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初中数学填空题答案及参考解答(三)


初中数学填空题答案及参考解答(三)
1001. -6,2)(-2,2)(- ( , , 4 ,2)(4,2)(2,2) , , 3

解:由题意,OB=2OA 分三种情况进行讨论: ①当 A 是直角顶点时,如图 1 作 PH⊥x 轴于 H 易证 Rt△OAB≌Rt△HPA,得 AO=PH=2,BO=4 ∴ 1(-6,2) 2(-2,2) P ,P P

②当 B 是直角顶点时 同理可得 P3(- 4 ,2) 4(4,2) ,P 3 H A
图 1-1

y y
B H O A x P

O

x

③当 P 是直角顶点时 同理可得 P5(-2,2) (与情形①的 P2 重合) 6(2,2) ,P 综上可得满足条件的 P 点有 5 个,坐标分别为: (-6,2)(-2,2)(- , , 4 ,2)(4,2)(2,2) , , 3

B
图 1-2

y
B P

y
P B A O x A

O
图 2-2

x

图 2-1

y B

y
P B H P

HA O
图 3-1

x

A

O
图 3-2

x

4 8 1002.4、-4、 、 、8 3 3 解法参见上题 3+4 3 3-4 3 1003. ( ,1)或( ,1) 3 3 ∴AB =a +( 3a ) =10a
2 2 2 2

3+ 3 或 3- 3

解:设 OA=a,点 P 的坐标为(x,1) ,则 OB=3a

y
AP =( x+a ) +1 2 2 2 BP =x +( 3a-1 ) 2 2 2 ∵△PAB 是等边三角形,∴AB =AP =BP 2 2 2 2 可得( x+a ) +1 =x +( 3a-1 ) 于是 x=4a-3 ∴( 4a-3+a ) +1 =10a ,解得 a=
2 2 2 2 2 2

B

P A O x

3± 3 3

3+ 3 3+ 4 3 3- 3 3-4 3 ∴x1=4× -3= ,x2=4× -3= 3 3 3 3 b=OB=3± 3 3+4 3 3-4 3 ∴点 P 的坐标为( ,1)或( ,1) 3 3 b 的值为 3+ 3或 3- 3 1004.3 3-3 延长 BA 至 F,使 AF=AD,连接 DF、DC、BD 则 AB+AF=BF ∵AB+AD=BC,∴BF=BC 又∠DBF=∠DBC,BD=BD ∴△BDF≌△BDC,∴∠BFD=∠BCD ∵AF=AD,∴∠BAD=2∠BFD=2∠BCD ∴∠BAC=2∠ACB ∵∠BAC+∠ACB=90° ,∴∠ACB=30° ,∠BAC=60° ∴∠BAE=30° ∵BE= 3,∴AB=3 过 D 作 DH⊥AB 于 H 设 BH=DH=x,则 AH= 3x,AD=2x 3 ∴ 3x+x=3,∴x= ( 3-1 ) 2 ∴AD=3 3-3 45 15 , ) 14 14 15 30 , ) 13 13 F A A P

y
B

O

x

C

D H

E

B

1005. (1)(

(2) (

解:(1)过 D 作 DH⊥OA 于 H ∵OB=5,OC=3,∴BC=4 ∵∠ODF=90° ,∴∠ODH=∠DFH=90° ∠HDF - ∵EF∥AB,∴∠DFH=∠BAO,∴∠ODH=∠BAO ∴ OH 3 =tan∠ODH=tan∠BAO= =3,∴OH=3DH DH 5-4

y
C E B

设 DH=x,则 OH=3x,AH=5-3x DH 3 在 Rt△DHA 中, =tan∠CAO= AH 5 ∴ x 3 15 = ,解得 x= 5-3x 5 14 45 15 , ) 14 14 O
图1

