rt△PBH 中,∵∠PBH=45°,∴PH= BH= 1.5 x ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) 在 Rt△PAH 中, cot ?PAH ?

AH · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) ? 2.00 ,AH=2PH= 3 x , · PH

∵AH–BH=AB,∴ 3x ? 1.5 x ? 30 , x ? 20 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) ∴PQ=PH–QH= 1.5 x ? x ? 0.5 x ? 10 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 答:该电线杆 PQ 的高度为 10 米. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分)

23.证明: (1)∵ AE 2 ? EF ? EC ,∴

AE EC .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? EF AE

又∵∠AEF=∠CEA,∴△AEF∽△CEA. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分)
30 30

∴∠EAF=∠ECA, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ∵∠ACD =∠DCE+∠ECA=∠DCE+∠EAF. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) (2)∵△AEF∽△CEA,∴∠AEC=∠ACB.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ∵DA=DB,∴∠EAF=∠B. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ∴△EAF∽△CBA. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分)

AF EF .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? BA AC AF EF ∵AC=AD,∴ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? BA AD
∴ ∴ AF ? AD ? AB ? EF . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分)

24.解: (1)∵直线 y ?

1 x ? 1 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、B, 2

∴A(–2,0) 、B(0,1) .∴OA=2,OB=1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) ∵CD// x 轴,∴∠OAB=∠CDA,∵∠CDA=∠OCA,∴∠OAB=∠OCA. · · · · · · · · · · · · · (1 分) ∴tan∠OAB=tan∠OCA, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ∴

OB OA 1 2 ,∴ ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? OA OC 2 OC

∴ OC ? 4 ,∴点 C 的坐标为(0,4) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) (2)∵CD// x 轴,∴

CD BC .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? AO BO CD 3 ∵BC=OC–OB=4–1=3,∴ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? ,∴CD=6,∴点 D(6,4) 2 1
设二次函数的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? 4 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分)

1 ? ?a ? ? 4 , ?0 ? 4a ? 2b ? 4, ??????(1 分) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? 3 ?4 ? 36a ? 6b ? 4, ? b? . 2 ?
∴这个二次函数的解析式是 y ? ? x 2 ?

1 4

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) x?4.· 2

25.解: (1)∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ECB. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 又∵AD=CE,AC=CB,∴△DAC≌△ECB.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) ∴∠DCA=∠EBC.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) (2)过点 E 作 EH⊥BC,垂足为 H.AE=AC–CE= 10 ? x .

CH ? CE ? cos ?ACB ? S?CBE
31

4 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) x ,∴EH= x . · 5 5 1 1 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? BC ? EH ? ?10 ? x ? 3x .· 2 2 5
31

∵AF//BC.∴△AEF∽△CEB,∴

S AEF AE 2 ?( ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) S ?CEB CE



y (10 ? x ) 2 3x 2 ? 60 x ? 300 ? y ? ,∴ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) x 3x x2

定义域为 0 ? x ? 5 5 ? 5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) (3)由于∠DFC=∠EBC<∠ABC, 所以∠DFC 不可能为直角. (i)当∠DGF=90°时,∠EGC=90°,由∠GCE=∠GBC,可得△GCE∽△GBC. ∴ tan ?GBC ?

CG CE x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? ? .· GB CB 10
3 x 3x 5 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 4 50 ? 4 x 10 ? x 5

EH ? 在 Rt△EHB 中, tan ?GBC ? BH

x 3x ,解得 x ? 0( 舍去), 或 x ? 5 . ? 10 50 ? 4 x 3 ? 52 ? 60 ? 5 ? 300 ? 15 . · ∴ S ?AEF ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 5
∴ (ii)当∠GDF=90°时,∠BCG=90°,由△GCE∽△GBC, 可得∠GEC=90°,∠CEB=90°, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分)

3 3 , S ?AEF ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 2 2 3 综上所述,如果△DFG 是直角三角形,△AEF 的面积为 15 或 . 2
可得 BE=6,CE=8,AE=2,EF=

32

32

浦东新区 2015 学年第一学期初三教学质量检测 数学试卷
(完卷时间 100 分钟,满分 150 分) 考生注意: 1. 本试卷含三个大题, 共 25 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸 规定的位置上作答, ... 在草稿纸、本试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸 的相应位置上写出证明或 ... 计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【每小题只有一个正确选项,在答题纸的相应题号的选项上用 2 B 铅笔填涂】 1.如果两个相似三角形对应边之比是 1∶4,那么它们的对应边上的中线之比是( ▲ ) . (A)1∶2; (B)1∶4; (C)1∶8; (D)1∶16. ).

2.在 Rt△ ABC 中,∠C=90° ,若 AB=5,BC=4,则 sinA 的值为( ▲ (A)

3 ; 4

(B)

3 ; 5

(C)

4 ; 5

(D)

4 . 3
D

A E C
第3题图

3.如图,点 D、E 分别在 AB、AC 上,能推得 DE∥BC 的条件是( ▲ ) . (A)AD∶AB=DE∶BC; (C)AD∶DB=AE∶EC; (B)AD∶DB=DE∶BC; (D)AE∶AC=AD∶DB.

B

4.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像如图所示,那么 a、b、c 的符号为( ▲
2

) . y

(A) a <0, b <0, c >0; (C) a >0, b >0, c >0;

(B) a <0, b <0, c <0; (D) a >0, b >0, c <0.

5. 如图, Rt△ ABC 中, ∠ACB=90°, CD ? AB 于点 D, 下列结论中错误的是 ( ▲ ) . (A) AC ? AD ? AB ;
2

O
第 4 题图

x

(B) CD ? AC ? BC ;
2

C

(C) CD ? AD ? DB ;
2

(D) BC ? BD ? BA .
2

A
6.下列命题是真命题的是( ▲ ) . (A)有一个角相等的两个等腰三角形相似; (B)两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似; (C)四个内角都对应相等的两个四边形相似; (D)斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
33 33

D
第5题图

B

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7.已知

x 1 x ? ,那么 = ▲ . y 3 x? y

8.计算: 2a ? 3 ? a ? b ? =

r

?1 r ?3

r? ?

▲ .

9.上海与杭州的实际距离约 200 千米,在比例尺为 1:5 000 000 的地图上,上海与杭州的 图上距离约 ▲ 厘米. 10.某滑雪运动员沿着坡比为 1: 3 的斜坡向下滑行了 100 米,则运动员下降的垂直高度为 _▲_米. 11.将抛物线 y ? ( x ? 1) 向下平移 2 个单位,得到新抛物线的函数解析式是 ▲
2



12.二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示,对称轴为直线 x=2,若此抛物线与 x 轴的一个交 点为(6,0) ,则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是 ▲ . 13.如图,已知 AD 是△ABC 的中线,点 G 是△ABC 的重心, AD ? a ,那么用向量 a 表示 向量 AG 为 ▲ . y

uuu r

r

r

uuu r

A

x=2
G

A

O

6 x

B

D
第13题图

C

C

D
第14题图

B

第 12 题图

14.如图,在△ABC 中,AC=6,BC=9,D 是△ABC 的边 BC 上的点,且 ?CAD ? ?B ,那么 CD 的长是 ▲ .

AB 1 ? , AA1 ? 2 , CC1 ? 6 ,那 15.如图,直线 AA1∥BB1∥CC1,如果 BC 3
么线段 BB1 的长是 ▲ .

A B

A1 B1

16.如图是小明在建筑物 AB 上用激光仪来测量另一建筑物 CD 的示意图, 在点 P 处水平放置一平面镜,B、P、D 在一条直线上.一束激光从点 A 射 出经平面镜上的点 P 反射后刚好射到建筑物 CD 的顶端 C 处,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,且测得 AB=15 米,BP=20 米,PD=32 米,那么该建筑的 高度是 ▲ 米.
34 34

C
第15题图

C1

A P
第 16 题图

C C

B

D

17.若抛物线 y ? ax2 ? c 与 x 轴交于点 A(m,0) 、 B(n 0 , )

,与 y 轴交于点 C(0,c) ,则称

△ABC 为“抛物三角形”.特别地,当 mnc<0 时,称△ABC 为“正抛物三角形” ;当 mnc>0 时,称△ABC 为“倒抛物三角形”.那么,当△ABC 为“倒抛物三角形”时,a、c 应分别满 足条件 ▲ .

18. 在△ ABC 中,AB ? 5 ,AC ? 4 ,BC ? 3 , D 是边 AB 上的一点, E 是边 AC 上的一点 (D、 E 与端点不重合) ,如果△ CDE 与△ ABC 相似,那么 CE ? 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 计算: 2 sin 45? ? 6 tan 30? ? 2cos30? . ▲ .

20. (本题满分 10 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的变量 x 与变量 y 的部分对应值如下表:
x y
? ?

?3 7

?2
0

?1
?5

0 ?8

1
?9

5 7

? ?

(1)求此二次函数的解析式; (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴.

21. (本题满分 10 分,每小题 5 分) 如图,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,点 E 是边 AD 的中点,联结 BE 并延长交 CD 的 延长线于点 F,交 AC 于点 G. F (1)若 FD ? 2 , ED ? 1 ,求线段 DC 的长; BC 3 E (2)求证: EF ? GB ? BF ? GE . A D
G B C

第21题图
22.(本题满分 10 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 如图, l 为一条东西方向的笔直公路, 一辆小汽车在 这段限速为 80 千米/小时公路上由西向东匀速行驶,依 次经过点 A、B、C. P 是一个观测点,PC ? l,PC=60 米, l tan ?APC ?

A

B

C

4 ,?BPC ? 45? ,测得该车从点 A 点行 3
35

北 东

35

P
第22题图

驶到点 B 所用时间为 1 秒. (1)求 A、B 两点间的距离; (2)试说明该车是否超过限速.

23. (本题满分 12 分,每小题 6 分) 如图,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,DE⊥BC 交 AB 于点 E,AD =AC, EC 交 AD 于点 F. (1)求证:△ABC∽△FCD; (2)求证:FC=3EF.

A E F

B

D
第23题图

C

24.(本题满分 12 分,每小题 4 分) 如图,抛物线 y=ax +2ax+c(a>0)与 x 轴交于 A(-3,0) 、B 两点(A 在 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 C(0,-3) ,抛物线的顶点为 M. (1)求 a、c 的值; (2)求 tan∠MAC 的值; (3)若点 P 是线段 AC 上一个动点,联结 OP.问:是否存在点 P,使得以点 O、C、P 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
2

36

36

y

A

O

B x

C M 第 24 题图

37

37

25. (本题满分 14 分,其中第(1) 、 (2)小题,每题 5 分,第(3)小题每题 4 分) 如图, 在边长为 6 的正方形 ABCD 中, 点 E 为 AD 边上的一个动点 (与点 A、 D 不重合) , ∠EBM=45°,BE 交对角线 AC 于点 F,BM 交对角线 AC 于点 G,交 CD 于点 M. (1)如图 1,联结 BD,求证:△DEB∽△CGB,并写出

DE 的值; CG

(2)联结 EG,如图 2,若设 AE=x,EG=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定 义域; (3)当 M 为边 DC 的三等分点时,求 S ?EGF 的面积.

