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浙江省宁波市三校联考2012-2013学年高二上学期数学理期末试卷


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浙江省宁波市三校联考 2012-2013 学年高二上学期数学理期末试卷
一:选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,共 50 分) 。 1. 双曲线 m x 2 +y 2 =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m= A.

2. 点 A. ( )

1 4

B.-4

C.4

D. -

1 4
平面上的射影点分别为( 、 ).

在 x 轴上的射影和在 、 B.

C. 、 D. 、 3.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 ) ,则该几何体的表面积及体积为:

A C

, ,

B D

, 以上都不正确 )

4. 与圆(x-3) 2 +(y-3) 2 =8 相切,且在 x 轴、y 轴上截距相等的直线共有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

5. 平面内有一固定线段 AB, AB =4, 动点 P 满足 PA — PB =3, 为 AB 中点, OP 的 O 则 最小值为 A.3 B.2 C. ( )

3 2

D.1

2 2 6.设 x,y ? R,则 x +y ? 1 是 x + y ?

2 成立的





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+y -5=0 在第一象限内的部分有交点, k 则 的取值范围是 A.0<k< 5 B.- 5 <K<0 C.0<k< 13 D.0<k<5 ) ( )
2 2

8.平面内有一长度为 4 的线段 AB, 动点 P 满足 PA + PB =6, PA 的取值范围是 ( 则 A. ?1,5? B. ?1,6? C. ?2,5? D. ?2,6?

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9.若 l 为一条直线, ? 、 ? 、 ? 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①

? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ;② ? ? ? , ? ‖ ? ? ? ? ? ;

③l‖ ? ,l‖ ? ? ? ? ? 其中正确的命题有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.设 A、B、C、D 是半径为 r 的球面上的四点,且满足 AB ? AC,AD ? AC,AB ? AD,则 S ?ABC +S ?ABD +S ?ACD 的最大值是 A. r 2 B.2 r 2 C.3 r 2 ( D.4 r 2 )

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 一个直径为 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 厘

米则此球的半径为_________厘米。 12. 三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC=2,AB ? BC,AB=1,BC= 3 ,则点 P 到平面 ABC 的距 离为 。 13. 过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时, 直线 l 的斜率 k= 。 14. 若直线 2ax-by+2=0(a,b ? R)始终平分圆 x +y +2x-4y+1=0 的周长,则 ab 的
2 2

取值范围是

。 。

15. 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, 1 ? A 1 C, BC 1 ? AB 1 ,那么 ? ABC 的形状可能是 BC (将所有正确的序号全填上) ①正三角形 ②直角三角形 ③等腰三角形 16.已知中心在原点的椭圆经过(2,1)点,则该椭圆的半长轴长的取值范围是
2



17.一个正三角形的两个顶点在抛物线 y =ax 上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角形 的面积为 36 3 ,则 a= 。

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三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程。 18.(14分) 如图,在四边形 , 中, ,求四边形 绕 , , ,

旋转一周所成几何体的表面积及体积

19.(14 分)如图,在平面直角坐标系中,N 为圆 A: ( x ? 1) ? y ? 16 上的一动点,点 B
2 2

(1,0) ,点 M 是 BN 中点,点 P 在线段 AN 上,且 MP ? BN ? 0. (I)求动点 P 的轨迹方程; (II)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x ? y =4 的位置关系,并说明理由.
2 2

20.(14 分)如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧上一 2 4

点,并满足 PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△ PAB 面积的最大值。

y A F1 B O F2 x P

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21.(15 分)20.如图,在正方形 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 中,E 为 AB 中点, D1 (1)求 AD 和 B 1 C 所成的角; A1 (2)证明:平面 EB 1 D ? 平面 B 1 CD; (3)求二面角 E-B 1 C-D 的余弦值 A D B B1

C1

C

E

22(15 分)已知直线 l 经过点(0,

5 3 )和(— ,2) ,抛物线 C:y 2 =2px(p>0)的顶点关 4 2

于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上。 (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 A、B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m,直线 OB 与直线 m 交 于点 N。若 OA ? OB +p 2 =0(O 为原点,A、B 异于原点),试求点 N 的轨迹方程。

浙江省宁波市三校联考 2012-2013 学年高二上学期数学理期末试卷

答案
1D2B3A4D5C6A7A8A9B10B 11:12 12: 3

13:

2 2

14:12 15:①②③ 16:( 5 ,+ ? ) 17:2 3 或-2 3 18 :

(7分)

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(7分)

19: (I)解:由点 M 是 BN 中点,又 MP ? BN ? 0 ,
可知 PM 垂直平分 BN.所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|, 所以|PA|+|PB|=4. 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

由 2a=4,2c=2,可得 a2=4,b2=3. 可知动点 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1. (6 分) 4 3

(II)解:设点 P( x0 , y 0 ), PB 的中点为 Q,则 Q(

x0 ? 1 y 0 , ), 2 2
1 2 1 x0 ? 2 x0 ? 4 ? 2 ? x0 , 4 2

2 2 | PB |? ( x0 ? 1) 2 ? y 0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? 3 ?