D HF A x

∴D 点的坐标为(

(2)设 O′ 是△ODF 的外心,连接 O′O、O′D、O′F ∵∠ODF=45° ,∴∠OO′F=90° 设 OF=2x,则 AF=5-2x,O′(x,x) 作 CG∥AB 交 OA 于 G,DH⊥OA 于 H DH CO ∴△ADF∽△ACG,∴ = AF AG ∴ DH 3 15 3 = ,∴DH= - x 5-2x 4 4 2

y
C E D O′ O GH F F 图2 A x B

5 1 5 1 5 5 ∴HF= - x,OH=2x-( - x ) = x- 4 2 4 2 2 4 5 5 15 3 ∴D( x- , - x) 2 4 4 2 ∵O′D=O′O,∴( 解得 x1=
2 2 5 5 15 3 2 x- -x ) +( - x-x ) =2x 2 4 4 2

25 5 ,x2= (舍去) 26 2

5 5 15 15 3 30 ∴ x- = , - x= 2 4 13 4 2 13 D 点的坐标为( 15 30 , ) 13 13

49 1006. 8 解:∵△ACD 是等边三角形,∴∠ACD=60° ∵∠AED=60°,∴∠ACD=∠AED 又 AGE=∠DGC,∴△AGE∽△DGC ∴ AG EG = ,又∠AGD=∠EGC DG CG A
3

D
1 4

∴△ADG∽△ECG,∴∠1=∠2 ∵AB=AC,∴∠B=∠2,∴∠1=∠B B ∵△AGE∽△DGC,∴∠3=∠4 ∴∠AEB=∠2+∠3=∠1+∠4=∠ADC=60°=∠AED ∴∠BAE=∠DAE ∵△ACD 是等边三角形,∴AC=AD,∴AB=AD 在△ABE 和△ADE 中 AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE ∴△ABE≌△ADE,∴DE=BE=8 ∵∠AEB=∠AED=60° ,∴∠DEF=60° 又∠BFD=60° ,∴△DEF 是等边三角形 ∴EF=DE=8 ∵CE : CF=3 : 5,∴CE=3,CF=5 过 D 作 DH⊥EF 于 H 则 EH=4,CH=1,DH=4 3 在 Rt△DCH,由勾股定理得 DC=7 ∴AB=AD=7 ∵∠1=∠B,∠DAG=∠AEB=60°

G
2

E

CH

F

DG DA ∴△DAG≌△BEA,∴ = BA BE 即 DG 7 49 = ,∴DG= 7 8 8 96 49 32 13 1 EF 2

1007. (1)

(2)

解: (1)设⊙O 与 BC 边相切于点 H,连接 OA、OH,则 OA=OH= 在 Rt△ABC 中,∵AB=4,AC=3,∴BC= 3 +4 =5
2 2

5 5 易证△AEF∽△ABC,得 EF= x,∴OH= x 4 8 5 过 E 作 EG⊥BC 于 G,则 EG=OH= x 8 5 25 易证△BEG∽△BCA,得 BE= EG= x 3 24 ∵AE+BE=AB,∴x+ 25 96 x=4,∴x= 24 49 AF AC 3 = = AE AB 4 B E

A F O G H
图1

C

(2)由△AEF∽△ABC,得 ∵ AF 3 = ,∴MN=AE MN 4

A G E O B M H
图2

作 OG⊥AB 于 G,OH⊥BC 于 H,则 OH=OG 3 3 由△GEO∽△AEF,得 OG= EG= x 4 8 3 5 5 ∴OH= x,∴BE= OH= x 8 3 8 5 32 ∵AE+BE=AB,∴x+ x=4,∴x= 8 13 8 5 1008. 5 ∵△ADE 是等腰直角三角形,四边形 ACDE 是平行四边形 ∴CD=AE=AD=4,AC=DE= 2AE=4 2,AE∥CD ∴∠ADC=∠DAE=90° ,∴△ADC 是等腰直角三角形 ∴∠CAD=45° ,∴∠CAE=135° 过 E 作 EH⊥AC 于 H,则△AHE 是等腰直角三角形 ∴AH=EH= 2 AE=2 2,∴CH=6 2 2 C

