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7-4排列.题库版


排列

知识框架图
7-4-1 排列的基本应用 7 计数综合 7-4 排列 7-4-2 捆绑法 7-4-3 排列的综合应用

教学目标
1.使学生正确理解排列的意义; 2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列; 3.掌握排列的计算公式; 4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳总结,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.

知识要点
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就 是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关. 一般地,从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n )个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列. 根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果 两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺 序不同,它们也是不同的排列. 排列的基本问题是计算排列的总个数. 从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素的排列中取出 m 个 元素的排列数,我们把它记做 Pnm . 根据排列的定义,做一个 m 元素的排列由 m 个步骤完成: 步骤 1 :从 n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有 n 种方法; 步骤 2 :从剩下的( n ? 1 )个元素中任取一个元素排在第二位,有( n ? 1 )种方法; …… ( ? 步骤 m :从剩下的 [n ? (m ? 1)] 个元素中任取一个元素排在第 m 个位置,有 n ? m ? 1) n ? m ? 1 (种)方法;
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? ) ? ? ? 由乘法原理,从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数是 n(n ? 1 (n ? 2)?(n ? m ? 1) ,即

Pnm ? (n ? 1(n ? 2)(n ? m ? 1 ,这里, m ? n ,且等号右边从 n 开始,后面每个因数比前一个因数小 1 ,共 n ) . ? )

有 m 个因数相乘.

二、排列数
一般地,对于 m ? n 的情况,排列数公式变为 Pnn ? n(n ? 1 (n ? 2)?? 3 ? 2 ? 1 . ? ) ? ? 表示从 n 个不同元素中取 n 个元素排成一列所构成排列的排列数.这种 n 个排列全部取出的排列,叫做 n 个不同元素的全排列.式子右边是从 n 开始,后面每一个因数比前一个因数小 1 ,一直乘到 1 的乘积,记为 n ! ,
? ) ? ? 读做 n 的阶乘,则 Pnn 还可以写为: Pnn ? n! ,其中 n ! ? n(n ? 1 (n ? 2)?? ? 3 ? 2 ? 1  .

例题精讲
模块一、排列的基本应用
【例 1】 计算:⑴ P52 ;⑵ P74 ? P73 . 级) (2 【解析】 由排列数公式 Pnm ? (n ? 1(n ? 2)(n ? m ? 1 知: n ) . ? ) ⑴ P2 ? 5 ? 4 ? 20 5 ⑵ P4 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 840 , P3 ? 7 ? 6 ? 5 ? 210 ,所以 P4 ? P3 ? 840 ? 210 ? 630 . 7 7 7 7

【巩固】 (难度等级 ※)计算:⑴ P32 ;⑵ P63 ? P 2 . 级) 10 (2 【解析】 ⑴ P2 ? 3 ? 2 ? 6 3 ⑵ P3 ? P2 ? 6 ? 5 ? 4 ? 10 ? 9 ? 120 ? 90 ? 30 . 6 10

【巩固】 (难度等级 ※)计算:⑴ P3 ? P 2 ; 14 14 【解析】 ⑴ P3 ? P2 ? 14 ?13 ?12 ? 14 ? 13 ? 2002 ; 14 14

⑵ 3P65 ? P3 . 级) (2 3

⑵ 3P5 ? P3 ? 3 ? (6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2) ? 3 ? 2 ?1 ? 2154 . 6 3 【例 2】 有 4 个同学一起去郊游, 照相时, 必须有一名同学给其他 3 人拍照, 共可能有多少种拍照情况? (照 相时 3 人站成一排) (4 级) 【解析】 由于 4 人中必须有一个人拍照,所以,每张照片只能有 3 人,可以看成有 3 个位置由这 3 人来站.由 于要选一人拍照,也就是要从四个人中选 3 人照相,所以,问题就转化成从四个人中选 3 人,排在 3
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个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法. 由排列数公式,共可能有: P43 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24 (种)不同的拍照情况. 也可以把照相的人看成一个位置,那么共可能有: P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)不同的拍照情况. 【巩固】 4 名同学到照相馆照相.他们要排成一排,问:共有多少种不同的排法?(4 级) 【解析】 4 个人到照相馆照相,那么 4 个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从 4 个元素中选 4 个, 排成一列的问题.这时 n ? 4 , m ? 4 . 由排列数公式知,共有 P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)不同的排法. 【巩固】 9 名同学站成两排照相,前排 4 人,后排 5 人,共有多少种站法?(4 级) 【解析】 如果问题是 9 名同学站成一排照相,则是 9 个元素的全排列的问题,有 P99 种不同站法.而问题中,9 个人要站成两排,这时可以这么想,把 9 个人排成一排后,左边 4 个人站在前排,右边 5 个人站在后 排,所以实质上,还是 9 个人站 9 个位置的全排列问题. 方法一:由全排列公式,共有 P9 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 362880 (种)不同的排法. 9 方法二:根据乘法原理,先排四前个,再排后五个.
4 5 p9 ? p5 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 362880

【巩固】 5 个人并排站成一排,其中甲必须站在中间有多少种不同的站法?(4 级) 【解析】 由于甲必须站在中间,那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题,是一个全排列 问题,且 n ? 4 .由全排列公式,共有 P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)不同的站法. 【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福” 5 人并排站成一排,奶奶要站在正中间,有多 , 少种不同的站法?(4 级) 【解析】 由于奶奶必须站在中间,那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题,是一个全排 列问题,且 n=4. 由全排列公式,共有 P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)不同的站法. 【例 3】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠 14 个车站(包括北京和上海),这条铁路线共需要多少 种不同的车票. 级) (4 【解析】 P2 ? 14 ? 13 ? 182 (种). 14 【例 4】 班集体中选出了 5 名班委, 他们要分别担任班长, 学习委员、 生活委员、 宣传委员和体育委员. 问: 有多少种不同的分工方式?(4 级)

