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2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题(含答案)


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二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题 一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试
填空题(本题满分 一.填空题 本题满分 56 分,每小题 7 分) 填空题 每小题 1.已知集合 A = {x | ( x ? 2)( x ? 6) ≥ 3, x ∈ Z , 0 ≤ x ≤ 7} ,则 A 的非空子集的个数 为 .

2. 若 f ( g ( x) ) = sin 2 x , g ( x ) = tan

x (0 < x < π ) ,则 2

? 2? f? ? 2 ?= ? ? ?

.

3. 若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为

1 的球,则此正四棱锥的体积是 2

.

4. 在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 2) 和 B (4,1) . 圆 x 2 + y 2 = 25 上的动点 P ( x, y ) 与

A, B 形成三角形,则三角形 ABP 的面积的最大值为

.

5.将正整数 1, 2,3, 4,5, 6, 7 任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数的和与第二组 数的和相等的概率是 6. 数列满足 a 0 = .

2011 1 1 2 , 及对于自然数 n , n +1 = a n + a n , ∑ a 则 的整数部分是 4 n =0 a n + 1



7. 四次多项式 f ( x ) 的四个实根构成公差为 2 的等差数列,则 f ′( x ) 的所有根中最大根与最 小根之差是 .

8.设 [ x ] 表示不超过实数的最大整数,则在平面上,由满足 [ x ] 2 + [ y ] 2 = 50 的点所形成的图 形的面积是 . 二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 解答题 本题满分 、 、 9. 已知正项数列 {an } 满足: (1) a1 = 2012 ; (2) a2 , a3 是整数; (3)数列 {nan ? n } 是公
2

比不大于 10 的等比数列. 求数列 {an } 的通项公式. 10. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x 2 ? y 2 = 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF1 F2 的面积是

3 ,求 ∠F1 PF2 .
11. 设 a1 , a 2 ,…, a n 为正数,且 a1 + a2 + L + an = 1 ,求证:
2 1 2 1 2 1 2 ( n + 1) (a1 + ) + ( a2 + ) + L + ( an + ) ≥ . a1 a2 an n 2

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Http://www.fhedu.cn 12.设 n ≥ 11 是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A , 由不大于 n 的 连续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A ∩ B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。

二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛评分参考
填空题(本题满分 一.填空题 本题满分 56 分,每小题 7 分) 填空题 每小题 1. 63 . 2.

4 2 . 9

3.

16 1 4 . 4. (7 + 5 10) .5 .6. 3 .7. 2 5 . 8. 12 . 9 2 63

二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 解答题 本题满分 、 、 9. 已知正项数列 {an } 满足: (1) a1 = 2012 ; (2) a2 , a3 是整数; (3)数列 {nan ? n } 是公
2

比不大于 10 的等比数列. 求数列 {an } 的通项公式. 解 由条件(3)知 nan ? n = c ? q
2 n ?1

,其中 c, q > 0 ,于是 an =

c ? q n ?1 + n , n = 1, 2,L . n

由条件(1)可得 c = 2011 ,由此 an = 因为 a2 =

2011q n ?1 + n , n = 1, 2,L . ………………4 分 n

2011q 2011q k + 2 是整数,故 是整数,于是 q 只能是分数,不妨设 q = ,其 2 2 m 中 k 与 m 互素. 注意到 2011 是素数,故 m 的取值只能是 1 和 2011 , k 只能为偶数.
……………8 分

k k 2011( ) 2 2011 ? 2 m + 3 是整数,得知 m 是整数,于是 m 的取值只能是 1 且 k 同理,由 a3 = 3 3
是 3 的倍数,从而 q = k 是 6 的倍数. q 不大于 10, 所以 q = 6 ,故数列 {an } 的通项公式为

2

2011 ? 6n ?1 an = + n , n = 1, 2,L . n

………………14 分

10. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x 2 ? y 2 = 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF1 F2 的面积是

3 ,求 ∠F1 PF2 .
解 不妨设点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线的右支,由题设易得 F1F2 = 2 2 . ………………2 分 注意到 S ?PF1F2 =

1 1 6 F1 F2 ? y0 = × 2 2 y0 = 3 ,解得 | y0 |= ,……………4 分 2 2 2

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6 5 2 2 2 2 2 2 又由 x ? y = 1 有 x0 ? y0 = 1 ,解得 x0 = 1+y0 =1+ = . 4 2
由双曲线的第二定义得 | PF1 |= e[ x0 ? ( ?

