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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


数学 课题

学科“六备”式教案(主备教案) 课时 2

平面向量数量积的坐标表 示、模、夹角

课型 主备教师

新授课 刘昕

授课年级、班级 授课时间

高一 192、197、199

备课标 备教材

教学目标: (包括知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观) 知识与能力: ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式; ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式; ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系 过程与方法:经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体 验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培 养学生的探究能力、创新精神。 情感态度与价值观:引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过 程,激发学习数学的兴趣。注重培养学生的动手能力和探索能力;同时通 过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化,使学生进一步体会数形 结合的思想。 教学重点和难点: 重点:平面向量数量积的坐标表示,以及有关的性质 难点:平面向量数量积的坐标表达式的推导
此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算,但数量积 是用长度和夹角这两个概念来表示的,应用起来不太方便,如何用坐标这一最基本、 最常用的工具来表示数量积,使之应用更方便,就是摆在学生面前的一个亟待解决 的问题。因此,本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生 长点”

备学法

教学方法:本节课主要采用启发诱导、观察、归纳、分析等教 备教法 学方法。 在教学过程中,注意学生的主体地位,依据学生已有 的知识经验和思想基础,复习引入,创设 疑问,引导学生观察、 分析、归纳,推导出公式,引导学生运用公式解决问题

教学辅助:

备教材、 备考纲

教学设计:
一、复习引入: 1.平面向量数量积(内积)的定义: 2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、 b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量. 1?

e?a = a?e =|a|cos?;

2? a?b ? a?b = 0

3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的

a?a = |a|2 或 | a |? a ? a

4?cos? = 3.练习:

a ?b ; | a || b |

5?|a?b| ≤ |a||b|

(1)已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60°



B.30°

C.135°

D.45° )

(2)已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m=a-4b 的模为( 3
D.12

A.2 二、讲解新课: a ? b

B.2 3

C.6

探究:已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,怎样用 a 和 b 的坐标表 示?. 1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2. 平面内两点间的距离公式

备教材、 备考纲

(1)设 a ? ( x, y) ,则 | a | ? x ? y 或 | a |?
2 2 2

x2 ? y2 .

(2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) , 那么 | a |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)

3. 向量垂直的判定 设

a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
4. 两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? =

a ?b ? | a |?| b |

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

二、讲解范例: 例 1 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC 的形状,并给出证明. 例 2 设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a·b 及 a、b 间的夹角 θ (精确到 1 )
o

分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a·b 及|a|·|b|,再结合夹角 θ 的范围确定 其值.

备教材、 备考纲

例 3 已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是多少? 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a·b 及|a|·|b|,再结合夹角 θ 的范围确定 其值. 解:由 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) 有 a·b= 3 +1+ 3 ( 3 -1)=4,|a|=2,|b|=2 2 .

记 a 与 b 的夹角为 θ , 则cosθ =

a?b 2 ? a?b 2

又∵0≤θ ≤π , ∴θ



? 4
评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.

板书设计: (1)向量的模 (2)平面内两点间的距离公式 (3)平面向量数量积的意义、运算律 (4)两向量垂直的坐标 表示的判断条件 (5)两向量的夹角的坐标 表示公式

备作业

课堂练习:
1、P107 面 1、2、3 题 2、已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,-

1 )在线段 AB 的中垂线上,则 x= 2

.

课外作业: 《学案》

教学反思


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