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【解析】 P5 ? 120 (种). 5 【例 5】 有五面颜色不同的小旗,任意取出三面排成一行表示一种信号,问:共可以表示多少种不同的信 号?(4 级) 【解析】 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素,三面小旗表示一种信号,就是有三个位置.我们的 问题就是要从五个不同的元素中取三个,排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有关, 而且与不同旗子所在的位置有关,所以是排列问题,且其中 n ? 5 , m ? 3 . 由排列数公式知,共可组成 P3 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 (种)不同的信号. 5 【巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗,把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号,问共可以组成多少 种不同的信号?(4 级) 【解析】 P2 ? 3 ? 2 ? 6 . 3 【巩固】 在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、 黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的信号,问这样总共可以表示出多少种 不同的信号?(4 级) 【解析】 方法一:这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素,红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排 法表示一种信号,也就是从三个元素中选三个的全排列的问题. 由排列数公式,共可以组成 P3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 (种)不同的信号. 3 方法二:首先,先确定最高位置的旗子,在红、黄、绿这三面旗子中任取一个,有 3 种方法; 其次,确定中间位置的旗子,当最高位置确定之后,中间位置的旗子只能从余下的两面旗 中去取,有 2 种方法.剩下那面旗子,放在最低位置. 根据乘法原理,用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是:3 ? 2 ? 1 ? 6 (种). 【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做,一般,乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式 做,用排列数公式解决问题时,可避免一步步地分析考虑,使问题简化. 【例 6】 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可以组成多少个没有重复数字的四位数?(4 级) 【解析】 这是一个从 8 个元素中取 4 个元素的排列问题,已知 n ? 8 , m ? 4 ,根据排列数公式,一共可以组成
P4 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 1680 (个)不同的四位数. 8

【巩固】 由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 可以组成多少没有重复数字的三位数?(2 级) 【解析】 P63 ? 120 . 【例 7】 用 0 、 1 、 2 、 3 、 4 可以组成多少个没重复数字的三位数?(4 级) 【解析】 (法 1 )本题中要注意的是 0 不能为首位数字,因此,百位上的数字只能从 1 、 2 、 3 、 4 这四个数字 中选择一个, 4 种方法; 有 十位和个位上的数字可以从余下的 4 个数字中任选两个进行排列, P42 种 有
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方法.由乘法原理得,此种三位数的个数是: 4 ? P42 ? 48 (个). (法 2 ) :从 0 、1 、 2 、3 、 4 中任选三个数字进行排列,再减去其中不合要求的,即首位是 0 的.从
0 、1 、 2 、 3 、 4 这五个数字中任选三个数字的排列数为 P3 ,其中首位是 0 的三位数有 P42 个.三位 5

数的个数是:
P3 ? P42 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 48 (个). 5

本题不是简单的全排列,有一些其它的限制,这样要么先全排列再剔除不合题意的情况,要么直接 在排列的时候考虑这些限制因素. 【例 8】 用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数?(2 级) 【解析】 个位数字已知,问题变成从从 5 个元素中取 2 个元素的排列问题,已知 n ? 5 , m ? 2 ,根据排列数公 式,一共可以组成 P2 ? 5 ? 4 ? 20 (个)符合题意的三位数. 5 【巩固】 用 1、2、3、4、5、6 六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶 数?(4 级) 【解析】 由于组成偶数,个位上的数应从 2 , 4 , 6 中选一张,有 3 种选法;十位和百位上的数可以从剩下的
5 张中选二张,有 P2 ? 5 ? 4 ? 20 (种)选法.由乘法原理,一共可以组成 3 ? 20 ? 60 (个)不同的偶数. . 5

【例 9】 由 0 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8 组成无重复数字的数,四位数有多少个?(4 级) 【解析】 方法一:先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为 P4 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 360 ,由于 0 不能在千位 6 上,而以 0 为千位数的四位数有 P3 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 ,它们的差就是由 0 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8 5 组成无重复数字的四位数的个数,即为: 360 ? 60 ? 300 个. 方法二:完成这件事——组成一个四位数,可分为 4 个步骤进行, 第一步:确定千位数;第二步:确定百位数; 第三步:确定十位数;第四步:确定个位数; 这四个步骤依次完成了,“组成一个四位数”这件事也就完成了,从而这个四位数也完全确 定了,思维过程如下: 千位 百位 十位 个位

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第一步:确定千位数 由于首位不能为

第三步:确定十位数 因为千位和百位已从

0 ,所以只能从 2 , 5 , 6 , 7 , 8 中任选一个
数字,共有 5 种选法.

0 , 2 , 5 , 6 , 7 ,8 中
用去 2 个数字,所以十位 只能从剩下的数字中选 择,共有 4 种选法.

第二步:确定百位数 由于数字不允许重复使用, 所以千位用过的数字百位不能再 用,然而百位可以是 0 ,所以在

第四步:确定个位数 因为千位、百位和十 位已从 0 ,2 ,5 ,6 ,7 ,

8 中用去 3 个数字,所以
个位只能从剩下的数字中 选择,共有 3 种选法.

2 , 5 , 6 , 7 , 8 中去掉千位
用去的一个数字,百位共有 5 种 选法.

根据乘法原理,所求的四位数的个数是: 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 300 (个). 【例 10】 用 1 、 2 、 3 、 4 、 5 这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个 3 的倍数?(4 级) 【解析】 按位数来分类考虑: ⑴一位数只有 1 个 3 ; ⑵两位数:由 1 与 2 ,1 与 5 , 2 与 4 , 4 与 5 四组数字组成,每一组可以组成 P22 ? 2 ? 1 ? 2 (个)不同的 两位数,共可组成 2 ? 4 ? 8 (个)不同的两位数; ⑶ 三位数:由 1 , 2 与 3 ; 1 , 3 与 5 ; 2 , 3 与 4 ; 3 , 4 与 5 四组数字组成,每一组可以组成
P3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 (个)不同的三位数,共可组成 6 ? 4 ? 24 (个)不同的三位数; 3

⑷四位数:可由 1 , 2 , 4 , 5 这四个数字组成,有 P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (个)不同的四位数; ⑸五位数:可由 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组成,共有 P5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 120 (个)不同的五位数. 5 由加法原理,一共有 1 ? 8 ? 24 ? 24 ? 120 ? 177 (个)能被 3 整除的数,即 3 的倍数. 【例 11】 用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比 20000 大且百位数字不是 3 的无重复数字的五位数? (4 级) 【解析】 可以分两类来看: ⑴把 3 排在最高位上,其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上,是 4 个元素全排列的问题,有
P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)放法,对应 24 个不同的五位数;