D

M G

C

D

M G

C

D

C

E F A
图1

E F B A
图2 第25题图

B

A
备用图

B

38

38

浦东新区 2015 学年第一学期初三教学质量检测 数学试卷参考答案及评分说明
一、选择题: 1.B; 2.C; 3.C; 4.A; 5.B; 6.D. 二、填空题:

r 1 r ; 8. a ? 3b ; 9.4; 10.50; 4 2r a ; 14.4; 15.3; 16.24; 13. 3
7. 三、解答题: 19.解:原式= 2 ?

11. y ? ? x ? 1? ? 2 ;
2

12.(-2,0);

17.a>0,c<0;

18. 2, , .

36 25 25 8

2 3 3 ?????????????????(6 分) ? 6? ? 2? 2 3 2

= 1 ? 2 3 ? 3 ????????????????????(3 分) = 1 ? 3. ???????????????????????(1 分) 20.解: (1)∵二次函数的图像经过点(0,-8) 、 (-2,0) 、 (1,-9)

?c ? ?8, ? ∴ ?4a ? 2b ? c ? 0, ???????????????????????(3 分) ?a ? b ? c ? ?9. ?
解得 a ? 1, b ? ?2, c ? ?8. ????????????????????(2 分) ∴这个二次函数的解析式是 y ? x ? 2 x-8 .????????????(1 分)
2

(2)写成顶点式为 y ? ? x ? 1? ? 9 ,所以顶点坐标为(1,-9).???(2 分)
2

对称轴是直线 x=1.???????????????????????(2 分) 21.解: (1)∵AD∥BC,

DE FD ? . ………………??…………??????????(2 分) BC FC ED 1 ? . ∵FD=2, BC 3 1 2 . ∴ ? 3 FC
∴ ∴FC=6. ………………?…?……?……???????????(2 分) ∴DC=6-2=4.……………………?………???????????(1 分) (2)∵AD∥BC, ∴

DE FE ? . ………………??…………???????????(1 分) BC FB

39

39



AE EG ? . ………………??…………???????????(1 分) BC GB

∵E 是 AD 中点, ∴AE=DE. …………………??…………???????????(1 分) ∴

FE EG ? . ………………??…………???????????(1 分) FB GB

∴EF.·GB=GE·BF.?…………??………??????????(1 分) 22.解: (1)∵PC⊥l

AC ,………………??…………????????????(1 分) CP 4 AC 4 ? . ∵tan∠APC= ,PC=60,∴ 3 CP 3
∴tan∠APC= ∴AC=80. …………??????????………???????????(2 分) ∵PC⊥l,∠BPC=45°, ∴BC=CP=60………………??……………?………??????????(2 分) ∴AB=80-60=20(米). ………??…………………????????????(1 分) (2)实际速度为 20 米/秒.??…………………………?…??????(1 分) 20 米/秒=72 (千米/小时)<80 千米/小时. ……………………??????(2 分) 所以汽车没有超速. ………??…………………????????????(1 分) 23.证明: (1) ∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD.??????????????????(1 分) 又∵BD=DC,ED⊥BC,∴EB=EC.????????????????(2 分) ∴∠EBD=∠ECD.???????????????????????(1 分) ∴△ABC∽△FCD.???????????????????????(2 分) (2)方法一:∵△ABC∽△FCD ∴

DF DC 1 ? ? . ???????????(1 分) AC BC 2
E G F

A

即 AC=2DF. 又 AC=AD,∴AD=2DF.. 即 F 为 AD 的中点. ∴AF=FD.???????????????(1 分) 作 DG∥CE,交 AB 于点 G, 则 AE=GE,BG=GE, ∴EF= ∴EF=

B

D

C

1 DG , 2

DG=

1 EC . ???????(2 分) 2

1 EF 1 EC ,∴ ? .????????????????????(1 分) 4 FC 3 ∴FC= 3EF .??????????????????????????(1 分)
方法二:作 AH⊥BC 于点 H,交 EC 于点 G,联结 DG,则 DG=GC,∴∠GDC=∠GCD,∵∠B=∠GCB,∴∠GDC=∠B. ∴DG∥AB. 又∵ED⊥BC,AH⊥BC,∴ED∥AG∴四边形 AEDH 为平行四 边形. ??????????????????(2 分)
B A E F G D H C

40

40

∴EF=FG.???????????????(1 分) ∵ED∥HG,H 为 DC 中点, ∴GC=GE,EC=4EF???????????????????????(2 分) ∴FC=3EF.??????????????????????????(1 分) 方法三:∵△ABC∽△FCD,∴F 为 AD 中点,????????????(1 分) ∠ADC=∠B+∠BAD,∠ACD=∠ECD+∠ACE,???????????(1 分) ∴∠BAD=∠ACE. ∴△AEF∽△CEA.????????????????????????(1 分) ∴

AF EF AE 1 ? ? ? . AC AE EC 2

∴EC=4EF????????????????????????????(2 分) ∴FC=3EF.???????????????????????????(1 分) 方法四:倍长 FD 至 P,联结 BP(略).相应给分. 24.解: (1)∵二次函数 y ? ax2 ? 2ax ? c 的图像经过点(-3,0)和点(0,-3) ,

41

41

y
A O B

x

C M 第 24 题图

∴?

?0 ? 9a - 6a ? c, ???????????(2 分) ?? 3 ? c .

解得 a ? 1, c ? ?3. ???????????(2 分) (2)∵OA=OC=3 ∴△OAC 是等腰直角三角形,∠ACO=45°,AC= 3 2 .????????(1 分)
2 将 抛 物 线 y ? x ? 2x ? 3 写 成 y ? ? x ? 1? ? 4 , 所 以 顶 点 M 的 坐 标 为
2

(-1,4).?????(1 分) 过点 M 作 MN⊥y 轴,CN⊥MN,N 为垂足. 则 MN=NC=1, ∴∠MCN=45°,MC= 2 . ∴∠MCA=90°. ????????????????????????(1 分)
42 42

(或 MC= 2 ,AM= 2 5 ,由勾股定理逆定理得∠MCA=90°) ∴tan∠MAC=

MC 2 1 (1 分) ? ? . ???????????????????? AC 3 2 3

(3)∵AC 所在直线的函数解析式为 y ? ? x ? 3 , 设点 P 的坐标为(x,-x-3) ,其中-3≤x≤0. 则有 PC ?

?0 ? x ?2 ? ?? 3 ? x ? 3?2

? ? 2x .

∵∠PCO=∠CAB=45°,故 ①当

PC AC ? 时,△ABC∽△CPO.这时有 OC AB

- 2x 3 2 9 ? ,解得x ? ? . ???????????????????(1 分) 3 4 4
9 3 ,? ). ?????????????????????????(1 分) 4 4 PC AB ? ②当 时,也有△ABC∽△CPO.这时有 OC AC
得点 P 1 (-

- 2x 4 ? ,解得x ? ?2. ???????????????????(1 分) 3 3 2
得点 P2 (-2,?1). ?????????????????????????(1 分) 综上所述,所求点 P 为: P 1 (其他解法: 求出 PC= 2 2 ?????????????????????(1 分) ∴P 1 (-2, ?1). ??????????????????????(1 分)

9 3 ,? ) 、 P2 (-2,?1). 4 4

9 2 ?????????????????????(1 分) 4 9 3 ∴ P2 (- , ? ). ?????????????????????(1 分) 4 4
求出 PC= 25.解: (1)联结 BD,如图 1 ∵∠EBM=∠DBC=45° ∴∠EBC-∠DBM =∠DBC-∠DBM ∴∠EBD=∠GBC??????????????(2 分) 又∵∠EDB=∠GCB=45°, ∴△DEB∽△CGB.????????????(2 分)
D M G E F A
图1

C

DE ? 2 .????????????????(1 分) CG
43 43

B

(2)方法一:∵∠EAF=∠FBG=45°, ∠EFA=∠GFB, ∴△EAF∽△GBF. ??????????????????(1 分) ∴

EF AF ? . FG BF

联结 EG,又∵∠EFG=∠AFB, ∴△EFG∽△AFB. ∴∠GEF=∠FAB=45°. ∴△EGB 是等腰直角三角形. ??????????????(1 分) ∴ EG ?

2 EB 2

∵AE=x,∴ EB ? ∴ EG ? 即

x2 ? 36 .??????????????(1 分)

1 2 x 2 ? 72 . 2 1 y? 2 x 2 ? 72 ? 0 ? x ? 6 ? ??????(1 分+1 分) 2

D

M G

C

E

方法二:作 EN⊥AF,则 EN=AN=

2 x .?????(1 分) 2

F N B
图2

A

DE 2 ? 2 ,得 CG ? 由 ? 6 ? x ? . ???????(1 分) CG 2
∴NG=AC-AN-CG= 3 2 .????????????(1 分) ∴ y ? EG ?

1 2 x 2 ? 72 ? 0 ? x ? 6 ? .????(1 分+1 分) 2

D Q

MH G

C

方法三:过点 G 作 GH⊥CD,GQ⊥AD, 则 GH=DQ=CH=

E F A
图3

CG 2

?

1 ? 6 ? x ? ,??????(1 分) 2

B

1 1 x ,QE=3 ? x , ??????(1 分+1 分) 2 2 1 2 x 2 ? 72 ? 0 ? x ? 6 ? .????(1 分+1 分) ∴ y ? EG ? 2
∴QG=DH=3+ 方法四:过点 G 作 GK⊥BE,K 为垂足,
D

M G

C

BG 1 BK 1 ? , ? . ∵ BE 2 BG 2
BG BK ? . ∴ BE BG
44 44

E F A
图4

K B

∴△BKG∽△BGE. ??????????????(1 分) ∴∠GEB=∠BGK=45°. ∴△EGB 是等腰直角三角形. ??????????(1 分) (下同方法一,略) (3)方法一: ①当 CM ?

1 1 3 2 CD ? 2 时, CG ? AC ? . 3 4 2



2 3 ? 6 ? x ? ? 2 ,∴x=3. ??????????????????(1 分) 2 2
EF 1 EF 1 1 ? ,∴ ? .∴ S ?GEF ? S ?EGB FB 2 EB 3 3

由△AEF∽△BCF,得 ∵ S ?EGB ?

1 EG 2 2 1 1 2 1 1 2 2 ∴ S ?GEF ? EG ? y ? ? ? 2 x ? 72 ? , 6 6 6 4 15 . ??????????????????????????? ∴ S ?GEF ? (1 分) 4 2 ②当 CM ? CD ? 4 时,同理可得 3 6 x? , ??????????????????????????????(1 分) 5 39 S ?GEF ? . ???????????????????????????? (1 分) 25
方法二:如图 4,过点 G 作 GK⊥BE,K 为垂足, ①当 CM ?

1 CD ? 2 时, 3

GK ?

3 5 ??????????(1 分) ,EF ? 5, 2

15 ;??????????????(1 分) 4 2 ②当 CM ? CD ? 4 时, 3 S ?EFG ?

GK ?

3 26 26 .????????????????????? (1 分) ,EF ? , 5 5
39 .???????????????????????????? (1 分) 25

S?EFG ?

