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高二数学知双曲线练习题双曲线测试卷 (2)


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双曲线

能力提高练习 ( D.
1 1 + 2 =1 2 e1 e2

一、选择题 1.共轭双曲线的离心率分别为 e1 和 e2,那么必有 A.e1=e2 B.e1·e2=1 C.
1 1 + =1 e1 e 2



? 2.双曲

线的离心率为 2,则它的两条渐近线之间的夹角θ (θ ∈[0, ])为 ( ) 2 ? ? ? ? A. B. C. D. 2 3 4 6 3.双曲线 3mx2-my2=3 的一个焦点是(0,2) ,则 m 的值是 ( )

A.1

B.-1

C.

10 2

D.-

10 2

4.若方程 ax2-by2=1、 ax2-by2=λ (a>0,b>0,λ >0,λ ≠1)分别表示两圆锥曲线 C1、C2,则C1、与C2有相同的 ( ) A.顶点 B.焦点 C.准线 D.离心率 5.双曲线 A.-
x 2 y2 ? =1的右准线与渐近线在第四象限的交点和右焦点连线的斜率是( 16 9



5 3 4 3 B. C. D. 3 5 3 4 6.过双曲线 x2-y2=4上任一点M(x0,y0)作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N,O是 坐标原点,则Δ MON的面积是 ( ) A.1 B.2 C.4 D.不确定

7.设双曲线

x 2 y2 ? =1(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线相交于A、B两点,相 a 2 b2

应的焦点为F,以AB为直径的圆恰过点F,则该双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C.2

) D. (
2 3 3

8.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的范围是 A. (15 15 , ) 3 3



B. (0,

15 ) 3

C. (-

15 15 ,0) D. (,-1) 3 3

9.已知平面内有一定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 的中点,则|PO| 的最小值为 ( ) 3 A.1 B. C.2 D.3 2 10 . 以 椭 圆
x2 y2 x 2 y2 + =1 的 右 焦 点 为 圆 心 , 且 与 双 曲 线 =1 的 渐 近 线 相 切 的 圆 的 方 程 为 169 144 16 9
2 2

A.x +y -10x+9=0 B.x +y -10x-9=0
妈,我冷!

2

2

( ) C.x +y +10x-9=0 D.x2+y2+10x+9=0
2 2

1

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11.与双曲线

x 2 y2 ? =1有共同的渐近线,且经过点A(-3,3 2 )的双曲线的一个焦点到一条渐 9 16

近线的距离是 A .8

( B.4 C.2

) D.1

12.已知两点 M(0,1) 、N(10,1) ,给出下列直线方程:①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0; ④4x-y-14=0 在直线上存在点 P 满足|MP|=|NP|+6 的所有直线方程是( A.①②③ 二、填空题 13.已知点 P 在双曲线
x 2 y2 =1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个 16 9

) D.②③

B.②④

C.①③

焦点的距离的等差中项,那么 P 的横坐标是 14.已知椭圆



x 2 y2 x 2 y2 + =1 与双曲线 =1(m、n、p、q∈R+)有共同的焦点 F1、F2,P 是椭圆和双曲线 m n p q

的一个交点,则|PF1||PF2|=



x 2 y2 15.P 是双曲线 2 - 2 =1 上的一点,F1、F2 是它的两个焦点,若∠PF1F2=150,∠PF2F1=750,则双曲线的 b a

离心率为



16.设F1、F2是双曲线 x2-y2=4 的两焦点,Q是双曲线上任意一点,从F1引∠F1QF2平分线的垂 线,垂足为P,则点P的轨迹方程是 .

三、解答题 17.已知直线 l 与圆 x2+y2+2x=0 相切于点T,且与双曲线 x2-y2=1 相交于A、B两点,若T是线段 AB的中点,求直线 l 的方程.

妈,我冷!

2

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18.直线 y=kx+1 与双曲线 3x -y =1 相交于不同二点 A、B. (1) 求 k 的取值范围; (2) 若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,求该圆的半径.

2

2

19.已知圆(x+4) 切.

2

+y =25 圆心为 M 1 , (x-4)

2

2

+y =1 的圆心为 M 2 ,一动圆与这两个圆都外

2

(1)求动圆圆心的轨迹方程; (2)若过点 M 2 的直线与(1)中所求轨迹有两个交点 A、B,求| M 1 A|·| M 2 B|取值范围.

20.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过点 A(5 2 ,-12) ,双曲线的一条渐近线平行于 直线 12x-5y+35=0. (1) 求双曲线的标准方程. (2) 若 F1、F2 为此双曲线的左、右焦点,l 为左准线,能否在此双曲线左支上求一点 P,使|PF1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项?若能够,则求出点 P 的坐标;若不能够,说明理由.

妈,我冷!

3

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21.A、B、C 三点是我方三个炮兵阵地,A 在 B 的正东,距 B6 千米;C 在 B 的北偏西 300,距 B4 千米;P 点为敌炮阵地,某时刻 A 发现敌炮阵地的某种信号,而 4 秒后,B、C 才同时发现这一信号(已知该种信 号传播速度为 1 千米/秒) ,若 A 炮击 P 地,求炮击的方位角和炮击距离.

22.已知定直线 l1:y=kx,l2:y=-kx(k 为非零常数),定点 A(1,0) ,P 是位于∠MON 内部的动点(如 图) ,过 A 作 l1、l2 的两条平行线与射线 OP 分别交于 Q、R 两点,且有关系|OP|2=|OR|·|OQ|. (1) 求动点 P 的轨迹; 1 (2) 求这样的点 P,它在(1)的轨迹上,且使Δ AQR 的面积等于 |k|. 4

妈,我冷!

