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珠海市2014年9月高三摸底考试理科数学试题


珠海市 2014 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? 0} 2.复数 B. {x x ?

1} ) B. 1 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i )
2

) D. {x 0 ? x ? 2}

C. {x 1 ? x ? 2}

2i ?( 1? i

A. 1 ? i

( 3.下列函数中,既是偶函数又在区间 0, ??) 上单调递增的函数为(
A. y ? x
?1

B. y ? log 2 x
0

C. y ?| x |

D. y ? ? x )

4.在 ?ABC 中, A ? 60 ”是“ cos A ? “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

1 ”的( 2

C

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A D B

5.如图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (



(第 5 题)

A.

2 1 AB ? AC 3 3

B.

1 2 AB ? AC 3 3

C.

2 1 AB ? AC 3 3
) D. ?17

D.

1 2 AB ? AC 3 3

6 .已知 x , 满足约束条件 ,则 z ? 2 x +4 y 的最小值为( y A . ?14 B. ?15 C. ?16

7.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: cm )则该组合体的体积为( A. 72000 cm C. 56000 cm
3



B. 64000 cm

3

50
3

D. 44000 cm

3

10 主视图

40 侧视图

20

20 20 俯视图

(第 7 题)

8. 对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件:① f ( x) 在 [m, n] 内是单调的;②当定
义域是 [m, n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和谐区间”.若函数

f ( x) ?

a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间”,则 a 的取值范围是( a x
B. (0,1) C. (0, 2)


D. (1,3)

A. ( , )

1 5 2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,考生做答 6 小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考 生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式 3 x +1 ? x ? 1 ? 0 的解集是 .

10.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 项的系数是 ?80 ,则实数 a 的值为
2 5

a x



11.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.直线 y ? ?

S4 ? a4



1 1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x 0 13.在 ?ABC 中, AB =2 3 , AC =2 , C =60 ,则 BC ?
14. (几何证明选讲选做题)

. .

C A o B P

如图, 圆 O 的直径 AB ? 6,P是AB延长线上的一点,过P作圆的切线,

切点为C, 若?CPA ? 300 ,则CP长为

.

15.(极坐标选做题)极坐标系中,曲线 ? ? ?4cos ? 上的点到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 8 的距离的最大 值是 .

?

(第 14 题)

?

三、解答题:本题共有 6 个小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x .
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)若 ? ? (

? ?

3? 2? 6 ,求 cos? 的值. , ) 且 f (? + ) ? 8 4 4 2

17. (本小题满分 12 分)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有 A、B、C 三 种软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数 如下表: 班级 一 二 三 四 3 2 3 4 人数 (1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率; (2)从这 12 名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款软件,其中选 A、B 两个软件学习的概率都是

1 ,且他们选择 A、B、C 任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下 6

午自习时间选软件 C 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 B ,构成一个三棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求二面角 M ? EF ? B 的余弦值.
A D
M B N F E

M

F N
A

B

E

C

19. (本小题满分 14 分)若正数项数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,首项 a1 ? 1 ,点 P

?

S n , S n ?1 在曲线

?

y ? ( x ? 1) 2 上.
(1)求 a2 , a3 ; (2)求数列 ?a n ?的通项公式 an ;

(3)设 bn ?

1 , Tn 表示数列 ?bn ?的前项和,若 Tn ? a 恒成立,求 Tn 及实数 a 的取值范围. an ? an ?1

20. (本小题满分 14 分)已知点 A、B 的坐标分别是 (0, ?1) 、 (0,1) ,直线 AM、BM 相交于点 M ,且 它们的斜率之积为 ?

1 . 2

(1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D(0, 2) 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F ,试求 ?OEF 面积的取值范围( O 为 坐标原点) .

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1? x . ? ln x ( x ? 0 ) ax

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最小值; (2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (3) 若关于 x 的方程 1 ? x ? 2x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根, 求实数 m 的取值范 e 围.

1 2

1 2

?1 ?

? ?

珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试理科数学
试题与参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.(集合)已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? (A) A. {x x ? 0} 2.(复数的除法)复数 A. 1 ? i B. {x x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} D. {x 0 ? x ? 2}

2i ? (A) 1? i
B. 1 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i

( 3.(函数的奇偶性与单调性)下列函数中,既是偶函数又在区间 0, ??) 上单调递增的函数为(C)

A. y ? x ?1

B. y ? log 2 x
0

C. y ?| x |

D. y ? ? x

2

4.(充要条件)在 ?ABC 中, A ? 60 ”是“ cos A ? “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

1 ”的(C ) 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.(向量)如图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (C)

????