F N C

B

A G D F

H E

在 Rt△CHE 中,由勾股定理得 CE=4 5,∴CF=2 5 ∵AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE=90° ∠CAD + ∴△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC 又∠AFE=∠GFD,∴∠DGF=∠EAF=90° ∴△CGD∽△CDF,∴ CG CD = CD CF



CG 4 8 5 = = 4 5 2 5

1009. 7 解:∵∠BAC=120° ,AB=AC,∴∠ABC=120° ∵BD⊥BC,∴∠ABD=120° =∠BAC 又 BD= 1 AB,F 为 AB 的中点,∴BD=AF 2 N A F B H D E G C

∴△BDA≌AFC,∴∠BAD=∠ACF=∠FCH 易证△AFG∽△CHG∽△CFA ∴ FG AF 1 HG AF 1 = = , = = AG AC 2 CG AC 2

过 C 作 CN⊥AB 于 N 设 AF=x,则 AC=2x,AN=x,CN= 3x,FN=2x, 在 Rt△FNC 中,CF= CN +FN = 7x 由△AFG∽△CFA 得: ∴ FG AF = AF CF
2 2

FG x 7 = ,∴FG= x x 7 7x 2 7 6 7 3 7 x,CG= x,HG= x 7 7 7 2 7 3 7 x+ x=5 7 7

∴AG=

∵AG+HG=AH,∴

∴x= 7,即 AF 的长为 7 1010.9 解:在 Rt△BCD 中,BC=25,BD=15 ∴CD= BC -BD = 25 -15 =20 在 Rt△BCE 中,BC=25,CE=7 ∴BE= BC -CE = 25 -7 =24 设 AD=a,AE=b,在 Rt△ABE 和 Rt△ACD 中分别根据勾股定理
2 2 2 2 2 2 2 2

B

?b +24 =( a+15 ) 得? 2 2 2 ?a +20 =( b+7 )

2

2

2

? ?a=15 解得 ? ?b=18 ?

D

∴AD=BD 连接 DF ∵以 DE 为直径的圆与 AC 交于另一点 F ∴∠DFE=90° ,∴DF∥BE ∴AF=CF=9 20 1011. 3

A

F

E

C

4

解:设 AF=x,AF=y,△EFG 的面积为 S 则 S=S 四边形 ABGF - S△AEF - S△BEG 1 1 1 = ( x+y )×4- ×2·x- ×2·y=x+y 2 2 2

由△AEF∽△BEG,得 xy=4 ∴当 x、y 相差越大时,x+y 的值越大,即 S 越大 当 x=6 或 2 2 20 时,S 最大,最大值为 6+ = 3 3 3

A 2 E 2 B y G

x

F

D

4 2 又 S=x+y=x+ =( x - x x 当 x-

) +4

2

2 =0,即 x=2 时,S 最小,最小值为 4 x

C

1012.5 75° ,240° ,255° 解:过 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F 1 1 1 则四边形 AEDF 是矩形,DE=AF= AC= AB= BD 2 2 2 ∴∠ABD=30° ,∴∠BAD=∠BDA=75° ∵∠BAC=90° ,AD=DC ∴∠DAC=∠DCA=15° ∵∠BAC=90° ,AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45° ∴∠DBC=15° ,∠DCB=30° 满足条件的点 A′ 有 5 个(如图 1-图 5) 当 A′B∥CD 时(如图 1) 则∠CBA′=∠DCB=30° ∴θ=∠ABA′=75° 当 A′D∥BC 时(如图 4) 则∠A′=∠A′DB=∠DBC=15° ∴∠A′BD=150° ,∴∠ABA′=120° ∴θ=360° 120° - =240° 当 A′B∥CD 时(如图 5) 则∠A′BC=180° ∠DCB=150° - ′=150° 45° ∴∠ABA - =105° ∴θ=360° 105° - =255° A′ B
图4