45

45

2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 初三数学 试卷
2016.1

(时间 100 分钟 满分 150 分) 考生注意∶ 1.本试卷含三个大题,共 25 题;答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作 答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效; 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一.选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的】 1.下列两个图形一定相似的是 (A)两个菱形; (B)两个矩形; (C)两个正方形; (D)两个等腰梯形. 2.如图 1,如果 AB // CD // EF ,那么下列结论正确的是 A B

AC CD ? ; AE EF AC AB ? (C) ; CE CD
(A)

AC CE ? ; BD DF AC BD ? (D) . DF CE
(B)

C E 图1

D F

3.将抛物线 y ? 2( x ? 1) 2 ? 2 向右平移 2 个单位,再向上平移 2 个单位后所得新抛物线的 表达式是 (A) y ? 2( x ? 3) 2 ; (B) y ? ( x ? 3) 2 ; (C) y ? ( x ? 1) 2 ; (D) y ? 2( x ? 1) 2 . 4.点 G 是 ?ABC 的重心,如果 AB ? AC ? 5 , BC ? 8 ,那么 AG 的长是 (A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4 . 5.如果从甲船看乙船,乙船在甲船的北偏东 30 ? 方向,那么从乙船看甲船,甲船在乙船的 (A)南偏西 30 ? 方向; (B)南偏西 60 ? 方向; (C)南偏东 30 ? 方向; (D)南偏东 60 ? 方向. ABCD AD // BC 6.如图 2,梯形 中, , ?BAC ? 90? , AB ? AC ,点 E 是边 AB 上一 点, ?ECD ? 45? ,那么下列结论错误的是 (A) ?AED ? ?ECB ; (B) ?ADE ? ?ACE ; A D E (C) BE ? 2 AD ; (D) BC ? 2CE . B 二.填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 图2 C

1? 1? a ? b ? __▲___. 3 2 a 2 b?a ? __▲___. 8.如果 ? ,那么 b 3 a?b
7.计算: 2(2a ? 3b ) ?

?

?

9.已知二次函数 y ? 2 x ? 1 ,如果 y 随 x 的增大而增大,那么 x 的取值范围是__▲___.
2

46

46

10.如果两个相似三角形的面积比是 4 : 9 ,那么它们对应高的比是__▲___. 11.如图 3 所示,一皮带轮的坡比是 1 : 2.4 ,如果将货物从地面用皮带 轮送到离地 10 米高的平台,那么该货物经过的路程是__▲___米. 图3 12.已知点 M (1,4) 在抛物线 y ? ax2 ? 4ax ? 1上,如果点 N 和点 M 关于该抛物线的对称 轴对称,那么点 N 的坐标是__▲___. 13. 点 D 在 ?ABC 的边 AB 上, AC ? 3 , AB ? 4 ,?ACD ? ?B , 那么 AD 的长是_▲_. 14.如图 4,在□ ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 4 , ? BAD 的平分线 AE 分别交 BD 、 CD

DF ? __▲___. BF 15.如图 5,在 ?ABC 中, AH ? BC 于 H ,正方形 DEFG 内接于 ?ABC ,点 D、E 分 别在边 AB、AC 上,点 G、F 在边 BC 上,如果 BC ? 20 ,正方形 DEFG 的面积为 25 ,那么 AH 的长是__▲___. 3 16.如图 6,在 Rt ?ABC 中, ?ACB ? 90? , CD ? AB ,垂足为 D , tan ?ACD ? , 4 AB ? 5 ,那么 CD 的长是__▲___. 17.如图 7,在梯形 ABCD 中, AD // BC , BC ? 2 AD ,点 E 是 CD 的中点, AC 与 BE 交于点 F ,那么 ?ABF 和 ?CEF 的面积比是__▲___. 3 18.如图 8,在 Rt ?ABC 中, ?BAC ? 90? , AB ? 3 , cos B ? ,将 ?ABC 绕着点 A 旋 5
于 F 、 E ,那么 转得 ?ADE ,点 B 的对应点 D 落在边 BC 上,联结 CE ,那么 CE 的长是_▲_. A D F A 图4 B E C B D G H E FC A C 图6 D B B 图7 A F D E C B D 图8 C A E

图5

三. (本大题共 7 题,第 19—22 题每题 10 分;第 23、24 题每题 12 分;第 25 题 14 分; 满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 计算: 4 sin 45? ? 2 tan 30? cos 30? ?

cot 45? . cos 60?

20. (本题满分 10 分) 抛物线 y ? x ? 2 x ? c 经过点 (2,1) .
2

(1)求抛物线的顶点坐标;
2

(5 分)

(2)将抛物线 y ? x ? 2 x ? c 沿 y 轴向下平移后,所得新抛物线与 x 轴交于 A、B 两 点,如果 AB ? 2 ,求新抛物线的表达式. (5 分)
47 47

21. (本题满分 10 分) 如图 9,在 ?ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,

AD 3 ? , AE ? 3 ,CE ? 1 , AB 4
A

BC ? 6 .
(1)求 DE 的长; (5 分) D B

? ??? ? ? (2)过点 D 作 DF // AC 交 BC 于 F ,设 AB ? a , BC = b ,
? ? 求向量 DF (用向量 a 、 b 表示) .

E 图9 C

(5 分)

22. (本题满分 10 分) 如图 10,热气球在离地面 800 米的 A 处,在 A 处测得一大楼楼顶 C 的俯角是 30 ? ,热 气球沿着水平方向向此大楼飞行 400 米后到达 B 处,从 B 处再次测得此大楼楼顶 C 的俯角 是 45 ? ,求该大楼 CD 的高度. 参考数据: 2 ? 1.41, 3 ? 1.73 . A B

C D 图 10

23. (本题满分 12 分) 如图 11,在 ?ACB 中, AC ? BC ,点 D 在边 AC 上, AB ? BD , BE ? ED ,且 ?CBE ? ?ABD , DE 与 CB 交于点 F . 求证: (1) BD ? AD ? BE ;
2

(6 分) (6 分) B

A

D F E C

(2) CD ? BF ? BC ? DF .

图 11

48

48

24. (本题满分 12 分) 如图 12 ,在 Rt ?AOB 中, ?AOB ? 90? ,已知点 A(?1,?1) ,点 B 在第二象限,

OB ? 2 2 ,抛物线 y ?

3 2 x ? bx ? c 经过点 A 和 B . 5
(3 分)

(1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线 y ?

3 2 x ? bx ? c 的对称轴; (3 分) 5 (3)如果该抛物线的对称轴分别和边 AO 、BO 的延长线交于点 C、D ,设点 E 在直 线 AB 上,当 ?BOE 和 ?BCD 相似时,直接写出点 E 的坐标. (6 分)
y

B

O
A

x

图 12 25. (本题满分 14 分) 如图 13,四边形 ABCD 中,?C ? 60 ? , AB ? AD ? 5 ,CB ? CD ? 8 ,点 P、Q 分 别是边 AD 、BC 上的动点, AQ 和 BP 交于点 E ,且 ?BEQ ? 90 ? ? 两点的距离为 x . (1)求 ?BEQ 的正切值; (2)设 (4 分) (5 分) (5 分) A P B Q E D

1 ?BAD ,设 A、P 2

AE ? y ,求 y 关于 x 的函数解析式及定义域; PE

(3)当 ?AEP 是等腰三角形时,求 B、Q 两点的距离.

C 图 13

49

49

2015 学 年 第 一 学 期 徐 汇 区 初 三 年 级 数 学 学 科 期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.C; 2.B; 3.D; 4.B; 5.A; 6.D. 二.填空题: (本大题共 12 题,满分 48 分)

1 11 ? 13 ? a ? b ; 8. ; 9. x ? 0 ; 5 3 2 9 2 20 13. ; 14. ; 15. ; 4 3 3
7.

10. 2 : 3 ; 16.

11. 26 ; 17. 6 : 1 ;

12. (3,4) ; 18.

12 ; 5

24 . 5

三、 (本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分) 19. 解: 原式 ? 4 ?

2 3 3 1 ? 2? ? ? ;?????????????????(5 分) 1 2 3 2 2

? 2 2 ? 1 ? 2 ;???????????????????????(3 分)
(2 分) ? 2 2 ? 1 .????????????????????????? 20.解: (1)由题意,得 4 ? 4 ? c ? 1 ,解得 c ? 1 ;?????????????(1 分) ∴抛物线的解析式为 y ? x ? 2 x ? 1 ; ?????????????? (1 分)
2

即 y ? ( x ? 1) ;???????????????????????(1 分)
2

∴顶点坐标是 (1,0) .?????????????????????(2 分) (2)设平移后的抛物线解析式是 y ? x ? 2 x ? 1 ? n ;?????????(1 分)
2

∴ 该抛物线的对称轴是直线 x ? 1 ; ??????????????? (1 分) 又 AB ? 2 ,由抛物线的对称性可得 A(0,0) 、 B(2,0) ;??????(1 分) ∴ 1 ? n ? 0 ,解得 n ? 1 ;???????????????????(1 分) ∴新抛物线的表达式是 y ? x ? 2 x .??????????????(1 分)
2

21.解: (1)∵ AE ? 3 , CE ? 1 ,∴

AE 3 ? ;??????????????(1 分) AC 4 AD 3 AE AD ? ,∴ ? 又 ; ????????????????(1 分) AB 4 AC AB
50

50

DE AD ? ?????????????????(1 分) BC AB DE 3 9 ? ,解得 DE ? .?????????????????(2 分) 即 6 4 2 DF BD ? (2)∵ DF // AC ,∴ ;?????????????????(1 分) AC AB AD 3 DF 1 1 ? ,∴ ? ,即 DF ? AC ;???????????(2 分) 又 AB 4 AC 4 4 ? ? 1? 1 ? ∵ AC ? a ? b , ∴ DF ? a ? b . ?????????????? (2 分) 4 4
∴ DE // BC .∴ 22.解: 分别延长 AB 、DC 交于点 E . ?????????????????(1 分) ∵ AB 与地面平行, DC 与地面垂直,∴ DE ? AB ,∴ ?E ? 90? . ?(1 分) 在 Rt ?CEB 中, ?EBC ? 45? ,∴ ?ECB ? 45? ,∴ EC ? BE ;??(1 分) 设 CE ? x ,则 BE ? x , AE ? x ? 400 . ????????????(1 分) 在 Rt ?AEC 中, ?E ? 90? ,∴ tan ?CAE ? 即 tan 30 ? ?

EC ; ????????(1 分) AE

x ,解得 x ? 200( 3 ? 1) ;??????????(2 分) x ? 400

即 CE ? 200 ( 3 ? 1) ? 200? (1.73 ? 1) ? 546(米) ;????????(2 分) ∴ CD ? 800 ? 546 ? 254 (米); ????????????????? (1 分) 答: 大楼 CD 的高度 254 米. 23.证明: (1)∵ AC ? BC ,∴ ?A ? ?ABC ; ??????????????(1 分) ∵ BE ? ED ,∴ ?BDE ? ?DBE ;?????????????(1 分) ∵ ?CBE ? ?ABD ,∴ ?CBE ? ?CBD ? ?ABD ? ?CBD , 即 ?DBE ? ?ABC ,∴ ?BDE ? ?A ;∴ ?BED ∽ ?BCA ; ?? (1 分) ∵ AB ? BD ,∴ ?A ? ?BDA ;∴ ?BDA ? ?ABC ; 又 ?A ? ?A ,∴ ?ABD ∽ ?BCA ;?????????????(1 分) ∴ ?BED ∽ ?ADB ; ???????????????????? (1 分)

AD BD 2 ? ,即 BD ? AD ? BE .?????????????(1 分) BD BE ? (2)∵ ABD ∽ ?BCA ,∴ ?ABD ? ?C ;????????????(1 分) 又 ?CBE ? ?ABD ,∴ ?CBE ? ?C ;???????????(1 分) DC DF ? ∴ AC // BE ,∴ ;????????????????(1 分) BE EF BE BD ? ? 1 ;??????(1 分) ∵ ?BED ∽ ?BCA , ∴ ?E ? ?C , BC AB ∴ ?E ? ?CBE , ∴ BF ? EF ; ??????????????? (1 分) DC DF ? 又 BE ? BC , ∴ ; ???????????????? (1 分) BC BF 即 CD ? BF ? BC ? DF .
∴ 24.解: (1)分别过点 A、B 作 y 轴的垂线,垂足分别是 C、D .