⑵把 2,4,5 放在最高位上,有 3 种选择,百位上有除已确定的最高位数字和 3 之外的 3 个数字可 以选择,有 3 种选择,其余的 3 个数字可以任意放到其余 3 个数位上,有 P3 ? 6 种选择.由乘法原 3 理,可以组成 3 ? 3 ? 6 ? 54 (个)不同的五位数.
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由加法原理,可以组成 24 ? 54 ? 78 (个)不同的五位数. 【巩固】 用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数;若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则 5687 是第几个数?(4 级) 【解析】 从高位到低位逐层分类: ⑴千位上排 1 , 2 , 3 或 4 时,千位有 4 种选择,而百、十、个位可以从 0 ~ 9 中除千位已确定的数字 之外的 9 个数字中选择,因为数字不重复,也就是从 9 个元素中取 3 个的排列问题,所以百、十、个 位可有 P3 ? 9 ? 8 ? 7 ? 504 (种)排列方式.由乘法原理,有 4 ? 504 ? 2016 (个). 9 ⑵千位上排 5 ,百位上排 0 ~ 4 时,千位有 1 种选择,百位有 5 种选择,十、个位可以从剩下的八个 数字中选择.也就是从 8 个元素中取 2 个的排列问题,即 P2 ? 8 ? 7 ? 56 ,由乘法原理,有 8
1 ? 5 ? 56 ? 280 (个).

⑶千位上排 5 ,百位上排 6 ,十位上排 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 7 时,个位也从剩下的七个数字中选择, 有 1 ? 1 ? 6 ? 7 ? 42 (个). ⑷千位上排 5 ,百位上排 6 ,十位上排 8 时,比 5687 小的数的个位可以选择 0 ,1 , 2 ,3 , 4 共 5 个. 综上所述,比 5687 小的四位数有 2016 ? 280 ? 42 ? 5 ? 2343 (个),故比 5687 小是第 2344 个四位数. 【例 12】 由数字 0、 8 既可全用也可不全用) 2、 ( 组成的非零自然数, 按照从小到大排列. 2008 排在 个. 6 ( 级) 【解析】 比 2008 小的 4 位数有 2000 和 2002 ,比 2008 小的 3 位数有 2 ? 3 ? 3 ? 18 (种) ,比 2008 小的 2 位数有 2 ? 3 ? 6 (种) ,比 2008 小的 1 位数有 2 (种) ,所以 2008 排在第 2 ? 18 ? 6 ? 2 ? 1 ? 29 (个) . 【例 13】 千位数字与十位数字之差为 2(大减小),且不含重复数字的四位数有多少个? (4 级) 【解析】 千位数字大于十位数字,千位数字的取值范围为 2 : 9 ,对应的十位数字取 0 : 7 , 每确定一个千位数字,十位数字就相应确定了,只要从剩下的 8 个数字中选出 2 个作百位和个位就 行了,因此总共有 8 ? P82 个这样的四位数.⑵ 千位数字小于十位数字,千位数字取 1 : 7 ,十位数字 取 3 : 9 ,共有 7 ? P82 个这样的四位数. 所以总共有 8 ? P2 ? 7 ? P2 ? 840 个这样的四位数. 8 8 【例 14】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非 0 数码组成,且四个数码之和是 9 , 那么确保打开保险柜至少要试几次?(6 级) 【解析】 四个非 0 数码之和等于 9 的组合有 1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3, 3;2,2,2,3 六种. 6 第一种中, 可以组成多少个密码呢?只要考虑 6 的位置就可以了, 可以任意选择 4 个位置中的一个, 其余位置放 1 ,共有 4 种选择; 第二种中,先考虑放 2 ,有 4 种选择,再考虑 5 的位置,可以有 3 种选择,剩下的位置放 1 ,共有 4 ? 3 ? 12 (种)选择同样的方法,可以得出第三、四、五种都各有 12 种选择.最后一种,与第一种的 情形相似, 3 的位置有 4 种选择,其余位置放 2 ,共有 4 种选择. 综上所述,由加法原理,一共可以组成 4 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12 ? 4 ? 56 (个)不同的四位数,即确保能打开
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保险柜至少要试 56 次. 【例 15】 幼儿园里的 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子,有多少种坐法?(4 级) 【解析】 在这个问题中,只要把 3 把椅子看成是 3 个位置,而 6 名小朋友作为 6 个不同元素,则问题就可以转 化成从 6 个元素中取 3 个,排在 3 个不同位置的排列问题. 由排列数公式,共有: P3 ? 6 ? 5 ? 4 ? 120 (种)不同的坐法. 6 【巩固】 幼儿园里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子(每人只能坐一把),有多少种不同的坐法?(4 级) 【解析】 与例 5 不同,这次是椅子多而人少,可以考虑把 6 把椅子看成是 6 个元素,而把 3 名小朋友作为 3 个 位置,则问题转化为从 6 把椅子中选出 3 把,排在 3 名小朋友面前的排列问题. 由排列公式,共有: P3 ? 6 ? 5 ? 4 ? 120 (种)不同的坐法. 6 【巩固】 10 个人走进只有 6 辆不同颜色碰碰车的游乐场,每辆碰碰车必须且只能坐一个人,那么共有多少种 不同的坐法?(4 级) 【解析】 把 6 辆碰碰车看成是 6 个位置,而 10 个人作为 10 个不同元素,则问题就可以转化成从 10 个元素中取 6 个,排在 6 个不同位置的排列问题. 共有 P6 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 151200 (种)不同的坐法. 10 【例 16】 一个篮球队有五名队员 A , B , C , D , E ,由于某种原因, E 不能做中锋,而其余 4 个人可以 分配到五个位置的任何一个上,问一共有多少种不同的站位方法?(4 级) 【解析】 方法一:此题先确定做中锋的人选,除 E 以外的四个人任意一个都可以,则有 4 种选择,确定下 来 以 后 , 其 余 4 个 人 对 应 4 个 位 置 , 有 P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 种 ) 排 列 . 由 乘 法 原 理 , (
4? 2 4 ? 9,故一共有 96 种不同的站位方法. 6

