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2013-2014学年山东省日照市高一数学上学期期末考试试题






第Ⅰ卷(选择题 共 70 分) 一、选择题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、 80 ? lg100 的值为( A.2 B. ?2 ) C. ?1 D.

1 2


2、点 ?1, 2 ? 到直线 y ? 2 x ? 1 的距离为(

A.

5 5

B.

2 5 5

C. 5

D. 2 5 )

3、过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

4、一个几何体的三视图如图所示,其中主(正)视图 是边长为 2 的正三角形,俯视图是正方形,那么该几何 体的左(侧)视图的面积是( A. 2 3 B. 3 C.4 ) D.2 )

5、若函数 f ? x ? ? ? A.0
2 2

?2 x

x ?1

?ln x x ? 1
C.2
2

,则 f ( f (e)) (其中 e 为自然对数的底数)=( D. e ln 2
2

B.1

6、圆 x ? y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系是( A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
?x



7、在同一坐标系中,当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a 与 y ? log a x 的图象是(



8、三个数 2 ,0.3 ,log0.3 2 的大小顺序是(

0.3

2


-1-

A. 0.32 ? log0.3 2 ? 20.3 C. log0.3 2 ? 20.3 ? 0.32

B. 0.32 ? 20.3 ? log0.3 2 D. log0.3 2 ? 0.32 ? 20.3 ) D. ( , ??)

9、函数 y ? log2 ( x2 ? 3x ? 2) 的递减区间是( A. (??,1) B. ? 2, ??? C. (??, ) )

3 2

3 2

10、函数 y ? 16 ? 4x 的值域是( A. ?0, ??? B. ? 0, 4?

C. ? 0, 4 ?

D. ? 0, 4 ? )

11、已知互不相同的直线 l , m, n 与平面 ? , ? ,则下列叙述错误的是( A.若 m // l , n // l ,则 m // n C.若 m ? ? , n // ? ,则 ? ? ? B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n

D.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m // ? 或 m ? ?

12、偶函数 f ? x ? 的定义域为 R,当 x ??0, ??? 时, f ? x ? 是增函数,则不等式 f ? x ? ? f ?1? 的解集是( A. ?1, ?? ? ) B. ? ??, ?1?
1

C. (??, )

3 2

D. ( , ??)

3 2

13、函数 f ? x ? ? x 3 ? A. (0, )

1 的领地啊所在的区间是( 2x
1 1 4 3
C. ( , )



1 4

B. ( , )

1 1 3 2

D. ( ,1)

1 2

14、已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的交点,直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 与圆

C 相较于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为(
A. x2 ? ( y ?1)2 ? 18 C. ( x ?1) ? y ? 18
2 2



B. x2 ? ( y ?1)2 ? 3 2 D. ( x ?1)2 ? y 2 ? 3 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 80 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卷的横线上。. 15、已知直线 l 在 y 轴上的截距为 1,且垂直于直线 y ?

1 x ,则 l 的方程是 2

16、已知圆锥的母线长是 10,侧面展开图是半圆,则该圆锥的侧面积为 17、已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为 4,体积为 16,则这个球的体积为
-2-

18、下列命题中: ①若集合 A ? {x | kx2 ? 4 x ? 4 ? 0} 中只有一个元素,则 k ? 1 ; ②已知函数 y ? f (3x ) 的定义域为 ??1,1? ,则函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? ??,0? ; ③函数 y ?
x

1 在 ? ??,0? 上是增函数; 1? x

④方程 2 ? log2 ( x ? 2) ? 1的实根的个数是 2. 所有正确命题的序号是 (请将所有正确命题的序号都填上)

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 64 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19、 (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 6}, B ? {x | 2 ? x ? 9} (1)求 A

B,(CR B)

A;

(2)已知 C ? {x | a ? x ? a ? 1} ,若 C ? B ,求实数 a 的取值的集合。

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 1 ?

2 x

(1)若 g ? x ? ? f ? x ? ? a 为奇函数,求 a 的值; (2)试判断 f ? x ? 在 ? 0, ??? 内的单调性,并用定义证明。

21、 (本小题满分 12 分) 如图,正四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,侧棱长是底面边长为 2 倍,O 为 底面对角线的交点, P 为侧棱 SD 上的点。 (1)求证: AC ? SD ; (2) F 为 SD 的中点,若 SD ? 平面 PAC , 求证: BF // 平面 PAC 。
-3-

22、 (本小题满分 13 分) 某厂借嫦娥奔月的东风,推出品牌为“玉兔”的新产品,生产“玉兔”的固定成本为 20000 元,每生产意见“玉兔”需要增加投入 100 元,根据初步测算,总收益(单位:元)满足分

1 2 ? ?400 x ? x 段函数 ? ? x ? ,其中 ? ? x ? ? ? 2 ? ?80000
总收益=成本+利润

0 ? x ? 400 x ? 400

, x 是“玉兔”的月产量(单位:件) ,

(1)试将利用 y 元表示为月产量 x 的函数; (2)当月产量 x 为多少件时利润最大?最大利润是多少?

