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简单的三角恒等变换2012.5.29


知识回顾:二倍角公式:
sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α, (S2α ). (C2α ).

因为sin2α+cos2α=1, 或

2 tan ? tan 2? ? , 2 1 ? tan ?
cos2α=2cos2α - 1, cos2α=1 - 2sin2α,

/>(T2α ).

所以公式(C2α )可以变形为

(C`2α ).

注意: ? ? k? .(k ? Z ) T2α公式成立的条件 2? ? ? k? , ? ? ?

2

4

2

引申:公式变形:

1 ? sin2? ? (sin ? cos? ) ?
1 ? cos2? ? 2 cos ?
2

2

1 ? cos2? ? 2 sin
2

2

? ? ?

升幂降角公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2

降幂升角公式

例题选讲

?例1?试以 cos ? 表示 sin 2 ? , cos 2 ? , tan 2 ? . ? ? 2 2 2
? 是 的2倍角,
2

解:

?

根据倍角余弦公式,有
2

cos ? ? 1 ? 2sin
2

?
2

,

1 ? cos ? ? sin ? , 2 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? cos ? 1 ? sin ? 1? ? , 2 2 2 2
2 2

?

?

?

1 ? cos ? ? 1 ? cos ? 2 ? 2 tan 2 ? ? . 2 cos 2 ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 2 sin 2

?

半角公式

例1的结果还可以表示为:

? 1 ? cos ? 1 ? cos ? , sin ? ? , cos ? ? 2 2 2 2

?

1 ? cos ? tan ? ? . 2 1 ? cos ?

?

? 这就是半角公式(不要求记忆),符号由 2 所在象限决定.

同学们还可以试着证明如下公式:

sin ? 1 ? cos ? tan ? ? . 2 1 ? cos ? sin ?

?

sin ? 事实上, ? 1 ? cos ?

2sin

?
2

cos
2

?
2 ?

2cos

?
2

2 ? tan ? . ? 2 cos 2

sin

?

例题选讲

求证:

1 (1) sin ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? ; 2 ? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin cos . 2 2
证明: (1)因为

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? , sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,
将以上两式的左右两边分别相加,得

1 sin ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ?. 2
应用
(1)不用计算器,求sin37.50cos7.50的值; (2)不用计算器,求sin1050+sin150的值.

答案:
2 ?1 4 6 2

例题选讲

求证:

1 (1) sin ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? ; 2 ? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin cos . 2 2
证明: (2) 由(1)可得

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? .
设? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , 那么



??

? ??
2

,? ?

? ??
2

.

代入①式,得

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2

.

和差化积

由sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos sin

? ??
2

同理可得:

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

? ??
2

cos? ? cos ? ? 2 cos

? ??
2

2 ? ?? ? ?? sin cos? ? cos ? ? ?2sin 2 2

cos

? ??

积化和差

1 由sin ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ?同理可得 : 2 1 cos? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2 1 cos ? cos ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 1 sin ? sin ? ?? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2

例题选讲 分析

求函数y ? sin x ? 3 cos x的周期, 最大值和最小值.
通过“合一变形”,将原函数变为一个角、 一个函数、一次的形式.

解:

y ? sin x ? 3 cos x
? 2(sin x cos

1 3 ? 2( sin x ? cos x) 2 2

?

? 2sin( x ? ) 3

?

? cos x sin ) 3 3

?

?所求周期为2? , 最大值为2, 最小值为 ? 2.
函数y=2sinx-3cosx的周期是 2π
? 13

. .

练习

函数y=2sinx-3cosx的最小值是

例题选讲

如图,已知OPQ是半径为1,圆心角
D

Q

? 为 3 的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是

扇形的内接矩形,求当角α 取何值时,矩形 ABCD的面积最大?并求出这个最大面积. 分析 可分二步进行: (1)找出S与α 之间的函数关系;

C

?

O

A

BP

(2)由得出的函数关系式,求S的最大值. 解: 在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.
3 3 在Rt ?OAD中, OA ? DA tan ? BC ? sin ? , 6 3 3

?

? S矩形ABCD

3 ? AB ? AD ? (OB ? OA) ? AD ? (cos? ? sin ? ) ? sin ? 3 1 3 3 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 6 6

3 2 1 3 1 ? cos 2? ? sin ? cos? ? sin ? ? sin 2? ? ? 3 2 3 2

例题选讲

如图,已知OPQ是半径为1,圆心角
D

Q

? 为 3 的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是

扇形的内接矩形,求当角α 取何值时,矩形 ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.

C

? S矩形ABCD

1 3 3 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 6 6 1 3 1 3 ? ( sin 2? ? cos 2? ) ? 2 6 3 2

?

O

A

BP

1 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 6 6 3

? ? ? 5? 由0 ? ? ? , 得 ? 2? ? ? . ?当2? ? ? ,即? = 时, 3 6 6 6 6 2 6
? ? ?
S最大 1 3 3 ? ? ? . 6 3 6

3 因此,当? ? 时, 矩形ABCD的面积最大, 最大面积为 . 6 6

?

例题选讲

求值:cos200cos400cos800.

sin 2? , 由倍角正弦公式:sin2θ =2sinθ cosθ ,得cos ? ? 解: 2sin ? ? cos 200 ? cos 400 ? cos800
sin 400 sin 800 sin1600 ? ? ? 0 0 2sin 20 2sin 40 2sin 800
练习 化简:

cos360cos720=

sin1600 ? 8sin 200 1 ; 4

1 ? 8

cos x ? cos 2 x ? cos 4 x ??cos 2n x
提示:

=

.

cos x ? cos 2 x ? cos 4 x ??cos 2n x
sin 2n?1 x ? n?1 2 sin x

sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin 2n x sin 2n?1 x ? ? ? ?? ? n ?1 2sin x 2sin 2 x 2sin 4 x 2sin 2 x 2sin 2n x

例题选讲

sin 3? 13 设? 为第四象限角, 若 ? , 求tan2?的值. sin ? 5

解:

sin 3? sin(2? ? ? ) sin 2? cos ? ? cos 2? sin ? 13 ? ? ? sin ? sin(2? ? ? ) sin 2? cos ? ? cos 2? sin ? 5

去分母并化简得 :8sin 2? cos ? ? 18cos 2? sin ? ,
? 4 tan 2? ? 9 tan ? ;
根据倍角正切公式,得 ①

1 ? tan ? ? ? , ? ? 3 联立①② 及α 为第四象限角,解得: ? ? tan 2? ? ? 3 . ? ? 4

2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ?




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