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人教版数学选修4-5《不等式选讲》基础训练题[综合训练B组](含答案)


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数学选修 4-5 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A.

不等式选讲



x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

/>
C. tan ? ?

1 tan ?
y

D. 2 ? 2
x

?x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值是(
x



A. 3 3 9

B. 1 ? 2 2

C. 6

D. 7 )

3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B C. A ? B

x? y x y ? , B? ,则 A, B 的大小关系是( 1? x ? y 1? x 1? y

B. A ? B D. A ? B

4.若 x, y, a ? R? ,且 x ?

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
C. 1 D.



A.

2 2

B. 2

1 2

5.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4

) D. 6 )

6.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1)

[4,7)

B. (?2,1]

(4,7]

C. (?2, ?1] [4,7)

D. (?2,1] [4,7)

二、填空题 1.若 a ? b ? 0 ,则 a ?

1 的最小值是_____________。 b( a ? b)
a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n

2.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

2 2 3.已知 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 1,则 x ? y 的最大值等于_____________。

4.设 A ?

1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 2 2 ?1 2 ? 2

?

1 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 2 ?1
11

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5.函数 f ( x) ? 3 x ? 三、解答题

12 ( x ? 0) 的最小值为_____________。 x2
2 2 2

1.已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?

1 3

2.解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0

3.求证: a ? b ? ab ? a ? b ? 1
2 2

4.证明: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

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新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-5
一、选择题 1.D 2.D 3.B

不等式选讲

[基础训练 A 组]

2x ? 0, 2? x ? 0,? 2x ? 2? x ? 2 2x 2? x ? 2
3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ?3 y ?1 ? 7
B? x y x y x? y ? ? ? ? ? A ,即 A ? B 1? x 1? y 1? x ? y 1? y ? x 1? x ? y

4.B

x2 ? y 2 x ? y 2 ? ,即 x2 ? y 2 ? ( x ? y) , 2 2 2
? x? y ? 2 ( x ? y ) ,而 x ? y ? a x ? y , 2
1 1 2 ( x ? y ) 恒成立,得 ? ,即a ? 2 a a 2

即 x? y ? 5.A

y ? x ?4 ? x ?6 ? x ?4?6? x ? 2
? ??2 ? x ? 7 ? 2 x ? 5 ? 9 ??9 ? 2 x ? 5 ? 9 ?? ?? ,得 (?2,1] [4,7) ? ? ? 2 x ? 5 ? 3 ?2 x ? 5 ? 3, 或2 x ? 5 ? ?3 ? x ? 4, 或x ? 1

6.D

二、填空题 1. 3

(a ? b) ? b ?

1 1 ? 3 3 (a ? b) ? b ? ?3 b(a ? b) b(a ? b)

2.

b b?m a?n a b b? m ? ? ? ? 1, 由糖水浓度不等式知 ? a a?m b?n b a a? m b b?n a a?n a?n a ? 1 ,得 ? ? 1 ,即 1 ? ? 且 ? a a?n b b?n b?n b

3. 2 4. A ? 1

x? y ? 2

x2 ? y 2 , x ? y ? 2 x2 ? y 2 ? 2 2

A?

1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 2 2 ?1 2 ? 2

?

1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 ? 2 ?1 2 2 2
11 210 个

?

1 ?1 210

5. 9

12 3 x 3 x 1 2 3 x3 x3 1 2 f ( x)? 3x? 2 ? ? ?2 ? 3 ? ? 9 ? x 2 2 x 2 2 x2

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三、解答题 1.证明:

a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? (2ab ? 2bc ? 2ac) ? (a ? b ? c)2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 )

2 ?3 ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (a ? b ? c ) ?1

? a 2 ? b 2 ? c 2?
2 2 2

1 3

1 ( a ? b ? c) 2 2 2 2 另法一: a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? 3 3
1 ? (2 a2 ? 2 b2 ? 2 c2 ? 2 a b ? 2b c? 2 a c) 3 1 2 ? [ (a ? b 2 ) ?( b ? c2) ? (a ? c ) ]? 0 3
? a 2 ? b 2 ? c 2?
另法二:

1 3

(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1
2 2 2

即3( a2 ? b 2 ? c 2 ) ? , 1 ?a ? b ? c ?

1 3

2.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 当x?

4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

得 x ? 5?

2 4 2 ,即 ? x ? 5 ? ; 2 3 2
4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

当 ?7 ? x ? 得x??

1 2 1 2 4 ? ,即 ? ? ?x? ; 2 4 2 4 3

当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得 x ? 6?

2 ,与 x ? ?7 矛盾; 2 1 2 2 ? ? x ? 5? 2 4 2

所以解为 ?

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3.证明:

(a2 ? b2 ) ? (ab ? a ? b ?1)
? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1 1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b ? 2) 2 1 2 ? [(a ? 2ab ? b 2 ) ? (a 2 ? 2a ? 1) ? (b 2 ? 2b ? 1)] 2 1 ? [(a ? b)2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ] ? 0 2

? a 2 ? b2 ? ab ? a ? b ? 1
4.证明:

1 1 1 ? ? k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k ?2 ( k ? 1 ? k ) ? 1 k ? 2 (k ? k ?1 )

? 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

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