A E F D B C

A

A

B

D

C

B
图2

D A′

C

A′
图1

A

B A′ A A′ D C

D

C

图3

A

D B
图5

C

1+ 7 1013. a 2 解:作点 B 关于 AC 的对称点 E,连接 PE、BE、DE、CE 则 PB+PD=PE+PD,∴DE 的长就是 PB+PD 的最小值 即当点 P 运动到 DE 与 AC 的交点 G 时,△PBD 的周长最小 过 D 作 DF⊥BE 于 F 1 ∵BC=a,∴BD= a,BE=2 2 1 2 2 a +( a ) = 3a 2 B F D A P E

G C

1 1 3 ∵∠DBF=30° ,∴DF= BD= a,BF= 3DF= a 2 4 4

∴EF=BE-BF= 3a- ∴DE= DF +EF =
2 2

3 3 3 a= a 4 4

7 a 2 1+ 7 a 2

∴△PBD 的周长的最小值是

1014.

1 4

解:设 BD 交 AC 于 O ∵△ABC 和△BPD 是等腰直角三角形 ∴∠ 1=∠ 2=45° ,又∠ AOB=∠ DOP ∴△AOB∽△DOP,∴ OA OB = OD OP A
1 2

D E
3

∵∠ AOD=∠ BOP,∴△AOD∽△BOP ∴∠ DAC=∠ OBP=45° ,∴∠ DAC=∠ C ∴AD∥BC,∴△AOD∽△BOC,∴ AD OD = BC OB B

O
4

P C

∵AP 将△BPD 的面积分为 1 : 2 的两部分 ∴ OD 1 AD 1 AD 1 = ,∴ = ,∴ = OB 2 BC 2 AB 2

过 D 作 DE⊥AC 于 E ∵△AOB∽△DOP,∴∠ 3=∠ 4 又∠ BAD=∠ PED=90° ,∴△ABD∽△EPD ∴ DE AD 1 2 2 2 1 = = ,∴PE=2DE= 2AD= AB= × AC= AC PE AB 2 2 2 2 2 1 1 AC,∴PC=AC-AE-PE= AC 4 4

∴AE=DE= ∴ PC 1 = AC 4 1 2

1015.

解:连接 DE、CF ∵梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC ∴梯形 ABCD 是等腰梯形,∴OA=OD,OB=OC ∵∠ADB=60° ,∴△AOD 和△BOC 均为等边三角形 ∵E 是 OA 的中点,∴DE⊥OA 在 Rt△DEC 中,G 是 CD 中点,EG 是斜边 CD 的中线 1 ∴EG= CD 2 1 同理,CF⊥BD,在 Rt△DFC 中,FG= CD 2 1 1 又 EF 是△AOB 的中位线,∴EF= AB= CD 2 2 ∴EF=FG=EG,∴△EFG 是等边三角形 B

A E O F

D

G

C

设 AD=a,BC=b(a <b)
2 1 3 2 2 2 2 2 2 则 CD =CE +DE =( a+b) +( a) =a +b +ab 2 2

1 2 2 2 ∴EG = ( a +b +ab ) 4 ∴S△EFG = 3 1 2 2 3 2 2 × ( a +b +ab )= ( a +b +ab ) 4 4 16 S△AOB OB b = = S△AOD OD a

又△AOB 和△AOD 是高相等的三角形,∴ ∴S△AOB = ∵ 3 2 b 3 a × = ab 4 a 4

S△EFG 7 3 2 2 3 = ,∴8× ( a +b +ab )=7× ab 16 4 S△AOB 8
2 2

即 2a -5ab+2b =0,∴( 2a-b )( a-2b )=0 a 1 ∵a <b,∴2a=b,∴ = b 2 即 AD 1 = BC 2

1016.1≤m ≤4 1 2 1 2 4m-m 解:∵y= x -mx+2m= ( x-m ) + 2 2 2 4m-m ∴抛物线的顶点坐标为(m, ) 2 过 B 作 BD⊥x 轴于 D 由 A(0,2) ,C(4,0) ,△BCD∽△ABC 得 B 点坐标为(5,2) 易得直线 AC 的解析式为 y=- 1 1 x+2,把 x=m 代入得 y=- m+2 2 2
2 2