23、 (本小题满分 14 分) 已知圆 C 过坐标原点 O ,且与 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,圆心坐标 C (t , ) (t ? R, t ? 0) (1)求证: ?AOB 的面积为定值; (2)直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,设 P, Q 分别是直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的 最小值及此时点 P 的坐标。

2 t

高一上学期模块考试 数学参考答案及评分标准 2014.01

说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
-4-

CAABC

BCDAD

BDCA

(1) [解析] 80 ? lg100 ? 1 ? 2 ? ?1 , 答案为 C. (2) [解析]由点到直线的距离公式 d ?

| 2 ?1 ? 2 ? 1 | 2 2 ? (?1) 2

?

5 答案为 A. 5

(3) [ 解析 ] 设直线的方程为 x ? 2 y ? b ? 0 将点( 1 , 0 )代入得 b ? ?1 ,所以直线方程为

x ? 2 y ? 1 ? 0 答案为 A.
(4) [解析]由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形,面积 S ? 答案为 B. (5) [解析] f ( f (e)) ? f (ln e) ? f (1) ? 2 .答案为 C. (6) [解析]两个圆的半径为 1 和 3,两个圆心距是 5 , 2 ? 5 ? 4 ,所以两圆相交.答案为 B. (7) [解析] 当 0 ? a ? 1 时,y ? a 的减函数,综上答案为 C. (8) [解析] 2
0 .3

3 ? 22 ? 3 4

?x

1 ? ( ) x 是过 (0,1) 点的增函数, y ? log a x 是过 (1,0) 点 a

? 1 , 0 ? 0.32 ? 1 , log0.3 2 ? 0 ,故答案为 D.

2 (9)[解析]由 x ? 3x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 2 ,底数是 2,所以在(-∞,1)上递减. 故答

案 A. (10)[解析]当 x ? 2 时,函数有最小值 0,当 x 趋向于 ? ? 时, y 趋向于 4,故答案为 D. (11) [解析]若 m // ? , n // ? ,则 m, n 的位置关系可以平行,相交,异面. 答案为 B . (12) [解析] f ( x ) 是偶函数有 f (| x |) ? f ( x) ,所以 f ( x) ? f (1) 可转化为 f (| x |) ? f (1) , 又 x ? [0, ??) 时, f ( x ) 是增函数,所以 | x |? 1 ,即 x ? (??, ?1) (13) [ 解析 ] 若 f ( x) ? x 3 ?
1

(1, ??) .答案为 D.

1 1 1 1 1 3 ? 0 x ? x ,得 x ? ( ) x ,令 g ( x) ? x ? ( ) x ,可得 ,则 x 2 2 8 8

1 1 1 1 1 2 1 1 g ( ) ? ? ? 0, g ( ) ? ? ? 0 ,因此 f(x)零点所在的区间是 ( , ) .答案为 C. 3 3 2 2 2 4 3 2
(14) [ 解析 ] 直线 x ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的交点为 (0, ?1) ,所以圆 C 的圆心为

(0,? 1),设半径为 r ,由题意可得 (
2 2

| 3 ? 0 ? 4 ? (?1) ? 11| 3 ?4
2 2

)2 ? 32 ? r 2 ,解得 r 2 ? 18 ,

所以圆 C 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 18 .故答案为 A.
-5-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (15) y ? ?2 x ? 1 ; (16) 50π ; (17) 8 6 π ; (18) ③④.

(15) [解析]答案: y ? ?2 x ? 1 (写成一般形式也正确).由题意可知所求直线的斜率为 ?2 , 由点斜式可求得 l 的方程为 y ? ?2 x ? 1 . (16) [解析]答案: 50π .圆锥的侧面展开图半圆的面积即为该圆锥的侧面积,该半圆的半径 即为圆锥的母线长 10 ,所以圆锥的侧面积为

1 π ?102 ? 50 π . 2

(17) [解析]答案: 8 6 π .由题意得,该正四棱柱的底面边长为 2 ,外接球的直径就是该正 四棱柱的对角线,所以外接球的半径为

1 2 2 ? 22 ? 42 ? 6 . 所 以 该 球 的 体 积 为 2

4 π( 6 )3 ? 8 6 π. 3
(18) [解析] 答案:③④.对于①, k ? 0 也符合题意;对于②, y ? f ( x) 的定义域应该是

[3?1 ,3] ;对于③,画出 y ?