51

51

可得 ?ACO ∽ ?ODB ,∴

BD OD OB ? ? ;∵ A(?1,?1) ,∴ OA ? 2 ; OC AC OA

∴ BD ? 2, OD ? 2 ;∴ B(?2,2) ????????????????(3 分)

?3 ? 5 ? b ? c ? ?1; (2) 由题意, 可得 ? ????????????????? (1 分) ? 12 ? ? 2b ? c ? 2; ?5 ?

6 ? b?? ; ? 5 解得 ? ??????????????????????? (1 分) ? 14 ?c ? ? ; ? 5 ?
∴y?

3 2 6 14 x ? x? ; 5 5 5 4 4 8 ,0) 或 E (? ,? ) .????????????????(各 3 分) 3 5 5
180 ? ? ?BAD 1 ? 90? ? ?BAD , 2 2

∴对称轴是直线 x ? 1 . ???????????????????? (1 分) (3)点 E (?

25.解: (1)联结 AC 、BD 交于点 O .???????????????????(1 分) ∴ AB ? AD ,∴ ?ADB ? ?ABD ? 又 ?BEQ ? 90 ? ?

1 ?BAD ,∴ ?BEQ ? ?ADB ; 2

∵ AB ? AD , CB ? CD ,∴ AC ? BD , BO ? DO ; ∵ ?BCD ? 60? ,∴ ?BCD 是等边三角形,∴ BD ? BC ? 8 ; 在 Rt ?AOD 中, ?AOD ? 90? ,∴ AO ? ∴ tan ?ADO ? ∴

AD2 ? DO2 ? 52 ? 42 ? 3 ,

AO 3 ? ; DO 4

tan ?BEQ ?
分)

3 . ?????????????????????(3 4
B F Q E

A P D

(2)如图,联结 BD 交 AQ 于 F . ∵ ?AEP ? ?BEQ ? ?ADB , ?EAP ? ?DAF ,

AE AD ? ∴ ?AEP ∽ ?ADF ,∴ ;???????(1 分) PE DF
∵ ?BEQ ? ?ADB ? ?ABD , ?BFE ? ?AFB ; ∴ ?BFE ∽ ?AFB ;∴ ?FBE ? ?BAF ;
52 52

C

BF PD ? ; AB BD 25 ? 5 x BF 5 ? x 39 ? 5 x ? 即 ,得 BF ? ;∴ DF ? 8 ? BF ? ;?(2 分) 8 5 8 8 40 ∴y? ,定义域是 0 ? x ? 5 .?????????????(2 分) 5 x ? 39
∴ ?PBD ∽ ?FAB ;∴ (3)如图,联结 BD 交 AQ 于 F . ∵ ?AEP ∽ ?ADF ,当 ?AEP 是等腰三角形时; ∴ ?ADF 也是等腰三角形. 分情况讨论: B Q F E A P D

1? 当 AF ? AD 时, BQ ? 0 ,但此时点 B、Q、E 重合,
C

?BEQ 不存在,不合题意,舍去;??????????????(1 分)
25 2? 当 AF ? DF 时, 解得 DF ? 〈4 , 此时 AF 与边 BC 没有交点 (即点 Q 8
不在边 BC 上) ,不合题意,舍去;?????????????(2 分)

3? 当 DF ? AD ? 5 时,得 BF ? 3 ,此时 y ? 1 ,∴ x ?

1 ,符合题意; 5

联结 AC 交 BD 于 O ,过点 Q 作 QG ? BF 于 G ;可得 tan?BFQ ? 3 , 因此,解得 BQ ? 9 ? 3 3 ,即 B、Q 两点的距离是 9 ? 3 3 .?(2 分) 综合 1? 、 2? 、 3? ,当 ?AEP 是等腰三角形时, B、Q 两点的距离是 9 ? 3 3 .

53

53

杨浦区 2015 学年度第一学期期末考试 初 三 数 学 试 卷
(测试时间:100 分钟,满分:150 分)
考生注意: 1. 本试卷含三个大题, 共 25 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸、本试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.将抛物线 y ? 2x 向上平移 2 个单位后所得抛物线的表达式是……………( ▲ )
2

2016.1

(A) y ? 2 x 2 ? 2 ; (B) y ? 2( x ? 2) 2 ; (C) y ? 2( x ? 2) 2 ; (D) y ? 2 x 2 ? 2 . 2.以下图形中一定属于互相放缩关系的是………………………………………( ▲ ) (A)斜边长分别是 10 和 5 的两直角三角形; (B)腰长分别是 10 和 5 的两等腰三角形; (C)边长分别为 10 和 5 的两菱形; (D)边长分别为 10 和 5 的两正方形. 3.如图,已知在△ABC 中,D 是边 BC 的中点, BA ? a , BC ? b ,那么 DA 等于…( ▲ A )

1 a?b; 2 1 (C) b ? a ; 2
(A)

1 b; 2 1 (D) b ? a . 2
(B) a ?

B

D
(第 3 题图)

C

4.坡比等于 1∶ 3 的斜坡的坡角等于 ……………………………………………( ▲ ) (A) 30 ? ; (B) 45 ? ; (C) 50 ? ; (D) 60 ? . )

5.下列各组条件中,一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是…………………( ▲ (A)∠A=∠E 且∠D=∠F; (C)∠A=∠E 且 (B)∠A=∠B 且∠D=∠F; (D)∠A=∠E 且

AB EF ? ; AC ED

AB FD ? . BC DE

6.下列图像中,有一个可能是函数 y ? ax2 ? bx ? a ? ( b a ? 0) 的图像,它是…( ▲ ) y y 1 1 1 x x 1 (D) A D
54 54

(A) (B) (C) 二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)

G · F
(第 8 题图)

E C

B

7.如果

x x? y 2 ? ,那么 ? y y 3






8.如图,已知点 G 为△ABC 的重心,DE 过点 G,且 DE//BC, EF//AB,那么 CF : BF ? 那么 BE= ▲ . . 9.已知在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB 和 BC 上,AD=2,DB=1,BC=6,要使 DE∥AC, 10.如果△ABC 与△DEF 相似,△ABC 的三边之比为 3:4:6,△DEF 的最长边是 10cm,那么 △DEF 的最短边是 ▲ cm. ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? CD . 11.如果 AB//CD, 2 AB ? 3CD , AB 与 CD 的方向相反,那么 AB = ▲ 12.计算: sin 60? ? cot 30? = ▲ .

13.在△ABC 中,∠C=90°,如果 sin A ?
2

1 ,AB=6,那么 BC= 3
2



. ▲ .

14.如果二次函数 y ? x ? bx ? c 配方后为 y ? ( x-2) ? 1 ,那么 c 的值是 15.抛物线 y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 1的对称轴是直线
2



. y2(请

16.如果 A(?1, y1 ) , B(?2, y2 ) 是二次函数 y ? x +m 图像上的两个点,那么 y1 ▲ 填入“ ? ”或“ ? ”) .

17.请写出一个二次函数的解析式,满足:图像的开口向下,对称轴是直线 x ? ?1 ,且与 y 轴的交点在 x 轴下方,那么这个二次函数的解析式可以 是 ▲ . 18.如图,已知将△ABC 沿角平分线 BE 所在直线翻折, 点 A 恰好落在边 BC 的中点 M 处,且 AM=BE,那么 ∠EBC 的正切值为 ▲ .
(第 18 题图)

E

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 如图,已知两个不平行的向量 a 、 b .

a
b
(第 19 题图)

? 1? 3? ? 先化简,再求作: ( a ? 3b ) ? ( a ? b ) . 2 2
(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)

20. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ?( c a ? 0) 的图像上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值 如下表所示:
55 55

x y

… …

-1 -5

0 1

2 1

4 m

… …

求: (1)这个二次函数的解析式; (2)这个二次函数图像的顶点坐标及上表中 m 的值.

21. (本题满分 10 分,其中每小题各 5 分) 如图,梯形 ABCD 中,AD//BC,BC=2AD,点 E 为边 DC 的中点,BE 交 AC 于点 F. 求: (1)AF:FC 的值; (2)EF:BF 的值. E F B (第 21 题图) 22. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物 ABCD 的 A、 C 两点处测得该塔顶端 F 的仰角分别为 ? 和 ? , 矩形建筑物宽度 AD=20 m,高度 DC=33 m. (1) 试用 ? 和 ? 的三角比表示线段 CG 的长; (2) 如果 ? =48?,? =65? , 请求出信号发射塔顶端到 地面的高度 FG 的值(结果精确到 1m) . ( 参 考 数 据 : sin48°≈0.7 , cos48°≈0.7 , tan48°≈1.1 , sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)
E

A

D

C

(第 22 题图)

23. (本题满分 12 分,其中每小题各 6 分) 已知:如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE//BC,点 F 在边 AB 上, BC ? BF ? BA ,CF 与 DE 相交于点 G. A F (1)求证: DF ? AB ? BC ? DG ;
2

(2)当点 E 为 AC 中点时,求证:

2EG AF . ? DG DF
B

D

G

E C

24. (本题满分 12 分,其中每小题各 4 分) 已知在平面直角坐标系中,抛物线 y ? ?

(第 23 题图)

1 2 x ? bx ? c 与 x 轴交于点 A、B,与 y 2

轴交于点 C,直线 y ? x ? 4 经过 A、C 两点. (1)求抛物线的表达式; (2)如果点 P、Q 在抛物线上(P 点在对称轴左边) ,且 PQ//AO,PQ=2AO.
56 56

求点 P、Q 的坐标; (3)动点 M 在直线 y ? x ? 4 上,且△ABC 与△COM 相似,求点 M 的坐标. y

C

A

O

B

x

(第 24 题图)

25. (本题满分 14 分,其中第(1)小题 4 分,第(2) 、 (3)小题各 5 分) 已知菱形 ABCD 的边长为 5,对角线 AC 的长为 6(如图 1) ,点 E 为边 AB 上的动点,点 F 在射线 AD 上,且∠ECF=∠B,直线 CF 交直线 AB 于点 M. (1) 求∠B 的余弦值; (2) 当点 E 与点 A 重合时,试画出符合题意的图形,并求 BM 的长; (3) 当点 M 在边 AB 的延长线上时,设 BE=x,BM=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 定义域. A D A D

B
(图 1)

C

B
(备用图)

C

(第 25 题图)

57

57

杨浦区 2015 学年度第一学期期末考试 初 三 数 学 答 案
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. A; 2. D; 3. B; 4 . A; 5. C; 6 . C; 2016.1

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.

5 ; 3

8. 1: 2 ; 11. ?

9.2; 12. ?

10. 5; 13.2; 16. ? ;

3 ; 2
2

3 ; 2

14.5; 17. y ? ? x ? 2 x ? 1 等;

15.x=1; 18.

2 ; 3

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19.解: ( a ? 3b ) ? ( a ? b ) ?

1? 2

?

3? 2

?

