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高中物理人教版选修3-4课件:11.2 简谐运动的描述


2.简谐运动的描述

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1.知道什么是振动的振幅、周期和频率,理解周期和频率的关系。 2.了解相位的概念并能用公式描述简谐运动。

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1.描述简谐运动的物理量 (1)振幅(A):振动物体离开平衡位置的最大距离,表示振动的强弱, 是标量。 (2)全振动:简谐运动是一种周期性运动。振子以相同速度相继通 过同一位置所完成的过程称为一个全振动。

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(3)周期(T)和频率(f):

内容 定义

单位

意义

周期 做简谐运动的物体完成 一次全振动所需要的时 间叫作振动的周期,用 T 表示 在国际单位制中,周期的 单位是秒(s) 周期是表示振动快慢的 物理量。周期越长,表示 物体振动得越慢;周期越 短,表示物体振动得越快
1 f

频率 做简谐运动的物体完成全振 动的次数与所用时间的比, 叫作振动的频率,用 f 表示 在国际单位制中,频率的单 位是赫兹(Hz) 频率是表示物体振动快慢的 物理量。频率越大,表示振 动得越快;频率越小,表示振 动得越慢

关系式 T=

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(4)相位:描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

你能区分“振动的快慢”和“振动物体运动的快慢”这两种表述吗? 提示:振动的快慢用周期T、频率f描述,周期越小,频率越大,表示 振动得越快。由于物体做简谐运动是一种变速运动,振动物体运动 的快慢只能用瞬时速度描述,它是随时间变化的。由此可见振幅、 周期、频率都是从整体上描述振动特点的物理量。

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2.简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ) (1)式中各量的含义:A表示简谐运动的振幅;ω是一个与频率成正 比的量,叫作简谐运动的“圆频率”,它也表示简谐运动振动的快慢,
ω=


= 2π ; + 代表简谐运动的相位 , 表示 = 0 时的相位,

叫作初相位。

(2)相位差:如果两个简谐运动的频率相等,其初相分别是φ1和φ2, 当φ2>φ1时,它们的相位差是 Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1

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一、如何理解振幅、位移和路程的关系 1.振幅与位移 (1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离,位移是物体相对于 平衡位置的位置变化。 (2)振幅是表示振动强弱的物理量,在同一简谐运动中振幅是不变 的,而位移却时刻变化。 (3)振幅是标量,位移是矢量。 (4)振幅在数值上等于位移的最大值。

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2.振幅与路程 (1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅,在半个周期内 的路程一定为两个振幅。

(2)振动物体在 内的路程可能等于一个振幅, 可能大于一个振 4 1 幅, 还可能小于一个振幅。只有当 的初时刻, 振动物体在平衡位 4 1 置或最大位移处时, 内的路程才等于一个振幅。 4

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二、简谐运动的对称性和周期性 1.简谐运动的对称性 (1)瞬时量的对称性:做简谐运动的物体,在通过关于平衡位置对 称的两点时,位移的大小相等,方向相反;速度的大小相等,方向可能 相同,也可能相反;动能相等,势能相等。 (2)过程量的对称性:如图所示,振动质点来回通过相同的两点间 的时间相等,即tBC=tCB;质点经过关于平衡位置对称的等大的两段 位移的时间相等,即tBC=tB'C'。

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2.简谐运动的周期性 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动,按其周期性可做出如 下判断: (1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。

(2) 若 t2-t 1=nT+ , 则1、2 两时刻, 描述运动的物理量(、等 )
2



均大小相等, 方向相反。 3 (3) 若 t2-t 1=nT+ 或2 ? 1 = + , 则当1 时刻物体到达最大
4 4

位移处时, 2 时刻物体到达平衡位置; 当1 时刻物体在平衡位置时, 2 时刻物体到达最大位移处; 若1 时刻物体在其他位置, 2 时刻物 体到达何处就要视具体情况而定。

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三、如何理解简谐运动的表达式 做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式:x=Asin(ωt+φ)。 1.式中x表示振动质点相对平衡位置的位移。 2.式中A表示振幅,描述的是振动的强弱。
3.式中 ω 叫作圆频率,它与周期频率的关系为 ω=