方法二:五个人分配到五个位置一共有 P5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 120 (种)排列方式, E 能做中锋一共有 5
P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)排列方式,则 E 不能做中锋一共有 P5 ? P44 ? 120 ? 24 ? 96 种不同的 5

站位方法. 【例 17】 小明有 10 块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法? (4 级) 【解析】 我们将 10 块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中 9 个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将 lO 块 糖分成了两部分. 我们记从左至右,第 1 部分是第 1 天吃的,第 2 部分是第 2 天吃的,…, 如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了 3 粒,第二天吃了剩下的 7 粒: ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了 4 粒,第二天吃了 3 粒,第三天吃了剩下的 3 粒. 不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而 9 个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立, 故共有 29=512 种不同的插入方法,即 512 种不同的吃法. 【例 18】 一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6 : 24 : 30 ,那么从 8 时到 9 时这段时间里,此表的 5 个
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数字都不相同的时刻一共有多少个? (6 级) 【解析】 设 A:BC DE 是满足题意的时刻,有 A 为 8,B、D 应从 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字中选择两个不 同的数字,所以有 P 2 种选法,而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选择两个不同的数字,所以有 P 2 种选 6 7 法,所以共有 P 2 × P 2 =1260 种选法. 6 7 从 8 时到 9 时这段时间里,此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有 1260 个.

模块二、捆绑法
在排列问题中,有时候会要求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的方法数量,可以将这些物体 当作一个整体捆绑在一起进行计算. 【例 19】 4 个男生 2 个女生 6 人站成一排合影留念, 有多少种排法?如果要求 2 个女生紧挨着排在正中间有 多少种不同的排法?(4 级) 【解析】 ⑴ 4 男 2 女 6 人站成一排相当于 6 个人站成一排的方法,可以分为六步来进行,第一步,确定第一 个位置的人,有 6 种选择;第二步,确定第二个位置的人,有 5 种选择;第三步,排列第三个位置 的人,有 4 种选择,依此类推,第六步,最后一个位置只有一种选择.根据乘法原理,一共有 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 720 种排法. ⑵ 根据题意分为两步来排列.第一步,先排 4 个男生,一共有 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 24 种不同的排法;第二 步, 2 个女生安排完次序后再插到中间一共有 2 种方法. 将 根据乘法原理, 一共有 24 ? 2 ? 48 种排法. 【巩固】 4 男 2 女 6 个人站成一排合影留念,要求 2 个女的紧挨着有多少种不同的排法?(4 级) 【解析】 分为三步: 第一步:4 个男得先排,一共有 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 24 种不同的排法; 第二步:2 个女的排次序一共有 2 种方法; 第三步:将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间,一共有 5 个位置可插. 根据乘法原理,一共有 24 ? 2 ? 5 ? 240 种排法. 【例 20】 将 A、B、C、D、E、F、G 七位同学在操场排成一列,其中学生 B 与 C 必须相邻.请问共有多少种 不同的排列方法?(2007 年台湾第十一届小学数学世界邀请赛) 级) (4 【解析】 (法 1 )七人排成一列,其中 B 要与 C 相邻,分两种情况进行考虑. 若 B 站在两端, B 有两种选择, C 只有一种选择,另五人的排列共有 P55 种,所以这种情况有
2 ? 1? P5 ? 240 种不同的站法. 5

若 B 站在中间, B 有五种选择, B 无论在中间何处, C 都有两种选择.另五人的排列共有 P55 种,所 以这种情况共有 5 ? 2 ? P5 ? 1200 种不同的站法. 5 所以共有 240 ? 1200 ? 1440 种不同的站法. (法 2 )由于 B 与 C 必须相邻,可以把 B 与 C 当作一个整体来考虑,这样相当于 6 个元素的全排列, 另外注意 B 、 C 内部有 2 种不同的站法,
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所以共有 2 ? P66 ? 1440 种不同的站法. 【巩固】6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一排,若 A ,B 两人必须相邻,一共有多少种不同的站法?若
A、 B 两人不能相邻,一共有多少种不同的站法?(6 级)

【解析】 若 A、B 两人必须站在一起,那么可以用“捆绑”的思想考虑,甲和乙两个人占据一个位置,但在这个 位置上,可以甲在左乙在右,也可以甲在右乙在左.因此站法总数为 P22 ? P55 =2×120=240(种) A、 两个人不能相邻与 A、 两个人必须相邻是互补的事件, B B 因为不加任何条件的站法总数为 P66 =720 (种) ,所以 A、B 两个人不能相邻的站法总数为 720-240=480(种) . 【例 21】 某小组有 12 个同学,其中男少先队员有 3 人,女少先队员有 4 人,全组同学站成一排,要求女少 先队员都排一起,而男少先队员不排在一起,这样的排法有多少种?(6 级) 【解析】 把 4 个女少先队员看成一个整体,将这个整体与不是少先队员的 5 名同学一块儿进行排列,有
P6 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 720 ( 种 ) 排 法 . 然 后 在 七 个 空 档 中 排 列 3 个 男 少 先 队 员 , 有 P73 ? 7 ? 6 6
?5 ? 210 (种)排法,最后 4 个女少先队员内部进行排列,有 P4 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)排法.由乘法原 4

理,这样的排法一共有 720 ? 210 ? 24 ? 3628800 (种). 【例 22】 学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生.某次比赛后他们站成一排照相,请问: (1)如果要求男生不能相邻,一共有多少不同的站法? (2)如果要求女生都站在一起,一共有多少种不同的站法?(6 级) 【解析】 (1)要求男生不能相邻,则可以先排女生,然后把男生插进女生之间的空位里.因为有 3 名女生,考 虑到两端也可以放人,所以一共有四个空位.则站法总数为:
P33 ? P44 ? 6 ? 24 ? 144 (种)