? 3? ? 1? a ? 3b ? a ? b -----------------------(1 分) 2 2

? ? ? ?a ? 2b ----------------------------------------------------------------------(4 分)
画图正确 4 分(方法不限) ,结论 1 分. 20. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分)

?c ? 1 ? 解: (1)由题意可得: ? a ? b ? c ? ?5 -----------------------------------(3 分) ? 4a ? 2b ? 1 ? 1 ? ?c ? 1 ? 2 解得: ? a =-2 ,即解析式为 y ? ?2 x ? 4 x ? 1 ---------------------------(3 分) ?b ? 4 ?
(2)∵ y ? ?2x2 ? 4x ? 1 ? ?2( x ?1)2 ? 3 ,∴顶点坐标是(1,3), ------(2 分) ∴当 x=4 时,y=-15,即 m=-15. ------------------------------(2 分)

58

58

21. (本题满分 10 分,其中每小题各 5 分) 解: (1)延长 BE 交 AD 的延长线于点 M,∵AD//BC, ∴

DE DM AF AM ? ? , -------------------------------------------(2 分) EC BC FC BC

∵点 E 为边 DC 的中点,∴DM=BC, ∵BC=2AD,∴DM=2AD,∴AM=AD+DM=3AD, ----------------------------------(1 分)

AF 3 AD 3 ? ? ------------------------------------------------------------------(2 分) FC 2 AD 2 FM AM 3 EM DE ? ? , ? ? 1 ,-------------(1 分,1 分) (2)∵AD//BC,∴ BF BC 2 BE EC BM 5 BM 2 BE 5 ? , ? ∴ ? ,---------------------------------------(1 分) ∴ BF 2 BE 1 BF 4 EF 1 ? -----------------------------------------------------------------------(2 分) ∴ BF 4


22. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 解: (1)如图,延长 AD 交 FG 于点 E. FG 在 Rt△FCG 中,tanβ=CG,∴ FG ? CG ? tan ? ----------------------(2 分) FE 在 Rt△FAE 中,tanα=AE,∴ FE ? AE ? tan ? ------------------------(1 分) ∵FG-FE=EG=DC=33, ∴ CG ? tan ? ? AE ? tan ? =33 -----------------------------------------------(1 分) ∵AE=AD+DE=AD+CG=20+CG,

(20+CG) ? tan ? =33 , ∴ CG ? tan ? ?
∴ CG ?

33 ? 20 tan ? .----------------------------------------------------------(2 分) tan ? ? tan ? 33tan ? ? 20 tan ? ? tan ? -------(1 分) tan ? - tan ?

(2)∵ FG ? CG ? tan ? ,∴ FG ?



FG=

33 ? 2.1+20 ? 1.1? 2.1 = 115.5≈116.--------------------------(2 分) 2.1-1.1

答:该信号发射塔顶端到地面的高度 FG 约是 116 m.-------------------------(1 分)

59

59

23. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) (1) 证明:∵ BC ? BF ? BA ,∴
2

BC BA ? ,------------------------------------(1 分) BF BC

又∵∠B=∠B,∴△BCF∽△BAC,------------------------------------------(2 分) ∵DE//BC,∴△FDG∽△FBC,----------------------------------------------(1 分) ∴△FDG∽△CBA,--------------------------------------------------------------(1 分)

FD DG ? ,即 DF ? AB ? BC ? DG .----------------------------------(1 分) CB BA DF BC ? (2) 证明:∵ DF ? AB ? BC ? DG ,∴ , DG AB BC CF = ∵△BCF∽△BAC,∴ ,----------------------------------------------------(1 分) AB AC BC 1 CF CF 1 CF ? = ∵E 为 AC 中点, ∴AC=2CE,∴ ,∴ ----------------(1 分) AB 2 CE AC 2 CE
∴ ∵△BCF∽△BAC,∴∠BCF=∠BAC, 又∵DE//BC,∴∠EGC=∠BAC, 而∠ECG=∠FCA, ∴△CEG∽△CFA,------------------------------------------------(2 分)

CF AF ? ,----------------------------------------------------------------------------(1 分) CE EG DF 1 AF EG AF ? ? ∴ ,即 2 ---------------------------------------------------(1 分) DG 2 EG DG DF


24. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 4 分) 解: (1)∵直线 y ? x ? 4 经过 A , C 两点,∴A(-4,0) ,C(0,4) ,--------------(2 分)

1 2 x ? bx ? c 过点 A、C, 2 1 2 ∴抛物线的表达式是 y ? ? x ? x ? 4 。------------------------------------------------(2 分) 2 1 2 (2)∵抛物线的表达式是 y ? ? x ? x ? 4 ,∴对称轴为直线 x=-1, -------------(1 分) 2
∵抛物线 y ? ? ∵PQ=2AO,∴PQ=8,----------------------------------------------------------------------------(1 分) ∵点 P、Q 在抛物线上且 PQ//AO,∴设 P(m,y),Q(n,y), 由抛物线的对称性可知 P、Q 关于直线 x=-1 对称,∴-1-m=n-(-1),即 m+n=-2, 又∵PQ=8,∴n-m=8, ∴m=-5,n=3, 此时 y=-错误!未找到引用源。 ,∴P(-5, (1 分,1 分) (3)∵抛物线 y ? ?

7 7 ) ,Q(3, )-----------------------------------2 2

1 2 x ? x ? 4 交 x 轴于点 A、B,而 A(-4,0) ,∴B 点坐标为(2,0) , 2

∵A(-4,0) ,C(0,4) ,∴∠A=∠ACO=45°,

60

60

∵△ABC∽△COM,∴

AB CO AB CM ? ? 或 , AC CM AC CO



6 4 2

?

8 4 6 CM 2 或 3 2 ,-------------------------(1 分,1 分) 或 ,得 CM= ? 3 CM 4 2 4

过点 M 作 MH⊥y 轴, 当 CM=

8 8 8 4 2 时,点 MH=CH= ,∴M( - , ) ,-----------------------------------(1 分) 3 3 3 3
-----------------------------------(1 分)

1) 当 CM= 3 2 时,点 MH=CH= 3 ,∴M( -3, 。

25. (本题满分 14 分,其中第(1)小题 4 分,第(2) 、 (3)小题各 5 分) 解: (1)过点 A 作 AH⊥BC 于 H,则错误!未找到引用源。 ,------------------------(1 分) 设 BH=x,则 CH=5-x,所以错误!未找到引用源。 ,所以 x ? 所以 cos ?B ? A(E) BH 7 ? --------------------------(2 分) AB 25 B C

7 ,-------(1 分) 5
D F

(2)图---------------------------------------------(1 分) ∵ABCD 为菱形,∴AB=BC,AD//BC,∴∠BCA=∠CAF, ∵∠ECF=∠B,∴△CBA∽△ECF,--------------------------(1 分)

6 5 AC BC 36 ? ,∴EF= ,--------------(1 分) ? ,即 EF 6 EF EC 5 EF AM ? ∵AD//BC,∴ , BC BM 36 EF BM ? AB BM ? 5 ? 即 ,∴ 5 ? , BC BM 5 BM 125 ∴BM= .---------------------------------------------------------(2 分) 11
∴ (3)过 C 作 CP⊥AB 于 P,

M

A A E

D

F

24 7 7 ? ,CP= 则 BP= BC ? cos ?B ? 5 ? , 5 25 5
∴ MC ? MP +CP -----------------------------------(1 分)
2 2 2

B

C C

∵∠ECF=∠B,∴∠MBC=∠MCE, ∵∠M=∠M,∴△MBC∽△MEC, ∴ MC ? MB ? ME ,----------------------------------(1 分)
2

M

即 CP ? MP ? MB ? ME
2 2

∴(

24 2 7 125 14 ) ? ( y ? ) 2 ? y ? ( y ? x) ,∴y= ? x ? 5 )-------(2 分,1 分) ( 5 5 5 x ? 14 5

61

61

2016 年上海市虹口区中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)下列各题的四个选项中,有且只有一 个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上. 1.已知 α 为锐角,如果 sinα= ,那么 α 等于( )

A.30° B.45° C.60° D.不确定 2.把二次函数 y=x2﹣4x+1 化成 y=a(x+m)2+k 的形式是( ) 2 2 2 A.y=(x﹣2) +1 B.y=(x﹣2) ﹣1 C.y=(x﹣2) +3 D.y=(x﹣2)2﹣3 3.若将抛物线平移,得到新抛物线 y=(x+3)2,则下列平移方法中,正确的是( A.向左平移 3 个单位 B.向右平移 3 个单位 C.向上平移 3 个单位 D.向下平移 3 个单位 4.若坡面与水平面的夹角为 α,则坡度 i 与坡角 α 之间的关系是( A.i=cosα B.i=sinαC.i=cotα D.i=tanα 5.如图,?ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O,如果 量 ( + )相等的向量是( ) = , ) )

= ,那么下列选项中,与向

A.

B.

C.

D.

6.如图,点 A、B、C、D 的坐标分别是(1,7) 、 (1,1) 、 (4,1) 、 (6,1) ,若△ CDE 与△ ABC ) 相似,则点 E 的坐标不可能是(

A. (4,2) B. (6,0) C. (6,4) D. (6,5)
62 62

二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)[请将结果直接填入答题纸的相应位 置] 7.若 x:y=5:2,则(x+y) :y 的值是__________.

8.计算:

﹣3( ﹣2 )=__________.

9.二次函数 y=x2﹣2x 的图象的对称轴是直线__________. 10.如果抛物线 y=﹣x2+3x﹣1+m 经过原点,那么 m=__________. 11.已知点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)为二次函数 y=(x﹣1)2 图象上的两点,若 x1<x2<1, 则 y1__________y2. (填“>”、“<”或“=”) 12.用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时,列出了下面的表格: x … ﹣2 ﹣ 0 1 … 1 y … ﹣ ﹣ 1 ﹣2 … 11 2 根据表格上的信息回答问题:当 x=2 时,y=__________. 13.如果两个相似三角形的周长的比为 1:4,那么周长较小的三角形与周长较大的三角形 对应角平分线的比为__________.

14.如图,在?ABCD 中,E 是边 BC 上的点,分别联结 AE、BD 相交于点 O,若 AD=5, 则 EC=__________.

= ,

15.如图,正方形 DEFG 的边 EF 在△ ABC 的边 BC 上,顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上.若 △ ABC 的边 BC 长为 40 厘米,高 AH 为 30 厘米,则正方形 DEFG 的边长为__________厘米.

63

63

16.如图,在△ ABC 中,∠ACB=90°,若点 G 是△ ABC 的重心,cos∠BCG= ,BC=4,则 CG=__________.

17.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA= ,则 CD=__________.

18.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,AD=10,点 E 是边 BC 的中点,联结 AE,若将△ ABE 沿 AE 翻折,点 B 落在点 F 处,联结 FC,则 cos∠ECF=__________.

三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.计算:cos245°+tan60°?cos30°﹣3cot260°. 20.已知一个二次函数的图象经过 A(0,﹣3) 、B(2,﹣3) 、C(﹣1,0)三点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)将这个二次函数图象平移,使顶点移到点 P(0,﹣3)的位置,求所得新抛物线的表 达式. 21.如图,DC∥EF∥GH∥AB,AB=12,CD=6,DE:EG:GA=3:4:5.求 EF 和 GH 的长.

