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2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷


2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知函数 y ? sin 2 x ,则 (A)有最小正周期 2? (C)有最小正周期
2

答:[ (B)有最小正周期 ? (D)无最小周期
2

]

? 2

2.

关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小 值的和是 (A) 2 答:[ ] (B) 1 (C) 0 (D) ?1 ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线的 三点是 (A) A 、 B 、 D (C) B 、 C 、 D 答:[ (B) A 、 B 、 C (D) A 、 C 、 D 答:[ ] ]

4. 设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

2 1, 2 ,并 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,

?

?

且 m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为 (A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个

答:[ (D) 120 个

]

6. 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ( x ?R) ,且 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有
2

答:[

]

(A) 2 个 (B) 3 个 (C) 4 个 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

(D)无数个

7. 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 S5 ? 10 , 则公差为 S10 ? ?5 ,

.

1) ,它的反函数的图象经过点 8. 设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2,
共 12 页 第 1 页

(2, 8) ,则 a ? b 等于

. y

9. 已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足

f(

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 2 x ? 2x ? 1

O

1

x

x 的取值范围为
2 2

. .

10. 圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? x ? y ? 3 ? 0 的离心率是 11. 在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ? 2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为
3

12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中
2 2

有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分) 13. 设 不 等 式 组 ?

.

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 ?x ? y ? 0

x ? y ? 0 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 0)
的直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜 率.

共 12 页 第 2 页

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AAC 1 1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AAC 1 1C , A 1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; A

B A1

B1

ABC 的距离. (2)求点 A 1 到平面
C C1

15. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

共 12 页 第 3 页

16. 已知平面上 10 个圆,任意两个都相交. 是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证 明你的结论.

共 12 页 第 4 页

2007 年江苏省高中数学联赛初赛 试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y ? sin 2 x ,则( B ). (A) 有最小正周期为 2? (C) 有最小正周期为 解: y ? sin x ?
2

(B) 有最小正周期为 ? (D) 无最小正周期

? 2

1 (1 ? cos 2 x) ,则最小正周期 T ? ? . 故选(B) . 2
2 2

2.关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小 值 的和是( C ). (A) 2
2

(B) 1
2

(C) 0

(D) ? 1

解:方程 x ? ax ? 20a ? 0 的两根是 x1 ? ?4a , x2 ? 5a ,则由关于 x 的不等式

x2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,得 | x1 ? x2 | ? | 9a | ? 9 ,即
? 1 ? a ? 1 . 故选(C) . ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线
的三点是( A ). (A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D

解: BD ? BC ? CD ? 2 a ?4 b ? 2 AB ,所以 A、B、D 三点共线. 故选(A) . 4.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( D ). (A) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

解: (A)选项缺少条件 m ? ? ; (B)选项当 ? // ? , ? ? ? 时, m // ? ; (C)选项 当 , m ? ? ? ? 时, ? 、 ? 、 ? 两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角)
共 12 页 第 5 页

m?? ;
(D)选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故选(D) .
2 1, 2 ,并 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,

?

?



m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为( C )
(A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个 (D) 120 个

解:由 6 ? 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 及题设知,个位数字的选择有 5 种. 因为 3 ? 2 ? 1 ?

? 7 ? 6 ? 10 ,故
(1) 由 3 ? 2 ? 1 知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 10 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ? 10 及 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2 ? 4 ? 8 种. 于是,符合题设的不同点的个数为 5 ? (10 ? 8) ? 90 种. 故选(C) . 6. 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007( x ?R) , 且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有( D ). (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)无数个

解:由题设知 f ( x ) 为偶函数,则考虑在 ? 1 ? x ? 1 时,恒有

f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2007) ? 2008 ? 2007 .
所以当 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 ,且 ?1 ? a ? 1 ? 1时,恒有 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) .
2

由于不等式 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 的解集为
2

3? 5 3? 5 ?a? ,不等式 2 2

? 1 ? a ? 1 ? 1 的解集为 0 ? a ? 2 .因此当
. f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) . 故选(D) 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

3? 5 ? a ? 2 时,恒有 2

7.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为
共 12 页 第 6 页

d ? ?1 .

解:设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d . 由题设得 ?

