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东海中学高二数学(下)期末模拟试题二


东海中学高二数学(下)期末模拟试题二
一、选择题(5? 12=60 分) 1、过曲线 y ? x 3 ? x ? 2 上的点 P0 的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则切点 P0 的坐标为
A.(0,-1)或(1,0) 或(2,8) B. (1,0)或(-1, -4) C. (-1, -4)或(0,-2) D. (1,0)

2、

设 (1 ? x) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? an x n (n ? 3, 且n ? Z ) ,若

a2 1 ? ,则 n 的值为 a3 3

A.11 B. 13 C. 15 D. 16 3、已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,给出下列四个命题

①若m⊥?,m⊥?,则?∥? ; ②若m ? ?,n ? ?,m∥n,则?∥? ③若m∥n,m⊥?,则n⊥? ; ④若m⊥?,m ? ?,则?⊥?
其中正确命题的个数为 A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4、甲、乙两棉农,统计连续五年的面积产量(千克∕亩)如下表: 棉农甲 68 72 70 69 71 棉农乙 69 71 68 68 69 则平均产量较高与产量较稳定的分别是 A.棉农甲,棉农甲 B.棉农甲,棉农乙 C.棉农乙,棉农甲 D.棉农乙,棉农乙 5、若 1 - 6 x + 15 x - 20 x + 15 x - 6 x + x ( x 危 N 且 x 21) 的值能被 5 整除,则 x 的 可取值的个数有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2 3 4 5 6

6、 三棱锥 A-BCD 的高 AH ? 3 3a , 若 AB=AC, 二面角 A-BC-D 为 60°, G 为 ?ABC 的 重心,则 HG 之长为 A. 10a B. 7a C. 6a D. 5a 7、 )某校有 6 间不同的阅览室,每天晚上至少开放 2 间,欲求不同安排方法的种数,现有 下列四个结果,其中正确的是 ① C6
2

② C6 ? 2C6 ? C6 ? C6
3 4 5

6

③2 ? 7
6

④ A6

2

A. ①和②

B. ②

C. ②和③

D. ③和④

8、已知 10 个产品中有 3 个次品,现从其中抽出若干个产品,要使这 3 个次品全部被抽出 的概率不小于 0.6,则至少应抽出产品 D C A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 A B 9、如右图所示,在单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1
1 1 1 1

的面对角线 A1 B 上存在一点 P 使得 AP ? D1 P 最 短,则 AP + D1 P 的最小值为 A.2
D P A B C

2? 6 B. 2

C. 2 ?

2

D.

2? 2

10、 .如图所示,断开一些开关使 A 到 B 的电路不通的不同方法共有 A.6 种 B.8 种 C.11 种 D.12 种

11、一个单位有职工 80 人,其中业务人员 56 人,管理人员 8 人,服务人员 16 人,为了 解职工的某种情况,决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为 10 的样本,每个管理人 员被抽到的概率为 (A)

1 80

(B)

1 24

(C)

1 8

(D)

1 4

12、有 7 名同学站成一排照毕业照,其中甲必须站在中间,并且乙、丙两位同学要站在一 起,则不同的站法有 (A)240 (B)192 (C)96 (D)48

二、填空题(4? 5 =20 分)
13、一工厂生产了某种产品 180 件,它们来自甲、乙、丙 3 条生产线,为检查这批产品的 质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数 组成一个等差数列,则乙生产线生产了 件产品. 14、有甲、乙、丙三项任务,甲需要 2 人去完成,乙、丙各需要 1 人去完成,现从 10 人 中选派 4 人去完成这三项任务, 不同的选派方法共有______________种 (用数字作答) 15、已知诸葛亮解出某问题的概率为 0.8,臭皮匠老大、老二和老三解出该问题的概率分 别为 0.5、0.45、0.4,且每个人必须独立解题,则三个臭皮匠中至少有一人解出该问题的 概率是_____________. 16、当 x ? [ 1, 2] , x 3

1 2 x - 2 x < m 恒成立 ,则实数 m 2
·

的取值范围是 . 17、如图所示,水平地面上有一个球,现有如下方法 o 测量球的大小,用一个锐角为 60 三角板,斜边紧靠球 面,一条直角边紧靠地面,并使三角板与地面垂直。如 果测得 PA=3cm(A 为切点) ,则球的表面积为 .

A P

三、解答题
18(12 分) 、某学生在军训时连续射击 6 次,每次击中的概率都是 中目标相互之间没有影响。求: (Ⅰ)这名学生首次击中目标恰为第 3 次的概率; (Ⅱ)这名学生在射击过程中,恰好有 3 次击中目标的概率; (Ⅲ)这名学生在射击过程中,至少有 1 次击中目标的概率。 19(12 分) 、如图正方体在 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为 AB,B1C1,AA1 的中点, (1) 求证:EF⊥平面 GBD; (2) 求异面直线 AD1 与 EF 所成的角 . 20(12 分) 、已知函数 f ( x) ?

1 ,且每次射击是否击 3

1 3 1 2 x ? ax ? ax ? 2(a ? R) 3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间(-∞,+∞)上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 A(x1, f ( x1 ) )、B(x2, f ( x2 ) )是函数 f ( x) 的两个极值点,若直线 AB 的斜率不

小于 ?