64

64

22.如图,已知楼 AB 高 36 米,从楼顶 A 处测得旗杆顶 C 的俯角为 60°,又从该楼离地面 6 米的一窗口 E 处测得旗杆顶 C 的仰角为 45°,求该旗杆 CD 的高. (结果保留根号)

23.如图,点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的一点,∠BAE=∠CBD=∠DAC. (1)求证:DE?AB=BC?AE; (2)求证:∠AED+∠ADC=180°.

24.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线与 x 轴分别交于点 A(2,0) 、点 B(点 B 在点 A 的 右侧) ,与轴交于点 C,tan∠CBA= . (1)求该抛物线的表达式; (2)设该抛物线的顶点为 D,求四边形 ACBD 的面积; (3)设抛物线上的点 E 在第一象限,△ BCE 是以 BC 为一条直角边的直角三角形,请直接写 出点 E 的坐标.

65

65

25. (14 分)如图,在?ABCD 中,E 为边 BC 的中点,F 为线段 AE 上一点,联结 BF 并延长交 边 AD 于点 G,过点 G 作 AE 的平行线,交射线 DC 于点 H.设 (1)当 x=1 时,求 AG:AB 的值; (2)设 =y,求关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; = =x.

(3)当 DH=3HC 时,求 x 的值.

66

66

2016 年上海市虹口区中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)下列各题的四个选项中,有且只有一 个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上. 1.已知 α 为锐角,如果 sinα= ,那么 α 等于( )

A.30° B.45° C.60° D.不确定 【考点】特殊角的三角函数值. 【分析】根据特殊角的三角函数值求解. 【解答】解:∵α 为锐角,sinα= ∴α=45°. 故选 B. 【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值, 解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 2.把二次函数 y=x2﹣4x+1 化成 y=a(x+m)2+k 的形式是( ) A.y=(x﹣2)2+1 B.y=(x﹣2)2﹣1 C.y=(x﹣2)2+3 D.y=(x﹣2)2﹣3 【考点】二次函数的三种形式. 【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可. 【解答】解:y=x2﹣4x+1 =x2﹣4x+4﹣3 =(x﹣2)2﹣3, 故选:D. 【点评】 本题考查的是二次函数的三种形式, 正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点 式是解题的关键. 3.若将抛物线平移,得到新抛物线 y=(x+3)2,则下列平移方法中,正确的是( ) A.向左平移 3 个单位 B.向右平移 3 个单位 C.向上平移 3 个单位 D.向下平移 3 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】先确定抛物线 y=x2 的顶点坐标为(0,0) ,抛物线 y=(x+3)2 的顶点坐标为(﹣3, 0) ,然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况. 【解答】解:抛物线 y=x2 的顶点坐标为(0,0) ,抛物线 y=(x+3)2 的顶点坐标为(﹣3,0) , 因为点(0,0)向左平移 3 个单位长度后得到(﹣3,0) , 2 所以把抛物线 y=x 向左平移 3 个单位得到抛物线 y=(x+3)2. 故选 A. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故 a 不变, 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法: 一是求出原抛物线上任意两点平移后的 坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 4.若坡面与水平面的夹角为 α,则坡度 i 与坡角 α 之间的关系是(
67 67



)

A.i=cosα

B.i=sinαC.i=cotα D.i=tanα 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. i= =tanα. 【分析】 利用把坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角, 坡度 i 与坡角 α 之间的关系为: 【解答】解:如图所示:i=tanα. 故选:D.

【点评】 此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角的定义, 正确把握坡角的定义是解 题关键. 5.如图,?ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O,如果 量 ( + )相等的向量是( ) = , = ,那么下列选项中,与向

A.

B. C. D. 【考点】*平面向量. 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则,可求得 形法则,求得 与 ,继而求得答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ = = , ∴ = + = + , = ﹣ = ﹣ , ∴ =﹣ =﹣ ( + ) , = = ( + ) , =﹣

=

= ,然后由三角

=﹣ ( ﹣ ) ,

=

= (

﹣ ) . 故选 C. 【点评】 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质. 注意掌握三角形法则与平行四 边形法则的应用是解此题的关键. 6.如图,点 A、B、C、D 的坐标分别是(1,7) 、 (1,1) 、 (4,1) 、 (6,1) ,若△ CDE 与△ ABC ) 相似,则点 E 的坐标不可能是(

68

68

A. (4,2) B. (6,0) C. (6,4) D. (6,5) 【考点】相似三角形的判定;坐标与图形性质. 【分析】根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断. 【解答】解:△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,AB:BC=2. A、 2) ∠CDE=90°, CD=2, DE=1, BC=CD: DE, △ CDE∽△ABC, 当点 E 的坐标为 (4, 时, 则 AB: 故本选项不符合题意; B、 0) ∠CDE=90°, CD=2, DE=1, BC=CD: DE, △ CDE∽△ABC, 当点 E 的坐标为 (6, 时, 则 AB: 故本选项不符合题意; C、当点 E 的坐标为(6,4)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=3,则 AB:BC≠DE:CD,△ EDC 与 △ ABC 不相似,故本选项符合题意; D、 5) ∠CDE=90°, CD=2, DE=4, BC=CD: DE, △ CDE∽△ABC 当点 E 的坐标为 (6, 时, 则 AB: 不相似,故本选项不符合题意; 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形的判定,难度中等.牢记相似三角形的判定定理是解题的关 键. 二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)[请将结果直接填入答题纸的相应位 置] 7.若 x:y=5:2,则(x+y) :y 的值是 . 【考点】比例的性质. 【分析】根据合比性质: = ? 【解答】解:由合比性质,得 = = , = ,可得答案.

故答案为: . 【点评】本题考查了比例的性质,利用合比性质是解题关键.

8.计算:

﹣3( ﹣2 )=﹣

+6 .

【考点】*平面向量. 【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案.

69

69

【解答】解: 故答案为:﹣

﹣3( ﹣2 )= +6 .

﹣3 +6 =﹣

+6 .

【点评】此题考查了平面向量的运算法则.注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键. 9.二次函数 y=x2﹣2x 的图象的对称轴是直线 x=1. 【考点】二次函数的性质. 【分析】先把二次函数 y=x2﹣2x 写成顶点坐标式 y=(x﹣1)2﹣1,进而写出图象的对称轴 方程. 【解答】解:∵y=x2﹣2x, ∴y=(x﹣1)2﹣1, ∴二次函数的图象对称轴为 x=1. 故答案为 x=1. 【点评】本题主要考查了二次函数的性质,解答本题的关键是把二次函数写出顶点坐标式, 此题难度不大. 10.如果抛物线 y=﹣x2+3x﹣1+m 经过原点,那么 m=1. 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【专题】计算题. 【分析】 把原点坐标代入 y=﹣x2+3x﹣1+m 中得到关于 m 的一次方程, 然后解一次方程即可. 2 【解答】解:∵抛物线 y=﹣x +3x﹣1+m 经过点(0,0) , ∴﹣1+m=0, ∴m=1. 故答案为 1. 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征: 二次函数图象上点的坐标满足其解析式. 11.已知点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)为二次函数 y=(x﹣1)2 图象上的两点,若 x1<x2<1, 则 y1>y2. (填“>”、“<”或“=”) 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【专题】计算题. 【分析】先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线 x=1,由于抛物线开口向上,在对称轴左 侧,y 随 x 的增大而减小,于是可判断 y1 与 y2 的大小. 【解答】解:∵二次函数 y=(x﹣1)2 图象的对称轴为直线 x=1, 而 x1<x2<1, ∴y1>y2. 故答案为>. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析 式.解决本题的关键是运用二次函数的性质比较 y1 与 y2 的大小. 12.用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时,列出了下面的表格: x … ﹣2 ﹣ 0 1 … 1 y … ﹣ ﹣ 1 ﹣2 …
70 70

11

2

根据表格上的信息回答问题:当 x=2 时,y=﹣11. 【考点】二次函数的性质. 【分析】首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为 x=0,然后求出当 x=2 时 y 的值. 【解答】解:由表格数据可知: 当 x=﹣1,y=﹣2;x=1,y=﹣2, 则二次函数的图象对称轴为 x=0, 又知 x=﹣2 和 x=2 关于 x=0 对称, 当 x=﹣2 时,y=﹣11,即当 x=2 时,y=﹣11. 故答案为﹣11. 【点评】 本题主要考查了二次函数的性质的知识, 解答本题的关键是根据表格数据得到二次 函数图象的对称轴为 x=0,此题难度不大. 13.如果两个相似三角形的周长的比为 1:4,那么周长较小的三角形与周长较大的三角形 对应角平分线的比为 1:4. 【考点】相似三角形的性质. 【分析】 根据相似三角形周长的比等于相似比、 相似三角形对应角平分线的比等于相似比解 答即可. 【解答】解:∵两个相似三角形的周长的比为 1:4, ∴两个相似三角形的相似比为 1:4, ∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 1:4, 故答案为:1:4. 【点评】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角 形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键.

14.如图,在?ABCD 中,E 是边 BC 上的点,分别联结 AE、BD 相交于点 O,若 AD=5, 则 EC=2.

= ,

【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 【分析】根据平行四边形的性质得到 AD∥BC,AD=BC,推出△ BE0∽△DAO,根据相似三角 形的性质得到 ,求得 BE=3,即可得到结论.

【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴△BE0∽△DAO, ∴ ∵AD=5, ∴BE=3,
71 71



∴CE=5﹣3=2, 故答案为:2. 【点评】 此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质. 熟练掌握相似三角形 的判定和性质是解题的关键. 15.如图,正方形 DEFG 的边 EF 在△ ABC 的边 BC 上,顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上.若 △ ABC 的边 BC 长为 40 厘米,高 AH 为 30 厘米,则正方形 DEFG 的边长为 厘米.

【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 【分析】由 DG∥BC 得△ ADG∽△ABC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似比,列方 程求解. 【解答】解:设正方形的边长为 x. 由正方形 DEFG 得,DG∥EF,即 DG∥BC, ∵AH⊥BC, ∴AP⊥DG. 由 DG∥BC 得△ ADG∽△ABC ∴ = .

∵PH⊥BC,DE⊥BC ∴PH=ED,AP=AH﹣PH, 即 ,

由 BC=40,AH=30,DE=DG=x, 得 解得 x= , . .

故正方形 DEFG 的边长是 故答案为: .

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是由平行线得到相似三角形,利用相似 三角形的性质列方程.

16.如图,在△ ABC 中,∠ACB=90°,若点 G 是△ ABC 的重心,cos∠BCG= ,BC=4,则 CG=2.

72

72

【考点】三角形的重心. 【分析】延长 CG 交 AB 于 D,作 DE⊥BC 于 E,根据重心的概念得到点 D 为 AB 的中点,根 据直角三角形的性质得到 DC=DB,根据等腰三角形的三线合一得到 CE=2,根据余弦的概念 求出 CD,根据三角形的重心的概念得到答案. 【解答】解:延长 CG 交 AB 于 D,作 DE⊥BC 于 E, ∵点 G 是△ ABC 的重心, ∴点 D 为 AB 的中点, ∴DC=DB,又 DE⊥BC, ∴CE=BE= BC=2,又 cos∠BCG= , ∴CD=3, ∵点 G 是△ ABC 的重心, ∴CG= CD=2, 故答案为:2.

【点评】 本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义, 掌握三角形的 重心是三角形三条中线的交点, 且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍是解题的 关键.

17.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA= ,则 CD= .