直线 BC 的解析式为 y=2x-8,把 x=m 代入得 y=2m-8 ∵抛物线的顶点在△ABC 的内部(含边界) ∴0≤m ≤5 4m-m 0≤ ≤2,解得 0≤m ≤4 2

2

y

4m-m 1 m+2≤ ,解得 1≤m ≤4 2 2
2

2

A O

B C D x

4m-m 2m-8≤ ,解得-4≤m ≤4 2 综合得 m 的取值范围是 1≤m ≤4 1017.6≤m ≤6+6 10 2 2 解:∵A(1, b) ,B(- a,3)两点在一次函数 y=ax+b 的图象上 3 3

?a+b= 3 b ∴? 2 ?- 3 a +b=3
2
2

?a1=-3 ? 解得 ? ? ?b1=9

?a =- 2 ? 9 ?b = 2
3
2 2

y

当 a=-3,b=9 时,A(1,6) ,B(2,3) 3 9 当 a=- ,b= 时,A(1,3) ,B(1,3) ,A、B 两点重合,舍去 2 2 ∴A(1,6) ,B(2,3) ,AB= 10 ∵AB=BC,∴将△ABC 沿直线 AC 翻折后得到菱形 ABCB′ ∴AB′=AB= 10,AB′∥BC∥x 轴,∴B′(1+ 10,6) 当反比例函数 y= 当反比例函数 y= ∵反比例函数 y= m 的图象经过 A、B 两点时,m=1×6=6 x m 的图象经过 B′ 点时,m=( 1+ 10)×6=6+6 10 x m 的图象与△AB′C 有公共点 x A B O

B′ C x

∴m 的取值范围是 6≤m ≤6+6 10 57 3 1018. 4 解:∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形 ∴AB=AC,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=60° ∴∠EAB=∠DAC=60° ∠CAE - ∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD,∠ABE=∠ACD ∵M、N 分别是 BE、CD 的中点,即 BM= 1 1 BE,CN= CD 2 2 D E A F M G H B N

C

∴BM=CN,又 AB=AC ∴△ABM≌△ACN,∴AM=AN,∠MAB=∠NAC ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60° ∴△AMN 是等边三角形 作 EF⊥AB 于 F,MH⊥AB 于 H 在 Rt△AEF 中,∵∠EAB=30° ,AE=AD=2 3 ∴EF= 3 ∵M 是 BE 中点,∴MH∥EF,MH= 1 3 EF= 2 2 1 AE= 3 2

取 AB 中点 G,连接 MG,则 MG∥AE,MG= ∴∠MGH=30° ,∴GH= ∴AH=AG+GH= 15 2
2 2 2

3 2

在 Rt△AMH 中,AM =AH +MH =57 ∴S△AMN = 3 57 3 2 AM = 4 4

31 1019. 4 解:∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形 ∴AB= 2AC,AE= 2AD, ∠BAC=∠EAD=45° ∴∠EAB=∠DAC=45° ∠CAE - ∴ ∴ AB AE = = 2,△ABE∽△ACD AC AD BE AB = = 2,∠ABE=∠ACD CD AC N D P A F G E M H B C

1 1 ∵M、N 分别是 BE、CD 的中点,即 BM= BE,CN= CD 2 2 ∴ ∴ BM BE AB = = ,∴△ABM∽△ACN CN CD AC AM AB = = 2,∠MAB=∠NAC AN AC 2 AN 2

∴AM= 2AN,∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=45° 过 N 作 NP⊥AM 于 P,则 NP=AP=PM= ∴△AMN 是等边三角形 作 EF⊥AB 于 F,MH⊥AB 于 H 在 Rt△ABC 中,∵AC=BC=4 2,∴AB=8 在 Rt△ADE 中,∵AD=DE= 6,∴AE=2 3 在 Rt△AEF 中,∵∠EAB=30° ,∴EF= 3 ∵M 是 BE 中点,∴MH∥EF,MH= 1 3 EF= 2 2 1 AE= 3 2