? 2 ??? 1 ???? A. AB ? AC 3 3 ? 2 ??? 1 ???? C. AB ? AC 3 3

? 1 ??? 2 ???? B. AB ? AC 3 3 ? 1 ??? 2 ???? D. AB ? AC 3 3

C

D A B

?x ? y ? 5 ? 0 ? 6.(线性规划)已知 x , 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x +4 y 的最小值为(B) y ? y?0 ?
A . ?14 B. ?15 C. ?16 D. ?17

7.(三视图)一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: cm )则该组合体的体积为(B ) A. 72000 cm C. 56000 cm
3

B. 64000 cm

3

50
3

D. 44000 cm

3

10 主视图

40 侧视图

20

20 20 俯视图

8.(信息题)对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件:① f ( x) 在 [m, n] 内是单调的; ② 当 定 义 域 是 [m, n] 时 , f ( x) 的 值 域 也 是 [m, n] , 则 称 [m ,n ]是 该 函 数 的 “ 和 谐 区 间 ” 若 函 数 .

f ( x) ?

a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间” a 的取值范围是(B) ,则 a x

A. ( , )

1 5 2 2

B. (0,1)

C. (0, 2)

D. (1,3)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题, 两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.(绝对值不等式)不等式 3 x +1 ? x ? 1 ? 0 的解集是
2

0 ? x | ? 1? x ? ?



10.(二项展开式)在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 项的系数是 ?80 ,则实数 a 的值为
5

a x

2



11.(等比数列)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.(导数)直线 y ? ?

S4 ? a4

15 8



1 1 1或-1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x 0 13.(解三角形)在 ?ABC 中, AB =2 3 , AC =2 , C =60 ,则 BC ? 4
14. (几何证明选讲选做题) 如图, 圆 O 的直径 AB ? 6,P是AB延长线上的一点,过P作圆的切线,

. .

C A o B P

切点为C, 若?CPA ? 300 ,则CP长为

3 3

.

15.(极坐标选做题)极坐标系中,曲线 ? ? ?4cos ? 上的点到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 8 的距离的最大 值是

?

?

7

.

三、解答题:本题共有 6 个小题,12 分+12 分+14 分+14 分+14 分+14 分=80 分. 16.(三角函数)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)若 ? ? (

? ?

3? 2? 6 ,求 cos ? 的值. , ) 且 f (? + ) ? 8 4 4 2

解: (1) f ( x) ? cos x ? sin x cos x ?
2

1 1 1 1 2 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) ,?????4 分 2 2 2 2 2 4

所以 T ?

1? 2 2? ? ??????????6 分 ? ? ,当 sin(2 x ? ) ? ?1 时, f ( x) 有最小值 2 2 4

(2) f (? +

3? 1 2 3? ? 1 2 1 2 2? 6 )? ? sin(2? + ? )? ? sin(2? +? ) ? ? sin 2? ? , 8 2 2 4 4 2 2 2 2 4
3 ????????????????????????????????10 分 2

所以 sin 2? ? 因为 ? ? (

? 2? ? ,? ? , ) ,所以 2? ? ( , ? ) ,所以 2? ? 3 4 2 2 3 1 所以 cos ? ? ??????????????????????????????????12 分 2
? ?
17.(概率)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有 A、B、C 三种软件投入使 用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如下表 班级 一 二 三 四 3 2 3 4 人数 (1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率. (2)从这 12 名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款软件,其中选

择 A、B 两个软件学习的概率每个都是

1 ,且他们选择 A、B、C 任一款软件都是相互独立的。设这三名学 6

生中下午自习时间选软件 C 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。 解:(1)设“从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级”的事件为 M 则 P( M ) ?
2 2 C32 ? C2 ? C32 ? C4 13 ? ?????????????????????????3 分 2 C12 66

答:从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级的概率是

13 ??????????4 分 66

(2) ? ? 0 、、 、 ??????????????????????????????????5 分 1 2 3 由题设知,每个人选软件 C 概率均为

2 ?????????????????????????6 分 3

? P(? ? 0) ? ( )3 ?