4

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双曲线单元训练 参考答案 一、D B B D C A A D B A C D 二、13. 64
5

14.4(m-p)

15. 2

16. x 2 ? y 2 ? 4

三、17.解:显然,直线 l 与 x 轴不平行,因此,可设 l:x=ky+a,代入 x2-y2=1,得(k2-1)y2+ 2kay+a2-1=0.显然 k2-1≠0,则 yT= y A ? y B
2 ?? ka ,从而 xT=kyT+a=- a ,∴T(- a ,- k2 ?1 k2 ?1 k2 ?1

2 2 ka ) ka ) . ∵点T在圆 x2+y2+2x=0 上, ∴ (- a ) + (- 2 - 2a =0, 即 k2=a+2 2 k ?1 k ?1 k ?1 k2 ?1
2

①. 易

知已知圆的圆心为O/(-1,0) ,由O/T⊥l,得 k O/ T =- 1 ,由此可得 k=0,或 k2=2a+1.当
kl

k=0 时,由①得 a=-2,则 l:x=-2;当 k2=2a+1 时,由①得 a=1,k=± 3 ,则 l:x=± +1.故 l: x=-2 或 x=± 3 y+1.

3y

18 . 解 : ( 1 ) 当 k=0 时 , y=1 与 3x2-y2=1 有 二 公 共 点 ; 若 k ≠ 0 , 则 x= 1 (y-1) 代 入 3x2-y2=1 有
k

(3-k )y -6y+3-k =0,显然 k =3 时,直线与双曲线渐近线平行,无二公共点,所以 k2≠3.由 y∈R, 所以Δ =36-4(3-k2)2≥0,所以 0<k2<6,且 k2≠3.综合知 k≠(- 6 , 6 )且 k≠± 3 时,直线与双曲 线交于二点,反之亦然. ( 2) 设 A(x1, y1)、 B(x2, y2), 消去 y, 得(3-k2)x2-2kx-2=0 的二根为 x1、 x2, 所以 x1+x2=
2

2

2

2

2

2k 3 ? k2

, x1x2= ? 2 2 ,
3?k

由(1)知 y1y2=1,因为圆过原点,以 AB 为直径,所以 x1x2+y1y2=0,所以 k =1,即 k=±1 为所求的值. 19.解: (1)∵|P M 1 |-5=|PM 2 |-1,∴|P M 1 |-|PM 2 |=4,∴动点P的轨迹是以 M 1 、 M 2 为焦点的双曲线的右支,其方程为 x ? y =1(x≥2) .
2 2

4

12

(2)利用双曲线的第二定义,得| M 1 A|·| M 2 B|≥100. 20.解: (1)双曲线的方程为 x - y =1;
2
2

25

144
1

(2) 假设满足题意的点 P 存在, 设 P(x0, y0)(x0<-5), ∴|PF1|2=d|PF2|, 又|PF2|-|PF1|=10, e= 13 , ∴ | P F | =e,
5
d

即|PF1|= 13 d,∴( 13 d)2=d(10+ 13 d),解之,d= 125 .∵左准线 l 的方程 x=- 25 ,∴d=|x0-(- 25 )|= 125 ,
5 5 5
52 13 13 52

∴x0=- 225 >-5,与 x0<-5 矛盾,∴这样的点 P 不存在.
52

21.解:建立如图所示的直角坐标系,其中 O 为 AB 中点,以千米为单位,依题意,PB-PA=4,A(3,0) , B(-3,0) ,所以 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为 x - y =1,又 P 在 BC 的中
2

2

4

5

垂线上,由 C(-5,2 3 ) ,得 BC 中垂线方程为 y即 x= 3 y-7.由 ?x ?
2

3 = 3 (x+4),
3

3 y ? 7,

有 P(8,5

,所以 PA 3)

5x ? 4 y 2 ? 20( x ? 0)

直线斜率 k= 5
妈,我冷!

3?0 = 8?3

, 3 ,即∠Pax= ? ,且|PA|=10(千米)
3

5

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所以炮击方位角为 A 点的东偏北 60 ,炮击距离为 10 千米. 22.解:(1)设 P(x0,y0),则射线 OP 的方程为 y= y 0 x(x≥0),AQ 的方程为 y=k(x-1),AR 的方程为
x0

0

y=-k(x-1). 由? 由 ·

?y ? k ( x ? 1), 消去 y 得 xQ= x 0 k y0 ? x 0k ? y0 y ? x , ? x0 ?

. 同法可得 xR= x 0 k . 由于|OP|2=|OQ|· |OR|等价于 xP2=xQ· xR,
x 0k ? y0

x 0k x 0k ? y0

2 x 0 k =x02, 得 x02(x02k2-y02-k2)=0, ∵x0≠0, ∴x02k2-y02-k2=0, 即点 P 的轨迹方程是 x2- y k2 x 0k ? y0

=1(x>0).

(2)|OR|=
| y0 | ? x 0 ? y0 |k|
2

[1 ? (

y0 2 ) ][(x R ? x Q ) 2 ? 4x R x Q ] x0

=

2 | y0 | 2 2 ? x 0 ? y0 |k|

, 又 A 点 到 OP 的 距 离 h=
1 4

| y0 | x 0 ? y0
2 2

,依题意:

2

·

| y0 | x 0 ? y0
2 2

= 1 |k|,∴y0=± 1 |k|,x0=
4

2

1?

= 5 ,∴点 P 的坐标为 P( 5 ,± 1 |k|) .
2
2

2

妈,我冷!

6


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