【考点】解直角三角形. 【分析】延长 AD 和 BC 交于点 E,在直角△ ABE 中利用三角函数求得 BE 的长,则 EC 的长即 可求得,然后在直角△ CDE 中利用三角函数的定义求解. 【解答】解:延长 AD 和 BC 交于点 E. ∵在直角△ ABE 中,tanA= ∴BE=4,
73 73

= ,AB=3,

∴EC=BE﹣BC=4﹣2=2, ∵△ABE 和△ CDE 中,∠B=∠EDC=90°,∠E=∠E, ∴∠DCE=∠A, ∴直角△ CDE 中,tan∠DCE=tanA= ∴设 DE=4x,则 DC=3x, 在直角△ CDE 中,EC2=DE2+DC2, ∴4=16x2+9x2, 解得:x= , 则 CD= . 故答案是: . = ,

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,含 30 度直角三角形的性质,熟练掌握相似 三角形的判定与性质是解本题的关键. 18.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,AD=10,点 E 是边 BC 的中点,联结 AE,若将△ ABE 沿 AE 翻折,点 B 落在点 F 处,联结 FC,则 cos∠ECF= .

【考点】翻折变换(折叠问题) ;解直角三角形. 【分析】由矩形的性质得出∠B=90°,BC=AD=10,由勾股定理求出 AE,由翻折变换的性质得 出△ AFE≌△ABE,得出∠AEF=∠AEB,EF=BE=5,因此 EF=CE,由等腰三角形的性质得出 ∠EFC=∠ECF,由三角形的外角性质得出∠AEB=∠ECF,cos∠ECF=cos∠AEB= 果. 【解答】解:如图所示: ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠B=90°,BC=AD=10, ∵E 是 BC 的中点, ∴BE=CE= BC=5, ∴AE=
74

,即可得出结

=

=


74

由翻折变换的性质得:△ AFE≌△ABE, ∴∠AEF=∠AEB,EF=BE=5, ∴EF=CE, ∴∠EFC=∠ECF, ∵∠BEF=∠EFC+∠ECF, ∴∠AEB=∠ECF, ∴cos∠ECF=cos∠AEB= 故答案为: . = = .

【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、 三角形的外角性质、三角函数;熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质,证出∠AEB=∠ECF 是解决问题的关键. 三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.计算:cos245°+tan60°?cos30°﹣3cot260°. 【考点】特殊角的三角函数值. 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解. 【解答】解:原式=( )2 + × ﹣3×( )2

=1. 【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值, 解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 20.已知一个二次函数的图象经过 A(0,﹣3) 、B(2,﹣3) 、C(﹣1,0)三点. 1 ( )求这个二次函数的解析式; (2)将这个二次函数图象平移,使顶点移到点 P(0,﹣3)的位置,求所得新抛物线的表 达式. 【考点】二次函数图象与几何变换;待定系数法求二次函数解析式. 【专题】计算题. 【分析】 (1)利用待定系数法求抛物线解析式; (2)利用顶点式写出所得新抛物线的表达式. 【解答】解: (1)设所求二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,由题意得



解得



75

75

所以这个二次函数的解析式为 y=x2﹣2x﹣3; (2)因为新抛物线是由抛物线 y=x2﹣2x﹣3 平移得到,而新抛物线的顶点坐标是(0,﹣3) , 2 所以新抛物线的解析式为 y=x ﹣3. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故 a 不变, 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法: 一是求出原抛物线上任意两点平移后的 坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 21.如图,DC∥EF∥GH∥AB,AB=12,CD=6,DE:EG:GA=3:4:5.求 EF 和 GH 的长.

【考点】平行线分线段成比例. 【专题】计算题. 【分析】过 C 作 CQ∥AD,交 GH 于 N,交 EF 于 M,交 AB 于 Q,则可判断四边形 AQCD 为 平行四边形,所以 AQ=CD=6,同理可得 EM=EM=CD=6,则 BQ=AB﹣AQ=6,再利用平行线分 线段成比例定理得到 DE:EG:GA=CF:HF:HB=3:4:5,然后根据平行于三角形的一边, 并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例得到 MF:BQ=CF:CB=3: (3+4+5) ,NH:BQ=CH:CB=(3+4) : (3+4+5) ,则可 计算出 MF 和 NH,从而得到 GH 和 EF 的长 【解答】解:过 C 作 CQ∥AD,交 GH 于 N,交 EF 于 M,交 AB 于 Q,如图, ∵CD∥AB, ∴四边形 AQCD 为平行四边形, ∴AQ=CD=6, 同理可得 GN=EM=CD=6, ∴BQ=AB﹣AQ=6, ∵DC∥EF∥GH∥AB, ∴DE:EG:GA=CF:HF:HB=3:4:5, ∵MF∥NH∥BQ, ∴MF:BQ=CF:CB=3: (3+4+5) ,NH:BQ=CH:CB=(3+4) : (3+4+5) , ∴MF= ×6=1.5,NH= ×6=3.5,

∴EM=EM+MF=6+1.5=7.5,HG=GN+NH=6+3.5=9.5.

76

76

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成 比例.平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 22.如图,已知楼 AB 高 36 米,从楼顶 A 处测得旗杆顶 C 的俯角为 60°,又从该楼离地面 6 米的一窗口 E 处测得旗杆顶 C 的仰角为 45°,求该旗杆 CD 的高. (结果保留根号)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】过点 C 作 CG⊥AE,垂足为点 G,由题意得∠CEF=45°=∠CEG,∠ACG=60°,设 CG=x, AG=CG?tan∠ACG= x, EG=CG?cot∠CEG=x, 在 Rt△ ACG 中, 在 Rt△ ECG 中, 根据 AG+EG=AE, =36﹣6,得到 CF=EG=15 ﹣15,于是得到结论. 列方程 【解答】解:过点 C 作 CG⊥AE,垂足为点 G, 由题意得∠CEF=45°=∠CEG,∠ACG=60°, 设 CG=x, 在 Rt△ ACG 中,AG=CG?tan∠ACG= x, 在 Rt△ ECG 中,EG=CG?cot∠CEG=x, ∵AG+EG=AE, ∴ =36﹣6, 解得:x=15 ﹣15, ∴CF=EG=15 ﹣15, ∴CD=15 ﹣15+6=15 ﹣9. 答:该旗杆 CD 的高为(15 ﹣9)米.

【点评】此题主要考查了仰角与俯角问题,正确应用锐角三角函数关系是解题关键. 23.如图,点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的一点,∠BAE=∠CBD=∠DAC. (1)求证:DE?AB=BC?AE; (2)求证:∠AED+∠ADC=180°.
77 77

【考点】相似三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】 (1) 根据已知条件得到∠BAC=∠EAD,根据三角形额外角的性质得到∠ABC=∠AED, 推出△ ABC∽△AED,根据三角形的外角的性质得到结论; (2)根据相似三角形的性质得到 ,推出△ ABE∽△ACD,根据相似三角形的性质得

到∠AEB=∠ADC,等量代换即可得到结论. 【解答】证明: (1)∵∠BAE=∠DAC, ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, 即∠BAC=∠EAD, ∵∠ABC=∠ABE+∠CBD, ∠AED=∠ABE+∠BAE, ∵∠CBD=∠BAE, ∴∠ABC=∠AED, ∴△ABC∽△AED, ∴ ,

∴DE?AB=BC?AE; (2)∵△ABC∽△AED, ∴ ,即 ,

∵∠BAE=∠DAC ∴△ABE∽△ACD, ∴∠AEB=∠ADC, ∵∠AED+∠AEB=180°, ∴∠AED+∠ADC=180°. 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,邻补角的定义,三角形外角的性质,熟练掌 握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 24.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线与 x 轴分别交于点 A(2,0) 、点 B(点 B 在点 A 的 右侧) ,与轴交于点 C,tan∠CBA= . (1)求该抛物线的表达式; (2)设该抛物线的顶点为 D,求四边形 ACBD 的面积;

78

78

(3)设抛物线上的点 E 在第一象限,△ BCE 是以 BC 为一条直角边的直角三角形,请直接写 出点 E 的坐标.

【考点】抛物线与 x 轴的交点;待定系数法求二次函数解析式. 【分析】 (1)由抛物线解析式和已知条件得出 C 和 B 的坐标, (0,3) ,OC=3, 2 把 A(2,0) 、B(6,0)分别代入 y=ax +bx+3 得出方程组,解方程即可; (2)把抛物线解析式化成顶点式得出顶点坐标,四边形 ACBD 的面积=△ ABC 的面积+△ ABD 的面积,即可得出结果; (3)设点 E 的坐标为(x, x2﹣2x+3) ,分两种情况:①当∠CBE=90°时;②当∠BCE=90° 时;分别由三角函数得出方程,解方程即可. 【解答】解: (1)∵当 x=0 时,∴C(0,3) ,OC=3, 在 Rt△ COB 中,∵tan∠CBA= , ∴ = ,

∴OB=2OC=6, ∴点 B(6,0) , 把 A(2,0) 、B(6,0)分别代入 y=ax2+bx+3,得: ∴该抛物线表达式为 y= x2﹣2x+3; (2)∵y= x2﹣2x+3= (x﹣4)2﹣1 ∴顶点 D(4,﹣1) , ∴四边形 ACBD 的面积=△ ABC 的面积+△ ABD 的面积= ×4×3+ ×4×1=8; (3)设点 E 的坐标为(x, x2﹣2x+3) ,分两种情况: ①当∠CBE=90°时, 作 EM⊥x 轴于 M,如图所示: 则∠BEM=∠CBA, ,解得:

79

79



=tan∠BEM=tan∠CBA= ,

∴EM=2BM, 即 2(x﹣6)= x2﹣2x+3, 解得:x=10,或 x=6(不合题意,舍去) , ∴点 E 坐标为(10,8) ; ②当∠BCE=90°时,作 EN⊥y 轴于 N,如图 2 所示: 则∠ECN=∠CBA, ∴ =tan∠ECN=tan∠CBA= ,

∴CN=2EN, 即 2x= x2﹣2x+3﹣3, 解得:x=16,或 x=0(不合题意,舍去) , ∴点 E 坐标为(16,35) ; 综上所述:点 E 坐标为(10,8)或(16,35) .

【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、抛物线解析式的求法、三角函数的应用、解方程 等知识;本题综合性强,有一定难度,求出抛物线解析式是解决问题的关键. 25. (14 分)如图,在?ABCD 中,E 为边 BC 的中点,F 为线段 AE 上一点,联结 BF 并延长交 边 AD 于点 G,过点 G 作 AE 的平行线,交射线 DC 于点 H.设 (1)当 x=1 时,求 AG:AB 的值; (2)设 =y,求关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; = =x.

(3)当 DH=3HC 时,求 x 的值.