取 AB 中点 G,连接 MG,则 MG∥AE,MG= ∴∠MGH=30° ,∴GH= ∴AH=AG+GH=4+
2

3 2

3 11 = 2 2
2 2

在 Rt△AMH 中,AM =AH +MH =31 ∴S△AMN = 1 31 2 AM = 4 4

12 3 1020. 7 解:延长 AF 和 BC 交于点 G 易证△ADF≌△GCF,∴AD=BC=CG,AF=FG=4 ∵E 是 BC 的中点,∴EG=3EC= ∴BC= 2 EG 3 B K E C 3 3 3 ,EH= 2 2 3 BC 2 A H F D

过 E 作 EH⊥AF 于 H,在 Rt△AEH 中 ∵AE=3,∠EAF=60° ,∴AH=

G

又 AG=2AF=8,HG=8-

3 13 = 2 2

在 Rt△HEG 中,由勾股定理得 EG=7 ∴BC=
2

2 14 1 7 EG= ,BE= BC= 3 3 2 3
2 2 2

过 A 作 AK⊥BC 于 K,设 KE=x 则 AK =9-x ,KG =( x+7 ) 2 2 2 在 Rt△AKG 中,( 9-x )+( x+7 ) =8 解得 x= 3 12 3 2 ,∴AK= 9-x = 7 7 12 3 7

即 BC 边上的高是 1021. 3 20

解:∵AH∥GC,∴∠1=∠2 ∵AB∥CD,∴∠AEH=∠CDG ∴△AEH∽△CDG,∴ ∴AH= 1 GC 2 B GC CD AB = = =2 AH AE AE E A G I
1 2

D H

连接 AC,过 E 作 EI∥BF 交 AF 于 I 则 BF=2EI,∴AD=2BF=4EI 由△AGD∽△IGE,得 AG=4GI,∴AG= ∴S△AGC = 2 1 1 S△AFC = S△ABC = S 5 5 10 □ABCD 4 2 AI= AF 5 5

F

C

设△AGC 中 GC 边上的高为 h 则 S△AGC = 1 1 1 1 3 GC·h,S 梯形 AGCH = ( AH+GC )·h= ( GC+GC )·h= GC·h 2 2 2 2 4 3 3 S = S 2 △AGC 20 □ABCD

∴S 梯形 AGCH = ∴

S梯形AGCH 3 = 20 S□ABCD

30 1022. 7 解:∵△C′EF≌△DPF,∠C′=∠D=90° ,∠C′FE=∠DFP ∴C′E=DP,C′F=DF,EF=PF 设 C′E=DP=a,C′F=DF=b 则 C′P=PC=6-a,EF=PF=6-a-b,BE=10-a AE=10-( 6-a-b )-b=4+a 在 Rt△ABE 中,AB +AE =BE
2 2 2 2 2 2

C′ A E P F P D P

∴6 +( 4+a ) =( 10-a ) ,解得 a= 12 30 ∴PC=6- = 7 7

12 7

B

C

1023.4 : 3 设等边△ABC 的边长为 3a,则 BD=2a,CD=a 过 D 作 DG⊥AB 于 G,则 BG=a,DG= 3a,AG=2a 在 Rt△ADG 中,由勾股定理得 AD= 7a ∵∠APE=60° =∠B,∠PAE=∠BAD AE AP PE ∴△APF∽△ABD,∴ = = AD AB BD AE AP PE 即 = = 7a 3a 2a 设 AP=3k,则 AE= 7k,PE=2k ∵∠APE=60° =∠FAE,∠AEP=∠FEA AE PE ∴△APE∽△FAE,∴ = EF AE 7k 2k 7 3 即 = ,∴EF= k,∴PF= k EF 2 2 7k ∴PE : PF=4 : 3 1024. 17 2