(2)根据题意,采用捆绑法,将所有女生看成一个整体,则站法总数为: . P55 ? P33 ? 120 ? 6 ? 720 (种) 【例 23】 书架上有 4 本不同的漫画书,5 本不同的童话书,3 本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同 类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法?(6 级) 【解析】 ⑴每种书内部任意排序,分别有 4 ? 3 ? 2 ? 1 , 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 , 3 ? 2 ? 1 种排法,然后再排三种类型的 顺序, 3 ? 2 ? 1 种排法, 有 整个过程分 4 步完成.4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 103680 种,一共有 103680 种不同排法. ⑵方法一:首先将漫画书和童话书全排列,分别有 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 24 、 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 120 种排法,然 后将漫画书和童话书捆绑看成一摞, 再和 3 本故事书一起全排列, 一共有 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 120 种排法, 所以一共有 24 ? 120 ? 120 ? 345600 种排法. 方法二:首先将三种书都全排列,分别有 24、120、6 种排法,然后将排好了顺序的漫画书和童话书, 整摞得先后插到故事书中,插漫画书时有 4 个地方可以插,插童话书时就有 5 个地方可插,所以一
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共有 24 ? 120 ? 6 ? 5 ? 4 ? 345600 种排法. 【例 24】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由 2 个舞蹈、2 个演唱和 3 个小品组成.请问:如 果要求同类型的节目连续演出,那么共有多少种不同的出场顺序?(4 级) 【解析】 要求同类型的节目连续演出,则可以应用“捆绑法”.先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列, 再 分别在各类节目内部排列具体节目的次序.因此出场顺序总数为: . P33 ? P22 ? P22 ? P33 =144(种) 【例 25】 停车站划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆不同的车需要停放,若要求剩余的 4 个空车位连在一起, 一共有多少种不同的停车方案? (4 级) 【解析】 把 4 个空车位看成一个整体,与 8 辆车一块进行排列,这样相当于 9 个元素的全排列,所以共有
P9 ? 362880 . 9

【例 26】 a,b,c,d,e 五个人排成一排,a 与 b 不相邻,共有多少种不同的排法?(4 级) 【解析】 解法一:插空法,先排 c , d , e ,有 P33 种排法. 在 c , d , e 三个人之间有 2 个空,再加上两端,共有 4 个空, a ,b 排在这 4 个空的位置上, a 与 b 就不相邻,有 P42 种排法. 根据分步计数乘法原理,不同的排法共有 . P33 P42 ? 72 (种) 解法二:排除法,把 a , b 当作一个人和其他三个人在一起排列,再考虑 a 与 b 本身的顺序,有 P44 P22 种排法. 总的排法为 P55 . 总的排法减去 a 与 b 相邻的排法即为 a 与 b 不相邻的排法,应为 P55 ? P44 P22 ? 72 (种) . 【巩固】 8 人围圆桌聚餐,甲、乙两人必须相邻,而乙、丙两人不得相邻,有几种坐法?(6 级) 【解析】 n 人的环状排列与线状排列的不同之处在于: a1a2a3 ?an 、 a2a3 ?ana1 、 a3a4 ?an a1a2 、…、 an a1 ? an?1 在线状排列里是 n 个不同的排列,而在环状排列中是相同的排列.所以, n 个不同的元素的环状排 列数为
Pnn ? Pnn??11 . n

甲、乙两人必须相邻,可把他们看作是 1 人(当然,他们之间还有顺序) ,总排列数为 P22 P66 .从中扣 除甲、乙相邻且乙、丙也相邻(注意,这和甲、乙、丙三人相邻是不同的.如甲在乙、丙之间合于 后者,但不合于前者)的情况 P22 P55 种.所以,符合题意的排法有 P22 P66 ? P22 P55 ? 1200 (种) .
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模块三、排列的综合应用
【例 27】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,要求:甲乙两人之间必须有两个人,问一共有多少种站法? (6 级) 【解析】 先考虑给甲乙两人定位,两个人可以站在队伍从左数的一、四个,二、五个或三、六个,甲乙两人 要在内部全排列,剩下四个人再全排列,所以站法总数有: 3 ? P22 ? P44 ? 144 (种) . 【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,要求:甲乙两人之间最多有两个人,问一共有多少种站法? (6 级) 【解析】 类似地利用刚才的方法,考虑给甲乙两人定位,两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有 3、4、 5 种位置选取方法,所以站法总数有: (3+4+5) ? P22 ? P44 ? 576 (种) . 【例 28】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,要求:甲不能站在队伍左半边,乙不能站在队伍右半边, 丙不能站在队伍两端,问一共有多少种站法?(6 级) 【解析】 先对丙定位,有 4 种站法,无论丙站在哪里,甲和乙一定有一个人有两种站法,一个人有三种站法, 剩下三个人进行全排列,所以站法总数有: 4 ? 3 ? 2 ? P33 ? 144 (种) . 【例 29】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队,要求:甲不能站在队伍最靠左的三个位置,乙不 能站在队伍最靠右的三个位置,丙不能站在队伍两端,问一共有多少种站法?(6 级) 【解析】 按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论: 如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置,那么丙还有 6 种站法,剩下的五个人进行全 排列,站法总数有: 6 ? P55 ? 720 (种) 如果甲在队伍最靠右的位置,而乙不在队伍最靠左的位置,那么乙还有 4 种站法,丙还有 5 种站法, 剩下的五个人进行全排列,站法总数有:
4 ? 5 ? P55 ? 2400 (种)

如果甲不在队伍最靠右的位置, 而乙在队伍最靠左的位置, 分析完全类似于上一种, 因此同样有 2400 种站法 如果甲不在队伍最靠右的位置,乙也不在队伍最靠左的位置,那么先对甲、乙整体定位,甲、乙的 位置选取一共有 4 ? 4 ? 2 ? 14(种)方法.丙还有 4 种站法,剩下的五个人进行全排列,站法总数有:
14 ? 4 ? P55 ? 6720 (种)