1 1 3 27 2 2 1 1 P(? ? 1) ? C3 ( )2 ? ? 3 3 9 1 2 4 P(? ? 2) ? C32 ? ? ( ) 2 ? 3 3 9 2 8 ????????????????????????????????10 分 P(? ? 3) ? ( )3 ? 3 27

? 的分布列如下 ?
P
0
1 27

1
2 9

2
4 9

3
8 27

? 的期望是 E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ????????????????????12 分 27 9 9 27

18.(立几)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的中点, 现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 B ,构成一个三棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求二面角 M ? EF ? B 的余弦值.
A D
M B N F E

M

F N
A

B

E

C

解: (1) MN 平行平面 AEF ??????????????????????????1 分 证明:由题意可知点 M、N 在折叠前后都分别是 AB、CF 的中点(折叠后 B、C 两点重合) 所以 MN 平行 AF ???????????????????????????????2 分

? MN ? 面AEF ? 因为 ? AF ? 面AEF ,所以 MN 平行平面 AEF ??????????????????4 分 ? MN 平行AF ?
(2)证明:由题意可知 AB ? BE 的关系在折叠前后都没有改变 因为在折叠前 AD ? DF ,由于折叠后 AD与AB重合 ,点 D与F 重合 ,所以 AB ? BF ??5 分

? AB ? BE ? AB ? BF ? ? 因为 ? BE ? 面BEF ,所以 AB ? 平面 BEF ????????????????????8 分 ? BF ? 面BEF ? ? BE ? BF =B ?
(3)解: 记EF的中点为G, 连接MF、BG、MG,

因为BE ? BF , ME ? MF , 所以BG ? EF 且MG ? EF ,
所以 ?MGB 是二面角 M ? EF ? B 的平面角. ?????????????????10 分 因为 AB ⊥ 面BEF ,所以 ?MGB ? 90 .
0

在 ?BEF 中, BG ? 于是 cos ?MGB ?

2 ,由于 MB ? 2 ,所以 MG ? MB 2 ? BG 2 ? 6 ,

2 3 ? ?????????????????????????13 分 3 6

所以,二面角 M ? EF ? B 的余弦值为

3 ???????????????????14 分 3

19.(数列)若正数项数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,首项 a1 ? 1 ,点 P (1)求 a2 , a3 ; (2)求数列 ?a n ?的通项公式 an ; (3)设 bn ?

?

S n , S n ?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上.
2

?

1 , Tn 表示数列 ?bn ?的前项和,若 Tn ? a 恒成立,求 Tn 及实数 a 的取值范围. an ? an ?1

解: (1)因为点 P

?

2 S n , S n ?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上,所以 Sn ?1 ? ( Sn ? 1) .
2

?

分别取 n ? 1 和 n ? 2 ,得到 ?

? ?

a1 ? a2 ? ( a1 ? 1)2

2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ( a1 ? a2 ? 1) ?



由 a1 ? 1 解得 a2 ? 3 , a3 ? 5 .?????????????????????????4 分 (2)由 Sn ?1 ? ( Sn ? 1) 得 S n ?1 ? Sn ? 1 .
2

所以数列

? S ? 是以
n

S1 为首项,1 为公差的等差数列
即 Sn ? n ??????????????????????6 分
2

所以 S n ? 由公式 an ? ?

S1 +(n ? 1) ?1 ,

n =1 n=1 ? S1 ?1 ,得 an ? ? ? 2n ? 1 n ? 2 ? S n ? S n ?1 n ? 2

所以 an ? 2n ? 1??????????????????????????????????8 分 (3)因为 bn ?

1 1 ? ,所以 bn ? 0 , an ? an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? + ? + ? + ? + ? ) 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 1 2n n 1 ??????????????????????????10 分 = ? ? ? 2 2 n ? 1 2n ? 1 2 ? 1 n 1 1 显然 Tn 是关于 n 的增函数, 所以 Tn 有最小值 T1 ? ? ,?????????????12 分 1 3 2? 1 1 由于 Tn ? a 恒成立,所以 a ? ,?????????????????????????13 分 3 1 于是 a 的取值范围为 {a | a ? } .???????????14 分 3
20. (圆锥曲线)已知点 A、B 的坐标分别是 (0, ?1) 、 (0,1) ,直线 AM、BM 相交于点 M ,且它们的斜 率之积为 ?