= 2π。

可见、、相当于一个量, 描述的都是振动的快慢。

4.式中(ωt+φ)表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时 刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一 个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完 成了一次全振动。 5.式中φ表示t=0时简谐运动质点所处的状态,称为初相位或初相。 6.相位差:即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动, 设其初相位分别为φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。

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特别警示相位差的取值范围一般为-π≤Δφ≤π,当Δφ=0 时两运动 步调完全相同,称为同相;当Δφ=π时,两运动步调相反,称为反相。

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描述简谐运动的物理量 【例1】如图所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位 置,BO=OC=5 cm,若振子从B到C的运动时间是1 s,则下列说法正确 的是( )

A.振子从B经O到C完成一次全振动 B.振动周期是1 s,振幅是10 cm C.经过两次全振动,振子通过的路程是20 cm D.从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm 点拨:弄清简谐运动中全振动、振幅、周期、路程等概念的确切 含义是处理问题的关键。
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解析:

答案:D 题后反思求路程时,首先应明确振动过程经过几个整数周期,再分 析最后不到一个周期的时间内的路程,两部分之和即为总的路程。

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简谐运动的对称性和周期性 【例2】 一弹簧振子做简谐运动,周期为T。则下列说法中正确 的是( )

A.若 t 时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则 Δt 一定等于 的整数倍 B.若 t 时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则 Δt 一定等于 T 的整数倍 C.若 Δt = , 则在时刻和 ( + Δ)时刻弹簧的长度一定相等 D.若 Δt=T,则在 t 时刻和(t+Δt)时刻振子运动的速度一定相等
点拨:灵活应用简谐运动的对称性和周期性是分析问题的关键。
2 2

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解析 :若 Δt= 或Δt=nT? ( = 1,2,3, …),则在 t 和 (t+Δt)两时刻振 子必在关于平衡位置对称的两位置 (包括平衡位置 ),这两时刻 ,振子 的位移、速度等均大小相等、方向相反,但在这两时刻弹簧的长度 并不一定相等〔只有当振子在 t 和 (t+Δt)两时刻均在平衡位置时,弹 簧长度才相等〕。反过来,若在 t 和 (t+Δt)两时刻振子的位移和速度 均大小相等、方向相反 ,则 Δt 一定等于 的奇数倍,即 Δt=(2n1) ( = 1,2,3, … )。如果仅仅是振子的速度在 t 和 (t+Δt)两时刻大
2 2 2 2





小相等、方向相反,那么不能得出 Δt=(2n-1) , 更不能得出 Δt= ( = 1,2,3, …)。根据以上分析 ,选项 A、 C 错误。
2 2



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若t和(t+Δt)两时刻,振子的位移、速度等均相同,则 Δt=nT(n=1,2,3,…),但仅仅根据两时刻振子的位移相同,不能得出 Δt=nT,所以选项B错误。若Δt=nT,在t和(t+Δt)两时刻,振子的位移、 速度等均大小相等、方向相同,选项D正确。 答案:D 题后反思不能仅根据两时刻位移或速度是否大小相等、方向相 反来判断这一段时间是不是半个周期的奇数倍,必须是位移和速度 均大小相等、方向相反的两个时刻之间的时间才为半个周期的奇 数倍。同样,也不能仅根据两时刻位移或速度是否相同来判断这一 段时间是不是周期的整数倍,必须是位移和速度均相同的两个时刻 之间的时间才为周期的整数倍。

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简谐运动的表达式 【例3】 一个物体沿x轴做简谐运动,振幅为8 cm,频率为0.5 Hz, 在t=0时,位移是4 cm,且向x轴负方向运动,试写出应用正弦函数表 示的振动关系式。 点拨:简谐运动的表达式为x=Asin(ωt+φ)。 解析:根据题目给出的条件,A=0.08 m,ω=2πf=π rad/s,代入表达式 , 1 则 x=0.08sin(πt+φ) m,由于 t=0 时 ,x=4 cm,所以 sin φ = 。根据

三角函数可得初相位为 = 或 =
6

π

5π 6

2

, 再根据此时速度方向沿x 轴

负方向可以判断出初相位应为后者,故所列关系式为 x=0.08si n π +
5π 6

m。
5π 6

答案:x=0.08si n π +

m
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题后反思把简谐运动表达式中对应的项目一一求出即可写出振 动关系式,由于振动存在周期性,一定要注意由于周期性带来的多 值问题。

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