所以总站法种数为 720 ? 2400 ? 2400 ? 6720 ? 12240 (种) 【例 30】 4 名男生, 5 名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法: ⑴ 甲不在中间也不在两端; ⑵ 甲、乙两人必须排在两端; ⑶ 男、女生分别排在一起;
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⑷ 男女相间. 级) (6 【解析】 ⑴先排甲, 9 个位置除了中间和两端之外的 6 个位置都可以,有 6 种选择,剩下的 8 个人随 意排,也就是 8 个元素全排列的问题,有 P8 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 40320 (种)选择.由乘法原 8 理,共有 6 ? 40320 ? 241920 (种)排法. ⑵甲、乙先排,有 P22 ? 2 ? 1 ? 2 (种)排法;剩下的 7 个人随意排,有
P7 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 5040 (种)排法.由乘法原理,共有 2 ? 5040 ? 10080 (种)排法. 7

⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列,有 P22 ? 2 ? 1 ? 2 (种)不同排列方法,再分别对男生、女 生内部进行排列,分别是 4 个元素与 5 个元素的全排列问题,分别有
P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)和 P5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 120 (种)排法. 5

由乘法原理,共有 2 ? 24 ? 120 ? 5760 (种)排法. ⑷先排 4 名男生,有 P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)排法,再把 5 名女生排到 5 个空档中,有
P5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 120 (种)排法.由乘法原理,一共有 24 ? 120 ? 2880 (种)排法. 5

【例 31】 小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法? (1)七个人排成一排; (2)七个人排成一排,小新必须站在中间. (3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间. (4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边. (5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上. (6)七个人战成两排,前排三人,后排四人. (7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排. 级) (6 【解析】 (1) P7 ? 5040 (种) . 7 (2)只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置. P6 ? 720 (种). 6 (3)先确定中间的位置站谁,冉排剩下的 6 个位置.2× P6 =1440(种). 6 (4)先排两边,再排剩下的 5 个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置. 2 ? P5 ? 240 (种). 5 (5)先排两边,从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人,再排剩下的 5 个人, P2 ? P5 ? 2400(种). 5 5 (6)七个人排成一排时,7 个位置就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7 个 位置还是各不相同的,所以本题实质就是 7 个元素的全排列. P7 ? 5040 (种). 7 (7)可以分为两类情况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所

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以只要求出其中一种的排法数,再乘以 2 即可.4×3× P5 ×2=2880(种).排队问题,一般先考虑 5 特殊情况再去全排列. 【例 32】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行的手工制作比赛中,决出了第一至第五名的名次.甲、 乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说: “很遗憾,你和乙都未拿到冠军. ”对乙说: “你当然不 会是最差的. ”从这个回答分析,5 人的名次排列共有多少种不同的情况?(6 级) 【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题,这就需要灵活地对问题进行转化.仔细审题,已知“甲和乙都未拿 到冠军”,而且“乙不是最差的”,也就等价于 5 人排成一排,甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的 排法数,因为乙的限制最多,所以先排乙,有 3 种排法,再排甲,也有 3 种排法,剩下的人随意排, 有 P3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 (种)排法.由乘法原理,一共有 3 ? 3 ? 6 ? 54 (种)不同的排法. 3 【例 33】 书架上有 3 本故事书, 2 本作文选和 1 本漫画书,全部竖起来排成一排.⑴ 如果同类的书不分开, 一共有多少种排法?⑵ 如果同类的书可以分开,一共有多种排法?(6 级) 【解析】 ⑴可以分三步来排:先排故事书,有 P3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 (种)排法;再排作文选,有 P22 ? 2 ? 1 ? 2 (种)排 3 法;最后排漫画书有 1 种排法,而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换,排列的先 后顺序有 P3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 (种).故由乘法原理,一共有 6 ? 2 ? 1 ? 6 ? 72 种排法. 3 ⑵可以看成 3 ? 2 ? 1 ? 6 (本)书随意排,一共有 P6 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 720 (种)排法. 6 若同类书不分开,共有 72 种排法;若同类书可以分开,共有 720 种排法. 【例 34】 一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏,按照下列条件把灯串成一串,有多少 种不同的串法? ⑴ 把 7 盏灯都串起来,其中紫灯不排在第一位,也不排在第七位. ⑵ 串起其中 4 盏灯,紫灯不排在第一位,也不排在第四位. 级) (4 【解析】 ⑴可以先考虑紫灯的位置,除去第一位和第七位外,有 5 种选择;然后把剩下的 6 盏灯随意排, 是一个全排列问题,有 P6 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 720 (种)排法. 6 由乘法原理,一共有 5 ? 720 ? 3600 (种). ⑵先安排第一盏和第四盏灯.第一盏灯不是紫灯,有 6 种选择;第四盏灯有 5 种选择;剩下的 5 盏灯 中随意选出 2 盏排列,有 P2 ? 5 ? 4 ? 20 (种)选择.由乘法原理,有 6 ? 5 ? 20 ? 600 (种). 5 【例 35】 某市的电视台有八个节目准备分两天播出,每天播出四个,其中某动画片和某新闻播报必须在第 一天播出,一场体育比赛必须在第二天播出,那么一共有多少种不同的播放节目方案?(4 级) 【解析】 某动画片和某新闻播报在第一天播放,对于动画片而言,可以选择当天四个节目时段的任何一个时 段,一共有 4 种选择,对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段,一共有 3 种 选择,体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个,一共有 4 种选择.剩下的 5 个节目随意 安排顺序,有 P5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 120 (种)选择. 5
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由乘法原理,一共有 4 ? 3 ? 4 ? 120 ? 5760 (种)不同的播放节目方案. 【例 36】 从 6 名运动员中选出 4 人参加 4 ? 100 接力赛.试求满足下列条件的参赛方案各有多少种: ⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒; ⑵ 甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒. 级) (6 【解析】 ⑴先确定第一棒和第四棒.第一棒是甲以外的任何一个人,有 5 种选择,第四棒有 4 种选择,剩下 的 4 个人中随意选择 2 个人跑第二棒和第三棒,有 P42 ? 4 ? 3 ? 12 种选择.由乘法原理,一共有
5 ? 4 ? 12 ? 240 (种)参赛方案.