1 . 2

(1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D(0, 2) 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F ,试求 ?OEF 面积的取值范围( O 为 坐标原点) . 解: (1)设点 M 的坐标为 ( x, y ) , ∵ k AM ? k BM ? ?

1 y ?1 y ?1 1 ,∴ ? ? ? ??????????????????????2 分 2 x x 2

x2 整理,得 ? y 2 ? 1 ( x ? 0) ,这就是动点 M 的轨迹方程.??????????????4 分 2
(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ①???????????????5 分

x2 将①代入 ? y 2 ? 1 得: 2

y F D o x

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ????????????????6 分
由 ? ? 0 ,解得 k ?
2

3 ?????????????????7 分 2

E

? ?8k 2 x1 ? x2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 ② ????????????????????8 分 设 E ? x1 , y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? ?x x ? 6 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
1 1 1 1 S?OEF ? S?OED ? S?OFD ? OD ? x1 ? OD ? x2 ? OD ? x1 ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ????10 分 2 2 2 2
?8k 2 6 16k 2 ? 24 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? ? 2k ? 1 2k ? 1 (2k 2 ? 1) 2
令k ?
2

3 16(k 2 ? ) 2 ?????11 分 (2k 2 ? 1) 2

3 3 ? t (t ? 0) ,所以 k 2 ? t ? (t ? 0) 2 2
16t 4t t 1 1 2 ? ?2 2 ?2 ?2 ? ?13 分 2 2 4 (2t ? 4) (t ? 2) t ? 4t ? 4 4?4 2 t? ?4 t

所以 S ?OEF ? x1 ? x2 ?

所以 S ?OEF ? (0,

2 ] ??????????????????????????????????14 分 2

21.(导数)已知函数 f ( x) ?

1? x ? ln x ax 1 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最小值; 2 1 (2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; 2
?1 ? ? ?

(3) 若关于 x 的方程 1 ? x ? 2x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根, 求实数 m 的取值范 e 围. 解: (1)当 a ? 1 f ( x) ?

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 , f '( x) ? ? 2 ? 2 ,??????????????2 分 x x x x

于是,当 x 在 [ , 2] 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 2

x
f '( x)
f ( x)

1 2



1 ,1) 2


1 0 极小值 0

(1,2) + 单调递增

2

1 ? ln 2

单调递减

ln 2 ?

1 2

由上表可得,当 x ? 1 时函数 f ( x) 取得最小值 0. ???????????????????4 分

(2) f '( x) ?

1 1 ax ? 1 ,因为 a 为正实数,由定义域知 x ? 0 ,所以函数的单调递增区间为 ? 2 ? x ax ax 2 1 1 1 1 [ , +?) ,因为函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,所以 0 ? ? ,所以 a ? 2 ?????8 分 a 2 a 2

?1 ? 1? x (3)方程 1 ? x ? 2x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 方程 ? ln x ? m ? 0 在区 2x ?e ? ?1 ? ?1 ? 1? x 间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 方程 ? ln x ? m 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 2x ?e ? ?e ?
函数 g ( x) ?

?1 ? 1? x ? ln x 的图象与函数 y ? m 的图象在区间 ? , e ? 内恰有两个交点?????10 分 2x ?e ? ?1 1 ? ?1 ? 1? x 1 1 2x ?1 ,在 ? , ? 为减函数,在 ? , e ? 为增函数 ? ln x , g ?( x) ? ? 2 ? ? 2 2x 2x x 2x ?e 2? ?2 ?

考察函数 g ( x) ?

????????????????????????????????????????12 分

1? e 1? e 1? e ? ln e ? ?1 ? ?0 2e 2e 2e 1 1? 1 2 ? ln 1 ? 1 ? ln 2 ? 0 g( ) ? 2 2? 1 2 2 2 1 1? 1 e ? ln 1 ? e ? 1 ? 1 ? e ? 3 ? 0 ? g (e) ??????????????????13 分 g( ) ? 1 e e 2 2 2? e g (e) ?
画函数 g ( x) ?

?1 ? 1? x 1? x ? ln x , x ? ? , e ? 的草图,要使函数 g ( x) ? ? ln x 的图象与函数 y ? m 的图象在区 2x 2x ?e ?

间 ? , e ? 内恰有两个交点,则要满足 g ( ) ? m ? g ( ) 2 e ?e ?

?1

?

1

1

所以 m 的取值范围为 {m |

1 e?3 ? ln 2 ? m ? } ????????????????????14 分 2 2


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