1 1 的图象,或利用定义可判定 y ? 在 (??,0) 上是增 1? x 1? x
x

函数;对于④在同一坐标系中做出 y ? 2 , y ? log 2 ? x ? 2 ? ? 1 的图象,由图可知有两个 交点.故方程的实根的个数为 2. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 64 分. (19)解:(Ⅰ)显然 A

B ? ? x 3 ? x ? 6?. 又 B ? x 2 ? x ? 9 ,

?

?

??R B ? ?x x ? 2, 或 x ? 9?,???R B ?
?a ? 2, (Ⅱ)? C ? B, 如图,应有 ? ?a ? 1 ? 9,
解之得 2 ? a ? 8,? a ? ?2,8? .

A ? ?x x ? 2, 或 3 ? x ? 6, 或 x ? 9?.
C

6分

B
a ?1 9

x
12 分

2 a

(20)解: (Ⅰ)由已知 g ( x) ? f ( x) ? a 得: g ( x) ? 1 ? a ? ∵ g ( x) 是奇函数,∴ g (? x) ? ? g ( x) ,即

2 , x

2分

1? a ?

2 2 ? ?(1 ? a ? ) ,解得 a ? 1. (? x) x

5分 6分

(Ⅱ)函数 f ( x) 在 (0, ??) 内是单调增函数,下面证明: 设 0 ? x1 ? x2 ,

-6-

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ?

2( x1 ? x2 ) 2 2 ? (1 ? ) ? . x1 x2 x1 x2 2( x1 ? x2 ) ? 0, x1 x2

9分

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,从而 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 内是单调增函数. (21)证明: (Ⅰ)连接 SO,

11 分

12 分

?四边形ABCD为正方形,

S F P A D O B C

? AC ? BD且O为AC中点 ,
又? SA ? SC

? SO ? AC

又? SO ? BD ? O ,

? AC ? 平面SBD ,
又? SD ? 平面SBD ,

5



? AC ? SD .
(Ⅱ)连接 OP,

7分

? SD ? 平面ACP, OP ? 平面ACP ,
? OP ? SD ,
又 ?SBD中,BD ? 9分

2a ? SB,且F为SD中点,

? BF ? SD ,
11 分

因为 OP、BF ? 平面BDF , 所以 OP ∥ BF ,

BF ? 平面 平面PAC ACP 又? OP ? 平面ACP,BD ,

? BF ∥平面 PAC.
(22)解: (Ⅰ)依题设,总成本为 20 000? 100x ,

13 分

? 1 2 ? ? x ? 300 x ? 20000,0 ? x ? 400, 且x ? N, 则 y= ? 2 ? x ? 400, 且x ? N. ?60000 ? 100 x,
(Ⅱ)当 0 ? x ? 400 时, y ? ?

??6 分

1 ( x ? 300 ) 2 ? 25 000 , 2
??9 分

则当 x ? 300 时, ymax ? 25 000; 当 x ? 400 时, y ? 60 000? 100x 是减函数, 则 y ? 60 000? 100? 400 ? 25 000, 所以,当 x ? 300 时,有最大利润 25 000元.

??12 分 ??13 分

-7-

? 2?2 2 4 2 (23)(Ⅰ)证明:由题设知,圆 C 的方程为(x-t) +?y- ? =t + 2, t ? t?
4 2 2 化简得 x -2tx+y - y=0, t 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); 4 ? 4? 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B?0, ?, t ? t? 1 1 ?4? ∴S△AOB= |OA|·|OB|= |2t|·? ?=4 为定值. 2 2 ?t? 解:(Ⅱ)∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上, 设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN,∴C、H、O 三点共线, 2 t 2 1 则直线 OC 的斜率 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2 ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5 或(x+2) +(y+1) =5,
2 2 2 2

?? 2 分

??5 分

??7 分

由于当圆方程为(x+2) +(y+1) =5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不 满足直线与圆相交,故舍去, ∴圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5. (Ⅲ)点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B′ (-4,-2), 则 |PQ|≥|B′Q|, 又 B′到圆上点 Q 的最短距离为 |B′C|-r= (?6)2 ? 32 - 5=3 5- 5=2 5. 1 所以|PB|+|PQ|的最小值为 2 5,直线 B′C 的方程为 y= x, 2 2? ? 4 则直线 B′C 与直线 x+y+2=0 的交点 P 的坐标为?- ,- ?. 3 3? ? ??14 分 |PB| + |PQ| = ??11 分 |PB′| +
2 2

2

2

??9 分

-8-


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