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函数的零点(重点生家教学生版)


(1)函数零点的定义 对于函数 y ? f ( x ) ? x ? D ? ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x ) ? x ? D ? 的零点。 2、二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象与零点的关系
2

△>0 二 次 函 数

△=0

△<0

y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的 图象

与 x 轴的交点 零点个数

? x1 , 0 ?? x2 , 0 ?
两个零点

? x1 , 0 ?
一个零点

无交点 无零点

〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。

?1? f ?x ? ? x 2 ? 3x ? 18, x ? ?1,8?; ?2? f ?x ? ? log 2 ?x ? 2? ? x, x ? ?1,3?,
3、与二次函数有关的零点分布问题 设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根,下面为几类常见二次函数零点分
2

布情况需满足于的条件: 根 的 分 布 ( m?n? p 且 图象 满足的条件

m, n, p 均为常数)

x1 ? x2 ? m

?? ? 0 ? b ? ?m ?? ? 2a ? f (m) ? 0 ?
?? ? 0 ? b ? ?m ?? ? 2a ? f (m) ? 0 ?

m ? x1 ? x2

x1 ? m ? x2

f (m) ? 0

x1 , x2 ? (m, n)

?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 2a ? ? f (m) ? 0 ? ? f (n) ? 0 ?

m ? x1 ? n ? x2

? f (m) ? 0 ? ? f (n) ? 0 ? f ( p) ? 0 ?
?? ? 0 ? 或 b ? m?? ?n ? 2a ?
f (m)?f (n) ? 0

只有一根在 ? m, n ? 之间

〖例〗 (1)m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求褛 a 取值范围。

【感悟高考真题】
1、 (2010 上海文数)17.若 (A) (0,1).

x0

x 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 0 属于区间
(C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)

[( )

(B) (1,1.25).

?3x , x ? 1, f ( x) ? ? ? ? x, x ? 1, 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? 3、 (2009 北京文)已知函数
x

.

4、 (2010 天津文数) (4)函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2)

7、 (2009 广东卷理) (本小题满分 14 分) 已 知 二 次 函 数 y ? g ( x) 的 导 函 数 的 图 像 与 直 线 y ? 2 x 平 行 , 且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处 取 得 极 小 值

m ? 1(m ? 0) .设

f ( x) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.


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