?a1 ? 2d ? 2, ?5a1 ? 10d ? 10, 即 ? 解之得 d ? ?1 . ?10a1 ? 45d ? ?5, ?2a1 ? 9d ? ?1,

8. 设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, 1) ,它的反函数的图象经过点

(2, 8) ,则 a ? b 等于
解:由题设知 ?

4

.

? log a (2 ? b) ? 1, ?(2 ? b) ? a, 化简得 ? 2 ?log a (8 ? b) ? 2, ? (8 ? b) ? a .

解之得 ?

? a1 ? 3, ? a2 ? ?2, (舍去). ? ? b1 ? 1; ? b2 ? ?4.

故 a ? b 等于 4. 9.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 x2 ? 2x ? 1

x 的取值范围为

x ? [? 2 , 1 ).
y

O

1

x

2 解: 因为 lg x ? 6 x ? 20 ? lg ( x ? 3) ? 11 ? lg11 ? 1,所以 2

?

?

(第 9 题)

?

?

lg ? x 2 ? 6 x ? 20 ? ? 0 . 于是,由图象可知,

2x ?1 x?2 ? 1 ,即 ? 0 ,解得 x ?1 x ?1

?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, 1) .
2 2 10.圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? | x ? y ? 3 |? 0 的离心率是 2 2 解:原式变形为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ?| x ? y ? 3 | ,即

2 .

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

共 12 页 第 7 页

2


| x ? y ?3| 2

.所以动点 ( x, y ) 到定点 (?31) , 的距离与它到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距

之比为 2 .故此动点轨迹为双曲线,离心率为 2 . 11.在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ?

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3

S?ABC ? 8 3 ? 6 2 .
解:在 ?ABC 中,由 tan B ? 3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ?

AC ? sin C ?8. sin B

因为 arcsin

1 2 2 ? 60? ,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 cos C ? ? . 3 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
S?ABC ? AC ? AB sin A ? 8 3 ? 6 2 . 2
2

2 3 .故 ? 3 6

12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中
2

有 且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 ?

1 1 ?a?0 或 ? a ?1 . 2 2

2 2 解:由 a ? a 得 0 ? a ? 1 .由 x ? 4ax ? 1 ? 0 对于任何 x ?R 成立,得

? ? 16a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?

1 1 ? a ? .因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,故实数 2 2 1 1 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 或 ? a ? 1 . 2 2

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分) 13. 设 不 等 式 组 ?

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 ?x ? y ? 0
共 12 页 第 8 页

x? y ?0
和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 0) 的直线

l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜
率. 解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. 设动点为 P( x, y) ,则

x? y 2

?

x? y 2

? 2 ,即

y

x 2 ? y 2 ? 4 .由 P ? D 知

x ? y ? 0 ,x-y<0,即 x2-y2<0.
所以 y2-x2=4(y>0),即曲线 C 的方程为 y2 x2 - =1(y>0).…………5 分 4 4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q ( O x

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2 x ? x2 1 因为以线段 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切,所以半径 r ? AB ? 1 ,即 2 2

AB ? x1 ? x2 . ①
因为直线 AB 过点 F(2 2,0), 当 AB ? x 轴时,不合题意. 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2). y2 x2 代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4 k2(x-2 2)2-x2=4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点, 所以 k≠±1. 8k2-4 4 2k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -1 k -1 所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
2 2 2 ?4 2k ?2-4?8k -4]=|x +x |=|4 2k |, (1+k2)[? 2 ? 1 2 k2-1 k2-1 ? k -1 ? 化简得:k4+2k2-1=0,

…………10 分



解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去) .
共 12 页 第 9 页

由△=(4 2k2)2-4(k2-1) (8k2-4) =3k2-1>0, 又由于 y>0,所以-1<k<- 3 .所以 k=- 3 2-1 ………15 分

解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. |x+y| |x-y| 设动点 P(x,y),则 ? =2, 2 2 即|x2-y2|=4.由 P∈D 知: x+y>0,x-y<0,即 x2-y2<0. 所以 y2-x2=4(y>0). y2 x2 即曲线 C 的方程为 - =1(y>0).…………5 分 4 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 y1+y2 则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q( , ). 2 2 因为以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切, x1+x2 1 ∴半径 r= |AB|=| |.即|AB|=|x1+x2|. ① 2 2 因为直线 AB 过点 F(2 2,0),当 AB ? x 轴时,不合题意.

y

O

x

……10 分

y2 x2 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2).代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4 k2(x-2 2)2-x2=4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点, 所以 k≠±1.所以 x1+x2= 8k2-4 4 2k2 , x x = . 1 2 k2-1 k2-1

所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =
2 2 2 ?4 2k ?2-4?8k -4]=|x +x |=|4 2k |, (1+k2)[? 2 ? 1 2 k2-1 k2-1 ? k -1 ?