………………6 分

a2 )] = a + ex0 = 1 + 2 x0 及 c

| PF2 |= e[ x0 ?

a2 )] = ex0 ? a = 2 x0 ? 1 . 再由余弦定理有 c | PF1 |2 + | PF2 |2 ? | F1 F2 |2 , 2 | PF1 || PF2 |
2 2 2 2 2 ( 2 x0 + 1) ? 8 2 2 ( 2 x0 ? 1)

cos ∠F1 PF2 =
于是

………………9 分

(1+ cos ∠F PF =
1 2

2 x0

) ( ) 2 (1+ 2 x )( 2 x ? 1)
2 x0 ? 1 ? 2 2
0 0

) +(

=

? 5 ? 2 ? 2 × + 1? ? 8 2 × ( 5 + 1) ? 8 2 × 6 ? 8 1 2 ? = ? = = = . 2 × ( 5 ? 1) 8 2 ? 5 ? 2 ? 2 × ? 1? ? 2 ?
由此得 ∠F1 PF2 =60 .
0

………………14 分

11. 设 a1 , a 2 ,…, a n 为正数,且 a1 + a2 + L + an = 1 ,求证:

( n2 + 1) . 1 1 1 (a1 + )2 + (a2 + ) 2 + L + (an + ) 2 ≥ a1 a2 an n
2

证明 因 a1 , a 2 ,…, a n 为正数,由 Cauchy 不等式得

(a1 + a 2 + L + a n )(

1 1 1 1 1 1 2 + + L + ) ≥ ( a1 × + a2 × + L + an × ) a1 a 2 an a1 a2 an

即 ( a1 + a 2 + L + a n )(

1 1 1 + + L + ) ≥ n2 . a1 a 2 an 1 1 1 + +L+ ≥ n2 . a1 a 2 an

………………6 分

又 a1 + a 2 + L + a n = 1 ,所以

………………9 分

对 a1 +

1 1 1 , a2 + ,…, a n + 和实数 1,1,L ,1 ,由 Cauchy 不等式得 123 4 4 a1 a2 an n

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1 2 1 1 1 1 1 (a1 + ) + a2 + ) 2 + L + (an + ) 2(142442) (a1 + ) 1 + a2 + ) 1 + L + an + ) 1]2 [ ( ] 12 + 12 + L1 ≥ [ × ( × ( × 4 3 a1 a2 an a1 a2 an n

即(a1 + [

1 2 1 1 1 1 1 ) + a2 + )2 + L + (an + ) 2 ]n ≥ (a1 + + a2 + + L + an + ) 2 , ( a1 a2 an a1 a2 an
………………12 分

即(a1 + [

1 2 1 1 ) + a2 + ) 2 + L + (an + ) 2 ]n ≥ (n 2 + 1) 2 ,………………15 分 ( a1 a2 an
2

2 1 2 1 2 1 2 ( n + 1) 所以 ( a1 + ) + ( a2 + ) + L + ( an + ) ≥ . a1 a2 an n

………………18 分

12.设 n ≥ 11 是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A , 由不大于 n 的 连续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A ∩ B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。 解:显然 A = {55 + 10k | 0 ≤ k ≤ n ? 10, k ∈ Z } , B = {66 + 11l | 0 ≤ l ≤ n ? 11, l ∈ Z } , ………………6 分 为求 A ∩ B 的元素个数,令

55 + 10k = 66 + 11l ,则 10k = (l + 1)11 。

………………9 分

再令 k = 11m ,则得 l = 10m ? 1 .因为 0 ≤ k ≤ n ? 10 ,m 可取值 0,1, 2,L ,[ 的相应取值为 ?1, 9,19,L ,10[ 注意到

n ? 10 ] ?1 。 11

n ? 10 ] ,此时 l 11

………………12 分

10[

n ? 10 n ? 10 ] ? 1 ≤ 10 ? ? 1 ≤ n ? 11 11 11

符合 l 的取值范围,舍去不合乎要求的值 ?1 ,则知集合 A ∩ B 的元素个数为 [

n ? 10 n ? 10 ] , 则 181 ≤ < 182 ……………15 分 11 11 即 2001 ≤ n < 2012 ,于是 n 的最大值和最小值分别为 2011 和 2001. ……………18 分 181 = [

n ? 10 ] 。令 11

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