80

80

【考点】相似形综合题. 【专题】综合题;图形的相似. 【分析】 (1)由平行四边形 ABCD,得到 AD 与 BC 平行且相等,由两直线平行得到两对内错 角相等,进而确定出三角形 BEF 与三角形 AGF 相似,由相似得比例,把 x=1 代入已知等式, 结合比例式得到 AG=BE,AD=AB,即可求出所求式子的值; (2)设 AB=1,根据已知等式表示出 AD 与 BE,由 AD 与 BC 平行,得到比例式,表示出 AG 与 DG, 利用两角相等的三角形相似得到三角形 GDH 与三角形 ABE 相似, 利用相似三角形面 积之比等于相似比的平方列出 y 与 x 的函数解析式,并求出 x 的范围即可; (3)分两种情况考虑:①当点 H 在边 DC 上时,如图 1 所示;②当 H 在 DC 的延长线上时, 如图 2 所示,分别利用相似得比例列出关于 x 的方程,求出方程的解即可得到 x 的值. 【解答】解: (1)在?ABCD 中,AD=BC,AD∥BC, ∴∠BEF=∠GAF,∠EBF=∠AGF, ∴△BEF∽△GAF, ∴ = , = =1,

∵x=1,即 ∴ =

=1,

∴AD=AB,AG=BE, ∵E 为 BC 的中点, ∴BE= BC, ∴AG= AB, 则 AG:AB= ; (2)∵ = =x,

∴不妨设 AB=1,则 AD=x,BE= x, ∵AD∥BC, ∴ = =x,

∴AG= ,DG=x﹣ , ∵GH∥AE, ∴∠DGH=∠DAE,
81 81

∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB, ∴∠DGH=∠AEB, 在?ABCD 中,∠D=∠ABE, ∴△GDH∽△EBA, ∴ =( )2,

∴y=(

)2=

(x> ) ;

(3)分两种情况考虑: ①当点 H 在边 DC 上时,如图 1 所示:

∵DH=3HC, ∴ ∴ = , = ,

∵△GDH∽△EBA,



=

= ,即

= ,

解得:x= ; ②当 H 在 DC 的延长线上时,如图 2 所示:

∵DH=3HC, ∴ ∴ = , = ,

∵△GDH∽△EBA,

82

82



=

= ,即

= ,

解得:x=2, 综上所述,可知 x 的值为 或 2. 【点评】此题属于相似型综合题,涉及的知识有:平行四边形的性质,相似三角形的判定与 性质,以及平行线的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

83

83

普陀区 2015 学年度第一学期初三质量调研 数学试卷
一、选择题 1. 如图 1,BD、CE 相交于点 A,下列条件中,能推得 DE∥BC 的条件是( A ) (A)AE:EC=AD:DB; (B)AD:AB=DE:BC; (C)AD:DE=AB:BC; (D)BD:AB=AC:EC.

E A

D

B

图1

C

2. 在△ABC 中,点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,DE∥BC,如果△ADE 的面积 等于 3,那么

△ABC 的面积等于( C )
(A)6; (B)9; (C)12; (D)15.

3. 如图 2,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边 AB 上的高, 下列线段的比值不等于 cosA 的值的是( C )
AD ; AC BD (C) ; BC AC ; AB CD (D) . BC

C

(A)

(B)

A
图2

D

B

4. 如果 a、b 同号,那么二次函数的大致图像是( D )
y
y

y

y

O (A)

x
(B)

O

x

O (C)

x
(D)

O

84

84

5. 下列命题中,正确的是( D ) (A)圆心角相等,所对的弦的弦心距相等; (B)三点确定一个圆; (C)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧; (D)弦的垂直平分线必经过圆心。 6. 已知在平行四边形 ABCD 中,点 M、N 分别是边 BC、CD 的中点,如果,那 么向量关于的分解式是( B ) (A); 二、填空题 7. 如果 x:y=2:5,那么 8. 计算:2()+()=; 9. 计算: sin 2 45? ? cot 30?? tan 60? =___; 10. 已知点 P 把线段分割成 AP 和 PB(AP>PB)两段,如果 AP 是 AB 和 PB 的比例中 项,那么 AP:AB 的值等于__; 11. 在函数①,②,③,④中,y 关于 x 的二次函数是___④___(填写序号); 12. 二次函数的图像有最__低___点;(填“高”或“低”) 13. 如果抛物线的顶点坐标为(1,3),那么 m+n 的值等于__1__; 14. 如图 3,点 G 为△ABC 的重心,DE 经过点 G,DE∥AC,EF∥AB, 如果 DE 长是 4,那么 CF 的长是___2___;
y?x =__________; x? y

(B);

(C);

(D) (B).

A D G F E C
图3

B

15. 如图 4,半圆形纸片的半径长是 1cm,用如图所示的方法将纸片对折,使对 折后 半圆的中点 M 与圆心 O 重合,那么折痕 CD 的长是_____cm;

M C A O
图4

A

D B
图5

1: 3

45° B C

85

85

16. 已知在 Rt△ABC 中, ∠C=90°,点 P、Q 分别在边 AB、AC 上,AC=4,BC=AQ=3, 如果△APQ 与△ABC 相似,那么 AP 的长等于__or__; 17. 某货站用传送带传送货物,为了提高传送过程的安全性,工人师傅将原坡角 为 45°的传送带 AB,调整为坡度 i=的新传送带 AC(如图 5 所示),已知原传送 带 AB 的长是米。那么新传送带 AC 的长是__8__米; 18. 已知 A(3,2)是平面直角坐标系中的一点,点 B 是 x 轴负半轴上一动点,联结 AB,并以 AB 为边在 x 轴上方作矩形 ABCD,且满足 BC:AB=1:2,设点 C 的横 坐标是 a,如果用含 a 的代数式表示点 D 的坐标,那么点 D 的坐标是____. y 典型“一线三直角”模型 D △GBC∽△HAB 且相似比是 1:2 易知 BG=1,CG 是 BH 的一半。 BH=GH-BG== 那么 CG=, 通过平移点 A,可以得到 D 的坐标。 三、解答题 19. 已知:如图 6,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=BC,点 M 是边 BC 的中点,. (1) 填空:=_____,=_____(结果用、表示); AD=BC, →
b

C

K

A 2

G1B

O

3

H

x

A

a

D

点 M 是边 BC 的中点 → = ==

B

M

C

(2) 直接在图中画出向量(不要求写作法,但要指出图中表示结论的向量). 向量的交换律,可知 由于,只要在 BC 上截取 CE=AD, 即可得到等于的向量. 向量为所求。
b

A

a

D

B
2a

M E
图6

C

20. 将抛物线 y=先向上平移 2 个单位,再向左平移 m(m>0)个单位,所得新抛物 线经过点(),求新抛物线的表达式及新抛物线与 y 轴交点的坐标. 解:根据题意,平移后的抛物线为,将()代入,解得

86

86

=3, ,舍去负根后,得 m=3. 新抛物线的解析式为,与 y 轴交点为(0,).

21. 如图 7,已知 AD 是的直径,AB、BC 是的弦,AD⊥BC,垂足是点 E,BC=8, DE=2.求的半径长和 sin∠BAD 的值。 要是记得“垂径三角形”一定会做这题是不是? 解:∵AD 是的直径,AD⊥BC ∴BE=CE ∵BC=8 ∴BE=4

A

设的半径为 r,则 BO=DO=r ∵ DE=2 ∴OE=r-2

O B E D
图7

Rt△OBE 中, , 解得 r=5. 而在 Rt△ABD 中, ∵BE=4,AE=5+3=8 ∴AB= ∴sin∠BAD=

C

22. 已知:如图 8,有一块面积等于 1200cm2 的三角形铁片 ABC,已知底边 BC 与 底边上的高的和为 100cm(底边 BC 大于底边上的高), 要把它加工成一个正方 形铁片,使正方形的一边 EF 在边 BC 上,顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上, 求加工成的正方形铁片 DEFG 的边长. 解:过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 H,线段 AH 交边 DG 于点 I; 由题意,知: 且 BC>AH 解得:AH=40,BC=60. ∵DG∥BC ∴ 设正方形边长为 x cm 可得方程: ,解得 x=24cm.

A I G

D

B

E
图8

H F C

87

87

答:正方形铁片 DEFG 的边长 24cm. 答句不要忘记写! ! ! ! !

23. 已知:如图 9,在四边形 ABCD 中,∠ADB=∠ACB,延长 AD、BC 相交于点 E, 求证: (1) △ ACE∽△BDE; (2) BE· DC=AB· DE. 证明:(1)∵∠ADB=∠ACB ∴∠BDE=∠ACE ∵∠E=∠E ∴△ ACE∽△BDE; (2)∵△ ACE∽△BDE ∴ ∴ ∵∠E=∠E ∴△ECD∽△EAB ∴ ∴BE· DC=AB· DE 24. 已知,如图 10,在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数的图像经过点 A(0,8)、 B(6,2)、C(9,m),延长 AC 交 x 轴于点 D. (1)求这个二次函数的解析式及 m 的值; (2)求∠ADO 的余切值; (3)过点 B 的直线分别于 y 轴正半轴、x 轴、线段 AD 交于点 P(点 A 的上方)、 M、Q,使以点 P、A、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似,求此时点 P 的坐标。 解:(1) 二次函数的图像经过点 A(0,8)、B(6,2)

A D E

B
图9

C

88

88

?c ? 8 ? ?2 ? 36a ? 14 ? c
2 ? ?a ? 解得: ? 9 ? ?c ? 8

y A H O
第(2)小问

C D x

解析式为,将 C(9,m)代入 解得 m=18-21+8=5 (2) 过点 C 作 y 轴垂线,垂足为 H 由(1)得,C(9,5) CH=9,HO=5 ∵∠ADO=∠ACH ∴cot∠ADO=cot∠ACH= (3)∠PQA=∠DQM 而∠APQ 与∠QMB 互为内错角, 不可能相等

y

P

△MDQ 与△PAQ 相似时,
只有∠APQ=∠ADO cot∠APQ=cot∠ADO=3 过 B 作 y 轴垂线,垂足为 G ∵B(6,2) ∴BG=6,GO=2

A Q H G O B M D x C

第(3)小问

Rt△PGB 中,cot∠APQ=,PG=18,PO=20, ∴P(0,20)

25. 如图 11,已知锐角∠MBN 的正切值等于 3,△PBD 中,∠BDP=90°,点 D 在

∠MBN 的边 BN 上,点 P 在∠MBN 内,PD=3,BD=9.直线 l 经过点 P,并绕点
P 旋转,交射线 BM 于点 A,交射线 DN 于点 C.设=x,
89 89

(1)求 x=2 时,点 A 到 BN 的距离; (2)设△ABC 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)当△ABC 因 l 的旋转成为等腰三角形时,求 M x 的值。 解:(1)过 A 作 AH⊥BC,垂足为 H. ∵AH⊥BC ∴∠AHB=90° ∵∠BDP=90° ∴∠AHB=∠BDP ∴AH∥PD ∴= x=2 时, ∵PD=3 ∴AH=6
l M A

l A P

B

H

D

C

N

第(1)小问

(2)∵AH∥PD ∴,且 PD=3 ∴AH=3x,HC=3CD ∵tan∠MBN=3 ∴BH=x ∵BD=9 ∴HD=9-x 3CD-CD=9-x,解得 CD=
B

P

H

D

C

N

第(2)小问

∴BC=BD+CD ∴y=(1<x) ——交射线 BM 于点 A,交射线 DN 于点 C. (3)第 1 种情况,AB=AC
l

l M

∠ABC=∠ACB
∴tan∠ABC=tan∠ACB 在 Rt△PDC 中,tan∠ACB= ,解得 CD=1 即,x=5

A

A

P
P

B

H

D

C

N

第 2 种情况,AB=BC 由 BH=x,AH=3x

B

H

D C

N

90

90

易知 AB=
l

= 解得 x=
A

M

P

第 3 种情况,AC=BC 这种情况下 CD=4 解得 x= 综上,x=5 或 x=或 x=时,△ABC 等腰。

B

H

D

C

N

91

91


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