⑵先不考虑甲、 乙的特殊要求, 6 名运动员中随意选择 4 人参赛, P4 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 360 种选择. 从 有 6 考 虑若甲跑第一棒,其余 5 人随意选择 3 人参赛,对应 P3 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 种不同的选择,考虑若乙跑 5 第四棒,也对应 60 种不同的选择,但是,从 360 种中减去两个 60 种的时候,重复减了一次甲跑 第一棒,且乙跑第四棒的情况.这种情况下,对应于第一棒,第四棒已确定只需从剩下的 4 人选 择 2 人参赛的 P42 ? 4 ? 3 ? 12 (种)方案,应加上. 综上所述,一共有 360 ? 60 ? 2 ? 12 ? 252 (种)不同的参赛方案. 【例 37】 一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目.求: 级) (6 ⑴ 当 4 个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序? ⑵ 当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序? 【解析】 ⑴先将 4 个舞蹈节目看成 1 个节目,与 6 个演唱节目一起排,则是 7 个元素全排列的问题,有
P7 ? 7 ! ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? (种)方法.第二步再排 4 个舞蹈节目,也就是 4 个舞蹈节 5040 7

目全排列的问题,有 P44 ? 4! ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)方法. 根据乘法原理,一共有 5040 ? 24 ? 120960 (种)方法. ⑵ 首先将 6 个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),是 6 个元素全排列的问题,一共有
P6 ? 6! ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 720 (种)方法. 6

×□×□×□×□×□×□× 第二步,再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或 2 个演唱节目之间(即上图中“×”的位置),这相当于从
7 个“×”中选 4 个来排,一共有 P4 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 840 (种)方法. 7

根据乘法原理,一共有 720 ? 840 ? 604800 (种)方法. 【巩固】 由 4 个不同的独唱节目和 3 个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始 和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种?(6 级) 【解析】 先排独唱节目,四个节目随意排,是 4 个元素全排列的问题,有 P44 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 种排法;其次在 独唱节目的首尾排合唱节目,有三个节目,两个位置,也就是从三个节目选两个进行排列的问题,

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有 P2 ? 3 ? 2 ? 6 (种)排法;再在独唱节目之间的 3 个位置中排一个合唱节目,有 3 种排法.由乘法原 3 理,一共有 24 ? 6 ? 3 ? 432 (种)不同的编排方法. 【小结】排列中,我们可以先排条件限制不多的元素,然后再排限制多的元素.如本题中,独唱节目排好之 后,合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了.总的排列数用乘法原理.把若干个排列数相 乘,得出最后的答案. 【例 38】 用 2 ,3 ,4 ,5 排成四位数: 级) (6 (1)共有多少个四位数? (2)无重复数字的四位数有多少个? (3)无重复数字的四位偶数有多少个? (4)2 在 3 的左边的无重复数字的四位数有多少个? (5)2 在千位上的无重复数字的四位数有多少个? (6)5 不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个? 3 2 5 【解析】 ⑴ 条件中未限制“无重复数字”,所以,数字可以重复出现,如 2 234, 355, 444, 555 等. 依分步计数乘法原理共有 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 44 (个) ⑵ 44 ? 24 (个) P ⑶ 个位上只能是 2 或 4 ,有 2P22 ? 12 (个)

1 ⑷ 所有四位数中, 2 在 3 的左边或 2 在 3 的右边的数各占一半,共有 P44 ? 12 (个) 2
45 ⑸ 在千位上,只有 1 种方法,此后 3、、 只能在另外的 3 个位置上排列,有 P33 ? 6 (个) 2

⑹ 法一: 5 不在十位、个位上,所以 5 只能在千位上或百位上,有 2P3 ? 12 (个) 3 法二:从 P55 中减去不合要求的( 5 在十位上、个位上) ,有 P44 ? 2P3 ? 2P22 ? 12 (个) . 3
1 3 4 5 【巩固】 用数字 0 , ,2 , , , 组成没有重复数字的正整数. 级) (6

⑴能组成多少个五位数? ⑵能组成多少个正整数? ⑶能组成多少个六位奇数? ⑷能组成我少个能被 25 整除的四位数? ⑸能组成多少个比 201 345 大的数? ⑹求三位数的和. 【解析】 本题属带有限制条件的排列问题,利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题,但需考虑特殊位 置和特殊元素. (1)因为万位上的数字不能是 0 ,所以万位上的数字的排法有 P22 种,其余四位上的排法有 P54 种,
1 所以,共可组成 P5 P54 ? 600 个五位数.

(2)组成的正整数,可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数,相应的排法依次有
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P1,P1P1,P1P2,P1P3,P1P4 ,51P5 , P 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

所以,可组成 P1 ? P1P1 ? P1P2 ? P1P3 ? P1P4 ? P1P5 ? 1 630 个正整数. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
1, 5 (3)首位与个位的位置是特殊位置, 0,3,是特殊元素,先选个位数字,有 P31 种不同的选法;再考

虑首位,有 P41 种不同的选法;其余四个位置的排法有 P44 种. 所以,能组成 P1P41P44 ? 288 个六位奇数. 3 (4)能被 255 整除的四位数的特殊是末两位数是 25 或 50 ,这两种形式的四位数依次是 P31 ?P51 和 P42 个. 所以,能组成 P1P1 ? P42 ? 21 个能被 25 整除的四位数. 3 3 (5)因为 210 345 除首位数字 2 以外,其余 5 个数字顺次递增排列,所以,210 345 是首位数是 2 的 没有重复数字的最小六位数,比它小的六位数是首位数为 2 的没有重复数字的最小六位数.比它小
1, 3, 5 的六位数是首位数为 1 的六位数,共有 P55 个,而由 0,2, 4,组成的六位数有 P66 ? P55 个.

所以,大于 210 345 的没有重复数字的六位数共有 P66 ? P55)-P55 ? 1 ? 479 (个) (
1 1, 3, 5 (6)由 0,2,4,组成无重复数字的三位数共有 P5 ?P52 ? 100 (个).

