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山东高考2009-2013五年数学圆锥曲线压轴大题


2009 年
22. (本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ? 1) , a ? b ,动 点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?

?

?


?

?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个 4

交点 A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共 4

点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

答案:22. 解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , 所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 ,

?

? ?

?

? ?

即 mx 2 ? y 2 ? 1 .

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线.

1 x2 ? y 2 ? 1,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t , 时, 轨迹 E 的方程为 4 4 ? y ? kx ? t ? 解方程组 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 ,即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
(2).当 m ? 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k t ?16(1 ? 4k )(t ?1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1 ,
2 2 2 2

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
要使 OA ? OB , 需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即
2 2 2 2

k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? ? t2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

??? ?

??? ?

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2 2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 , 即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1 , 即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立. 所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

4 (1 ? k 2 ) 4 t2 4 所以圆的半径为 r ? , r2 ? ?5 ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k 2
t
当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?

2 2 2 x2 5 ,与 5) 或 ? y 2 ? 1 交 于 点 ( 5 ,? 5 5 5 4

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5
2 2

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? A,B,且 OA ? OB .

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 5

??? ?

??? ?

1 x2 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 时,轨迹 E 的方程为 4 4 t C: x 2 ? y 2 ? R2 (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ? , 即 t 2 ? R2 (1 ? k 2 ) ① 2 1? k
(3)当 m ? 因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

? y ? kx ? t ? 由(2)知 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

则△= 64k t ?16(1 ? 4k )(t ?1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 ? t ? 4 ? R2 ? 由① 得 ? ② , 此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点, 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2
8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 2 ? 由? 中 x1 ? x 2 ,所以, x1 ? , 2 1 ? 4k 2 3R 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 ? 1 ?
2

4 1 2 4 ? R2 2 2 2 x1 ? ,所以 | OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 R 4 3R
2 2 2

在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1 B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ?

4 4 ? R2 ? 5 ? ( 2 ? R2 ) 因 为 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 R2
当 R ? 2 ? (1,2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可 以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

2010
(22) (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过点. a 2 b2

(1,

2 2 ,左、右焦点分别为 ) ,离心率为 2 2

F1 、 F2 .点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的
任意 一 点 , 直 线 PF1 和 PF2 与 椭 圆 的 交 点 分 别 为

A、B
和 C 、 D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k2 . (i)证明:

1 3 ? ?2; k1 k2

(ii)问直线 l 上是否存在点 P ,使得直线 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的斜率

kOA 、 kOB 、 kOC 、 kOD 满足 kOA ? kOB ? k OC ? k OD ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点
P 的坐标;若不存在,说明理由.
答案:22. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的基本概念和性质,考查直线与椭圆的位置 关系,考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。 【解析】 (Ⅰ)解:因为椭圆过点(1,

2 2 ) ,e= , 2 2

1 1 c 2 ? 2 ? 1, ? . 2 a 2b a 2 2 2 2 又a ?b ?c ,
所以 所以 a ? 2,b ? 1 c ? 1 , 故 所求椭圆方程为 (II) (1)证明:

x2 ? y 2 ? 1. 2

方法二:

设P(x0 , y0) k1 ? ,则

y0 y , k2 ? 0 x0 ? 1 x0 ? 1

因为点 P 不在 x 轴上,所以 又

y0 ? 0

x0 ? y0 ? 2

3 ) 1 3 x0 ? 1 (x0 ? 1 4 ? 2 x0 2 y0 ? ? ? ? ? ?2 k1 k2 y0 y0 y0 y0 所以

因此结论成立 (ⅱ)解:设 A( xA , yA ) , B( xB , yB ) , C ( xC , yC ) , D( xD , yD ) .

2 xc ? 0, xD ? 0, k2 ? 0,1, kOC ? kOD ? ?

故 kOA ? kOB ? kOC ? kOD

2k2 2 k2 ? 1 k k ?( 21 ? 22 ) k1 ? 1 k2 ? 1

2 k1k2 ? k1 ? k12 k2 ? k2 2 (k12 ? 1)(k2 ? 1) 2(k k ? 1)(k1 ? k2 ) ? ? 122 2 (k1 ? 1)(k2 ? 1)

? ?2

若 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 ,须有 k1 ? k2 =0 或 k1k2 =1. ① 当 k1 ? k2 =0 时,结合(ⅰ)的结论,可得 k2 =-2,所以解得点 P 的坐标为(0, 2) ; ② 当 k1k2 =1 时,结合(ⅰ)的结论,可得 k2 =3 或 k2 =-1(此时 k1 =-1,不满足 k1 ≠ k2 ,舍去 ) ,此时直线 CD 的方程为 y ? 3( x ? 1) ,联立方程 x ? y ? 2 得 x ?