化简得:k4+2k2-1=0,解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去) . 2 2 2 2 2 由△=(4 2k ) -4(k -1) (8k -4) =3k -1>0, 又由于 y>0,所以-1<k<- 3 .所以 k=- 3 2-1…………………………15 分

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AAC 1 1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AAC 1 1C , A 1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; A

B A1

B1

ABC 的距离. (2)求点 A 1 到平面
共 12 页 第 10 页

C

C1

证: (1)设 AA 1 中点为 D ,连 C 、 D . 因为 A1 B ? AB ,所以 BD ? AA1 .因为面 (第 14 题)

ABB1 A1 ? AA1C1C ,所以 BD ? 面 AA1C1C .
又 ?ACC1 为正三角形, AC1 ? C1 A1 ,所以 C1 D ? AA 1 . 从而 BC1 ? AA 1. (2) 由(1) ,有 BD ? C1D , BC1 ? CC1 , CC1 ? 面 C1DB .设 A1 到面 ABC 的 距离为 h ,则 hS ?ABC ? VB ?CAC1 ? VB ?CDC1 . 因为 VC ?C1DB ?

1 3

S?C1DB 1 CC1 ? S ?C1DB ,所以 h ? . 3 S?ABC
2

又 C1D ? BD ,且 2 S ?C1DB ? C1 D ? BD ? BD ?
2 2 2

3 . 4
2

设 ?ABC 的高为 AE ,则 BC ? BC1 ? CC1 ? 2 BD ? 1 ?

3 5 ?1 ? , 2 2

1 5 3 , AE ? 1 ? ? ? 4 2 8 2S ?ABC ?
于是有 h ?

5 3 15 . ? ? 2 8 4

3 15

?

15 15 ,即 A1 到平面 ABC 的距离为 . ………………15 分 5 5

15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 . 解:由题设, an? 2 ? an ? 2 ,则

a2007 ? a2005 ? 2 ? a2003 ? 2 ? 2 ? ? ? a1 ? 2 ?1003 ? 2007 .


………5 分

an?2 ? an ? 2 ,得 an ? an?2 ? 2 ,则 an?3 ? an ? 3 ? an?2 ? 2 ? 3 ? an?2 ? 1 (n ? 1) .
共 12 页 第 11 页

………………10 分

于是

a2007 ? a2006 ? 1 ? a2005 ? 1? 2 ? a2002 ? 3 ? 1? 2 ? a1999 ? 3? 2 ? 1? 2 ? ? ? a1 ? 3? 668 ? 1? 2 ? 2007 ,

所以 a2007=2007. 易知数列 a1 ? 1 , a2 ? 2 , ? , an ? n 符合本题要求. ………………15 分 注意:猜得答案 an ? n 或 a2007 ? 2007 ,给 2 分. 16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证 明你的结论. 解:存在直线 l ,与每个圆都有公共点. 证明如下: 如图, 先作直线 l0 , 设第 i 个圆在直线 l0 上的正投 影是线段 Ai Bi ,其中 Ai 、 Bi 分别是线段的左右端 点.10 个圆有 10 个投影线段,有 10 个左端点,有 10 个 点. 右 端 A1 A2 Ak B m
10

B2 B1

………………5 分

因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段都有重叠的部分,设 Ak 是最右边的 左端点,则所有右端点都在 Ak 的右边,否则必有两条投影线段无重叠部分,与对应的两 个圆相交矛盾. ………………10 分

再设 Bm 是最左边的右端点,同理所有左端点都在 Bm 的左边. Ak 与 Bm 不重合,线 段 Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分,过线段 Ak Bm 上某一点作直线 l0 的垂线 l ,则 l 与

10 个圆都相交.

………………15 分

共 12 页 第 12 页


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