1 1 个位数字是 1 的三位数有 P4 P4 ? 16 (个) ,同理个位数字是 2、3、4、5 的三位数都各有 16 个,所以,

1 1 1 1 个位数字的和是 P4 P4 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ;同样十位上是数字 1、2、3、4、5 的三位数也都各有 P4 P4 个,

1 1 这些数字的和为 P4 P4 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ?10 ;百位上是数字 1、2、3、4、5 的三位数都各自有 P52 个,

这些数字的和为 P52 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ?100 . 所以,这 100 个三位数的和为
1 1 1 1 P32 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4) ?100 ? P4 P4 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ?10 ? P4 P4 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ?

1 1 1 1 (P52 ?100 ? P4 P4 ?10 ? P4 P4 ) ? 32640

【例 39】 由 0,2,5,6,7,8 组成无重复数字的数. 级) (6 ⑴四位数有多少个? ⑵四位数奇数有多少个? ⑶四位数偶数有多少个? ⑷整数有多少个? ⑸是 5 的倍数的三位数有多少个?
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⑹是 25 的倍数的四位数有多少个? ⑺大于 5860 的四位数有多少个? ⑻小于 5860 的四位数有多少个? ⑼由小到大排列的四位数中,5607 是第几个数? ⑽由小到大排列的四位数中,第 128 个数是多少? 【解析】 ⑴ 5 ? P53 ? 300 (个) (或 P64 ? P53 ? 300 (个). ) P1
1 ⑵ 个位上只能是 5 或 7,0 不能作千位数字,有 2P4 ? P42 ? 96 (个) .

3 1 ⑶ 个位上只能是 0 或 2,6,8,个位上是 0 的有 A5 个,个位上的是 2,6,8 的有 3(P4 P42 ) 个,所以共

1 有 3(P4 ? P42 ) ? P53 ? 204 (个) .

1 1 1 1 1 1 1 ⑷ 包括一位数,二位数,…,六位数,共有 P6 ? P5 ? P5 ? P5 ? P52 ? P5 ? P53 ? P5 ? P54 ? P5 ? P55 ? 1631 (个) .

1 1 ⑸ 的倍数只能是个位上的 0 或 5 的数,共有 P52 ? P4 ? P4 ? 36 (个) 5 .

1 1 ⑹ 末两位数只能是 25,50,75,共有 P42 ? 2P3 ? P3 ? 30 (个) .

1 ⑺ 共有 3P53 ? 2P3 ? 1 ? 186 ? 1 ? 185 (个) .

1 ⑻ 共有 P53 ? 4P42 ? 2P3 ? 114 (个) ,或者从总数 300 中减去大于和等于 5860 的数的个数

300 ? 185 ? 1 ? 114 (个) .

⑼ 小于 5607 的四位数,即形如 2???, 50 ? ? , 52 ? ? , 5602 的数,共有 P53 ? 2P42 ? 1 ? 85 (个) . 所以,5607 是第 86 个数.
3 ⑽ 由小到大排列的四位数形如 2???, 5 ? ? ? ,各有 A5 ? 60 个,共 120 个;需再向后数 8 个, 602 ? ,

605 ? ,各有 P31 个,然后是 6072,6075,这样,6075 是第 120 ? 6 ? 2 ? 128 (个)数.

所以,6075 为所求的数. 【例 40】 ⑴从 1,2,?,8 中任取 3 个数组成无重复数字的三位数,共有多少个?(只要求列式) 级) (6 ⑵从 8 位候选人中任选三位分别任团支书,组织委员,宣传委员,共有多少种不同的选法? ⑶3 位同学坐 8 个座位,每个座位坐 1 人,共有几种坐法? ⑷8 个人坐 3 个座位,每个座位坐 1 人,共有多少种坐法? ⑸一火车站有 8 股车道,停放 3 列火车,有多少种不同的停放方法? ⑹8 种不同的菜籽,任选 3 种种在不同土质的三块土地上,有多少种不同的种法? 【解析】 ⑴ 按顺序,有百位、十位、个位三个位置,8 个数字(8 个元素)取出 3 个往上排,有 P83 种. ⑵ 种职务 3 个位置,从 8 位候选人(8 个元素)任取 3 位往上排,有 P83 种. 3
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⑶ 位同学看成是三个位置,任取 8 个座位号(8 个元素)中的 3 个往上排(座号找人) 3 ,每确定一种 号码即对应一种坐法,有 P83 种. ⑷ 个坐位排号 1,2,3 三个位置,从 8 人中任取 3 个往上排(人找座位) 3 ,有 P83 种. ⑸ 列火车编为 1,2,3 号,从 8 股车道中任取 3 股往上排,共有 P83 种. 3 ⑹ 土地编 1,2,3 号,从 8 种菜籽中任选 3 种往上排,有 P83 种. 【例 41】 现有男同学 3 人,女同学 4 人(女同学中有一人叫王红),从中选出男女同学各 2 人,分别参加数 学、英语、音乐、美术四个兴趣小组: 级) (6 (1)共有多少种选法? (2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种? (3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种? (4)参加数学小组的不是女同学王红,且参加美术小组的是女同学的选法有多少种? 【解析】 (1) 3 个男同学中选出 2 人, 从 有

3? 2 4?3 =3 种选法. 4 个女同学中选出 2 人, 从 有 =6 种选法. 在 2 2

四个人确定的情况下,参加四个不同的小组有 4×3×2×1=24 种选法. 3×6×24=432,所以共有 432 种选法. (2)在四个人确定的情况下,参加美术小组的是女同学时有 2×3×2×1=12 种选法. 3×6×12=216,所以其中参加美术小组的是女同学的选法有 216 种. (3)考虑参加数学小组的是王红时的选法,此时的问题相当于从 3 个男同学中选出 2 人,从 3 个女 同学中选出 1 人,3 个人参加 3 个小组时的选法. 3×3×3×2×1=54,所以参加数学小组的是王红时的选法有 54 种,432-54=378,所以参加数学小组的不 是女同学王红的选法有 378 种. (4)考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法,此时的问题相当于从 3 个男 同学中选出 2 人参加两个不同的小组,从 3 个女同学中选出 1 人参加美术小组时的选法. 3×2×3=18,所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有 18 种,216-18=198, 所以参加数学小组的不是女同学王红,且参加美术小组的是女同学的选法有 198 种.

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