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高中数学(人教A版)选修2-3同步课堂课件:1-2 排列与组合5


第一章 计数原理 1.2 排列与组合 第五课时 组合与组合数公式 1.组合的概念 一般地, 从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组, 叫做从 n 不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 2.组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数, 用符号 Cm n表 示. 3

.组合数公式 m A n ①C m = m n Am= n?n-1??n-2???n-m+1? . m! ②C m n= n! . m!?n-m?! 4.组合数的性质 n m ①C m = C n n . - m m-1 ②C m = C + C + n 1 n n . 规定:C0 n=1. 1.组合的概念 (1)如果两个组合中的元素完全相同,不管它们是顺序如何都 是相同的组合.组合的定义中包含两个基本内容:一是“取出元 素”;二是“合成一组”,“合成一组”即表示与顺序无关. (2)若两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不 同),则是不同的组合.例如从 a、b、c 三个不同的元素中取出两 个元素的所有组合有 3 个,它们分别是 ab、ac、bc.ba、ab 是相 同的组合,而 ab、ac 是不同的组合. (3)组合与排列问题的共同点是都要“从 n 个不同元素中,任 取 m 个元素”;不同点是前者是“不管顺序合成一组”,而后都 者要“按照一定顺序排成一列”. 2.区分排列问题、组合问题 前者是从 n 个不同元素中选取 m 个不同元素后, 还要按照一 定的顺序排成一列, 而后者只要从 n 个不同元素中选取 m 个不同 的元素合成一组,所以区分某一问题是排列还是组合,关键看选 出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置对结果产生 影响,则是排列问题;若交换任意两个元素的位置对结果都没有 影响,则是组合问题. 3.组合数、组合数公式及组合数性质 (1)组合数符号表示为 Cm n ,如从 4 个不同元素取出 3 个元素 的组合数为 C3 4; (2)“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从 n 个不同的元素中,任取 m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一 个数,而是具体的一件事;组合数是指从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数,它是一个数; (3)组合数公式是在 m,n∈N*,且 m≤n 时成立; (4)当 m、n 数值较大时或含有字母的组合数式进行变形论证 时,利用公式 Cm n= n! 解题较方便; m!?n-m?! 0 (5)Cn =1 是一种规定,不能用组合数定义解释; n-m (6)计算组合数时, 特别是 m 较大时, 注意利用公式 Cm = C n n 转化. 课 时 学 案 题型一 组合的概念 例 1 判断下列问题是不是组合问题? (1)从 10 人中选 4 人 ①参加座谈会;②分赴四地搞调查. (2)从 1,2,3,4,5,6 中任取两数 ①构成对数或指数;②相加或相乘. (3)三个人互相 ①问好;②送礼品. (4)由正四面体 4 个顶点 ①可形成多少个向量;②形成多少对异面直线. 答案 (1) 中①是②不是 (2) 中①不是②是 (3) 中都不是 (4)中①不是②是 探究 1 对于概念题,绝不能含糊,要严扣定义,紧抓本质, 有序排列,无序组合! 思考题 1 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题,并 求出相应的排列数或组合数. (1)10 个人相互各写一封信,共写

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