5 ,求实数 a 的取值范围。 6

21(12 分) 、某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3700x + 2 3 45x – 10x (单位:万元), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 (单位:万元). 又在经济 学中,函数 f(x)的边际函数 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求: (1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数 MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什 么? 22(12 分) 、如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,E、F 分别为 CD、PB 的中点. (1) 当

PD 为何值时,EF⊥平面 PAB.证明你的结论. AD AB 3 ,求 的值. BC 6

(2) 在( 1 )的条件下,若 AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin

答 一、选择题:BACBD 二、填空题: 三、解答题
BCCDC CB



13、60; 14、 2520; 15、0.835;16、m>2;17、 108p cm 2 18、解: “这名学生首次击中目标恰为第 3 次”为事件 A1,这是一个相互独立事件,则 (Ⅰ)P(A1)=(1-

1 1 1 4 )(1- )× = . 3 3 3 27

(Ⅱ)记“这名学生在射击过程中,恰好有 3 次击中目标” 为事件 A2,相当于做 6 次独 立重复试验,则 P(A2)=C 3 6 × ( ) ×(1-

1 3

3

1 3 160 )= . 3 729

(Ⅲ)记“这名学生在射击过程中,至少有 1 次击中目标” 为事件 A3,则 P(A3)=1-(1-

1 6 665 )= 3 729

4 ;这名学生在射击过程中,恰好有 3 27 160 665 次击中目标的概率为 ;至少有 1 次击中目标的概率为 . 729 729
答:这名学生首次击中目标恰为第 3 次的概率为 19、解:(1)取 BC 的中点 H,连 EH,易得 EH 是 EF 在平面 AC 上的射影, ∵BD⊥EH,∴由三垂线定理,得 EF⊥BD; 又∵EF 在平面 AB1 上的射影是 B1E,由△BB1E∽△ABG,得 B1E⊥BG, ∴由三垂线定理,得 EF⊥BG,∵BG∩BD=B,∵EF⊥平面 GBD. (2)取 C1D1 的中点 M,连 EM,易得 EM∥AD1,所以∠EFM 就是异面直线 AD1 与 EF 所成 的角, ∵MF∥BD,∴EF⊥MF

在 Rt△EFM 中,由 EM= 2 a ,(a 为正方体的棱长),EF=

2 a ,得 2

∠EFM=30? .即异面直线 AD1 与 EF 所成的角为 30? . 20、解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) 在(-∞,+∞)上为单调递增函数, 所以 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 0 在(-∞,+∞)上恒成立。 由△= a ? 4a ? 0 ,解得 0<a<4
2

1 3 x ? 2 (-∞,+∞)上为单调递增函数, 3 1 3 1 14 2 3 又当 a=4 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 ? ( x ? 2) ? 在(-∞,+∞)上为单调递 3 3 3
又当 a=0 时, f ( x ) ? 增函数,所以 0≤a≤4 (Ⅱ)依题意,方程 f ' ( x) =0 有两个不同的实数根 x1,、x2, 由△= a ? 4a ? 0 ,解得 a<0,或 a>4,且 x1+x2=-a,x1x2= a
2

1 2 1 2 a( x1 ? x 2 ) ? a]( x1 ? x 2 ) , 3 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 1 所以 ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? x1 x 2 ] ? a( x1 ? x 2 ) ? a 3 2 x1 ? x2 1 2 1 1 2 2 5 = (a ? a) ? a(?a) ? a ? ? a ? a ? ? . 3 2 6 3 6
所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? [ ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 解之得-1≤a≤5, 所以实数 a 的取值范围是-1≤a<0,或 4<a≤5. 21、解:(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 (x?N 且 x?[1, 20]); MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (x?N 且 x?[1, 20]). (2) P`(x) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (x?N 且 x?[1, 20]) 当 1? x < 12 时, P`(x) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x ? 20 时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值, 即, 年建造 12 艘船时, 公司造船的年利润最大. (3) 由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (x?N 且 x?[1, 20]). ∴当 1< x ? 20 时,MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少. 22、 解: (1)以 D 点为原点, DC 为 x 轴, DA 为 y 轴, DP 为 z 轴建立空间直角坐标系.设

PD ?k AD

时, EF⊥平面 PAB.令 AD=1, 则 PD=k,并设 DC=a,∴C(a,0,0),A (0, 1, 0) , B(a,1,0),P(0,0,k)

??? ? ??? ? ??? ? a a 1 k 1 k , 0, 0), F ( , , ), ∴ EF ? (0, , ), PA ? (0,1, ?k ), AB ? (a,0,0). 2 2 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 2 ∵ EF ⊥ PA ,∴ EF · PA =0,∴ ? k ? 0, ∴k=1(-1 舍去). 2 2 PD ? 1 时,EF⊥平面 PAB. ∴当 AD PD AB ? 1 ,令 AD=PD=1,AB=b,则 ? b ,下面求 b 即可 (2)在(1)的条件下,即 AD BC
∴E(

∴C(b,0,0),A(0,1,0),B(b,1,0),P(0,0,1), ∴E( ∴ AE ? ( , ?1, 0)

??? ? 1 1 EF ? (0, , ). 设平面 AEF 的法向量 n=(x,y,z). 2 2 ?b ? ??? ? x ? y ? 0, ? ? ?n?AE ? 0, b ?2 ? ?? ∴ ? ? ??? 令 z=1,得 n ? (? , ?1,1). ? 2 ? ? 1 y ? 1 z ? 0. ?n?EF ? 0 ? ?2 2 3 ???? 3 | ?2 ? 1| ∵AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin , AC ? (b, ?1,0), ∴ ? , 6 6 4 2 ? 2? b ? 1 b2 AB 4 2 2 2 ? 2或1. ∴b -3b +2=0∴b =2 或 b =1,∵b= 2 或 b=1,(舍负)∴ BC b 2

??? ?

b b 1 1 , 0, 0), F ( , , ), 2 2 2 2


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