5 , 4

y?

3 4

因此

5 3 P( , ) . 4 4 5 3 , ) 。 4 4

综上所述,满足条件的点 P 的坐标分别为 (0, 2) , (

2011
22、 (本小题满分 14 分)

x2 ? y 2 ? 1. 如图所示,斜率为 k (k ? 0) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 3 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE
交椭圆 C 于点 G ,交直线 G D -3 B
y

x ? ?3 于点 D(?3, m) .
(Ⅰ )求 m ? k 的最小值;
2 2

l
A

(Ⅱ )若 OG 2 ? OD ?OE (1)求证:直线 l 过定点;

x

(2)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ?ABG 的外接圆 方程;若不能,请说明理由. 22.【解析】考查椭圆的概念性质,直线和椭圆的关系,考查探究、计算推理能力,难题。 解: )由题意:设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) , (Ⅰ

? y ? kx ? n ? 2 2 2 由 ? x2 消 y 得: (1 ? 3k ) x ? 6knx ? 3n ? 3 ? 0 ,设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中 2 ? ? y ?1 ?3
点 E

( x0 , y0 )

,















:

x1 ? x2

=

?6 kn 1 ? 3k 2

,



x0 ?
E(

n ?3kn ?3kn ?k ? n ? , y0 ? kx0 ? n ? , 所 以 中 点 E 的 坐 标 为 2 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?3kn n , ) , 因 为 O 、 E 、 D 三 点 在 同 一 直 线 上 , 所 以 kOE ? KOD , 即 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

?

1 m ? ? ,解得 3k 3
1 1 2 2 2 2 2 ,所以 m ? k = 2 ? k ? 2 ,当且仅当 k ? 1 时取等号,即 m ? k 的最小值为 2. k k

m?

m ? ?y ? ? 3 x m ? (Ⅱ (i)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y ? ? x ,所以由 ? 2 ) 得交 3 x 2 ? ? y ?1 ?3 ?
点 G 的纵坐标为 yG ? 以

n m2 2 ,又因为 y E ? , yD ? m ,且 OG ? OD ? OE ,所 2 2 1 ? 3k m ?3

m2 n 1 ? m? , 又 由 ( Ⅰ) 知 : m ? , 所 以 解 得 k ? n , 所 以 直 线 l 的 方 程 为 2 2 k m ?3 1 ? 3k

l : y ? kx ? k ,即有 l : y ? k ( x ? 1) ,令 x ? ?1 得,y=0,与实数 k 无关,所以直线 l 过定点(-1,0).
(ii)假设点 B , G 关于 x 轴对称,则有 ? ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,又在线段 AB 的中 垂线上, 由(i)知点 G( (

?3 m ?3
2

,

m m ?3
2

) ,所以点 B( (

?3 m ?3
2

,

?m m2 ? 3

) ,又因为直线 l 过定点

?m
(-1,0),所以直线 l 的斜率为

m 2 ? 3 ? k ,又因为 m ? 1 ,所以解得 m2 ? 1 或 6,又因 ?3 k ?1 2 m ?3
?3 1 , ) ,AB 的中垂线为 4 4

2 2 2 为 3 ? m ? 0 ,所以 m ? 6 舍去,即 n ? 1 ,此时 k=1,m=1,E (

2x+2y+1=0 , 圆 心 坐 标 为 (? , 0) , G( (

1 2

?3 1 5 , ) ,圆半径为 ,圆的方程为 2 2 2

1 5 ( x ? ) 2 ? y 2 ? .综上所述, 点 B , G 关于 x 轴对称,此时 ? ABG 的外接圆的方程为 2 4 1 5 ( x ? )2 ? y 2 ? . 2 4

2012
(21) (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 M :
3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点
P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T .求

| PQ | 的 | ST |

最大值及取得最大值时 m 的值.

答案:(21)(I) e ?

c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ……① a 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ……② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , y ? x ? m, ?

8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 ? 5 ?
2

当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,
[来源:学科网]

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t
| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5. | ST | 5

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

2013
22. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为

2 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) A , B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为

6 的任意两点, E 为线段 AB 的中点, 4

射线 OE 交椭圆 C 于点 P .设 OP ? t OE ,求实数 t 的值.


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