3 2 x0 ? 4

即以 PB 为直径的圆的圆心为 Q(
2 2

x0 ? 1 y 0 1 , ) ,半径为 r1 ? 1 ? x0 , 2 2 4

又圆 x ? y ? 4 的圆心为 O(0,0) ,半径 r2=2, 又 | OQ |? ( =1 ?

x0 ? 1 2 y ) ? ( 0 )2 ? 2 2

1 2 1 1 1 3 2 1 2 1 x0 ? x0 ? ? (3 ? x0 ) ? x0 ? x0 ? 1 4 2 4 4 4 16 2

1 x 0 ,故|OQ|=r2-r1,即两圆内切 :(8 分) 4

20: 解: (1)由题可得 F1 (0, 2 ) , F2 (0 ? 2 ) ,设 P0 ( x0 , y 0 ) ( x0 ? 0, y 0 ? 0) 则 PF1 ? (? x 0 , 2 ? y 0 ) , PF1 ? (? x0 ,? 2 ? y0 ) ,
2 2 ∴ PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则

2 2 2 x0 y 0 4 ? y0 2 ? ? 1 ,∴ x0 ? , 2 4 2

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,得 y0 ? 2 .则点 P 的坐标为 (1, 2 ) (4 分) 2 (2)由题意知,两直线 PA.PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k (k ? 0) ,

从而

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? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 则 BP 的直线方程为: y ? 2k ( x ? 1) .由 ? x 2 y 2 得 ( 2 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ?1 ? ? ?2 4 2k (k ? 2 ) 2k ( k ? 2 ) k 2 ? 2 2k ? 2 ? ( 2 ? k ) 2 ? 4 ? 0 ,设 B( xB , y B ) ,则 1 ? xB ? , , xB ? ?1 ? 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2 k 2 ? 2 2k ? 2) 4 2k 同理可得 x A ? ,则 x A ? xB ? , y 2 ? k2 2 ? k2 A 8k P y A ? y B ? ?k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ? F1 2 ? k2 y ? yB B 所以:AB 的斜率 k AB ? A ? 2 为定值 (5 分) x A ? xB O

x

(3)设 AB 的直线方程: y ? 2 x ? m .
?y ? 2x ? m ? 由 ? x2 y2 ,得 4 x 2 ? 2 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 , ?1 ? ? ?2 4
F2

由 ? ? (2 2m) 2 ? 16(m 2 ? 4) ? 0 ,得 ? 2 2 ? m ? 2 2 P 到 AB 的距离为 d ? 则 S ?PAB ?
?
|m| 1 1 1 | AB | ?d ? (4 ? m 2 ) ? 3 ? 2 2 2 3

|m| , 3

1 2 1 m2 ? m2 ? 8 2 m (?m 2 ? 8) ? ( ) ? 2。 8 8 2 当且仅当 m ? ?2 ? ? 2 2 ,2 2 取等号∴三角形 PAB 面积的最大值为 2 。 (5 分)

?

?

21.(1)AD‖BC,?AD 与 B 1 C 所成的角为 ? B 1 CB,? ? B 1 CB=45 0 ,? AD 与 B 1 C 所成的 角为 45 。 分) (5 (2)设正方体棱长为 2,以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系。 取 B 1 D 的中点 F,连 EF。
0

? EF =(-1,0,1), DC =(0,2,0), CB1 =(2,0,2) ? EF ? DC =0, EF ? CB1 =0

?EF ? 平面 B 1 CD,又?EF ? 平面 EB 1 D?平面 EB 1 D ? 平面 B 1 CD。(5 分)
(3)设平面 B 1 CD 的一个法向量 m =(1,a,b) 由 m ? DC =0 和 m ? CB1 =0 解得 m =(1,0,-1) 设平面 EB 1 D 的一个法向量 n =(1,a,b) 由 n ? EC =0 和 n ? CB1 =0 解得 n =(1,2,-1)

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?cos
m ,n =

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(5 分)

3 3

22: (1)l 的方程为 y=

1 5 x+ ① 2 4

过原点垂直于 l 的直线方程为 y=-2x② 由① ②得 x=-

?原点的对称点横坐标 x=-1 p ?- =-1,2p=4?抛物线方程为:y 2 =4x 2
(2)设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),N(x,y) 由题意知 y=y 1 和 x 1 x 2 +y 1 y 2 +p 2 =0 且 y 1 2 =4 x 1 ,y 2 y 1 y 2 =-8 再由 y=y 1 ,直线 ON 方程为 y=
2

1 2

(6 分)

=4 x 2 解得

4 x 可得 y2
(9 分)

点 N 的轨迹方程为 x=-2(y ? 0)

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