A

E G B P D F C

解:连接 EN,过 E 分别作 AB、BC 的垂线,垂直为 G、H ∵ME 平分∠BMN,∴EF=EG,MF=MG 四边形 BHEG 是正方形,∴EG=EH ∴EF=EH,又 EN=EN ∴Rt△EFN≌Rt△EHN,∴FN=HN ∵AB=BC,MA=NC,BG=BH ∴MF-NF=MG-HN=( MA+AB-BG )-( BC-BH-NC )=2MA 1 1 ∴MA=NC= ( MF-NF )= 2 2 设 AB=x,在 Rt△MBN 中 1
2

M A D

G B

E H

F

N

C

( x+ 2 ) +( x- 2 ) =( 2+1 ) ,解得 x=
即 AB= 1 16 17 2

1

2

2

17 2

1025.

解:∵∠BFG+∠BCG=180° ,∠BCG=90° ∴∠BFG=90° ,∴△DFG 是等腰直角三角形 设 CG=x,则 DG=1-x 1 1 ∴△CFG 中 CG 边上的高为 DG= ( 1-x ) 2 2 ∴S△CFG = ∴当 x= 1 1 1 1 2 1 x· ( 1-x )=- ( x- ) + 2 2 4 2 16

D F

G

C

H A E B

1 1 时,y 有最大值 2 16

1026.

π 4

解:∵S1=S,∴S△ABC =S 半圆

2 1 1 1 ∴ AC·BC= π( AC ) 2 2 2



BC π = AC 4

13+5 10 25+5 10 13 25 1027.( , )或( , ) 3 9 3 9 解:连接 AC 交 y 轴于 D,过 D 作 DG⊥AB 于 G 由题意得:A(-4,0) ,B(0,3) ∴OA=4,OB=3,∴AB=5 易知 AC 平分∠BAO,∴DG=DO 1 1 1 ∵S△BAO = OA·OB= OA·OD+ AB·DG 2 2 2 ∴OD= 4×3 OA·OB 4 OD 1 = = ,∴ = OA+AB 4+ 5 3 OA 3 A O B G D H E x

y
G F C

1 4 易得直线 AC 的解析式为 y= x+ 3 3 过 F 作 FH⊥OE 于 H ∵AE=AF,AC 平分∠BAO,∴AC⊥EF 可证△FHE∽△AOD,得 HE= 1 FH 3

y

3 3 设 F(m, m+3) ,则 OH=m,FH= m+3 4 4 HE= 1 5 m+1,∴OE= m+1 4 4 A O E x F B C

1 5 4 5 5 CE= ( m+1 ) + = m+ 3 4 3 12 3 5 5 5 ∴C( m+1, m+ ) 4 12 3 ∴BE =(
2

2 2 2 2 5 3 1 3 2 2 2 2 m+1 ) +3 ,BF =m +( m ) ,EF =( m+1 ) +( m+3 ) 4 4 4 4

∵AE=AF,∴∠BFE=∠AEF >∠BEF,∴BE >BF ①若 BE=FE,则(
2 2 2 5 1 3 2 m+1 ) +3 =( m+1 ) +( m+3 ) 4 4 4

解得 m=0(舍去)或 m= 13 25 ∴C( , ) 3 9 ②若 BF=EF,则 m +( 解得 m=
2

8 3

y
F

2 2 2 3 1 3 m = m+1 ) +( m+3 ) 4 ) (4 4

B A O

C

8-4 10 8+4 10 (舍去)或 m= 3 3

E

x

13+5 10 25+5 10 C( , ) 3 9

2 1028. -4,0)( ,0)(4,0)(14,0) ( , , , 7 解:由题意,点 A(-2,m)在双曲线 y= - ∴A(-2,4) ,代入 y=- 令- 7 1 x+b,得 b= 4 2 8 上 x

y

7 1 6 12 x+ = - ,解得 x1=- (舍去) 2=2 ,x 4 2 x 7

∴B(2,-3) 设 P(m,0) 当△APC∽△PBD 时,有 PC BD = AC PD

A P4 D P2 P1 C O B P3 x

m+2 3 ∴ = ,解得 m1=-4,m2=4 4 m-2 ∴P1(-4,0) 2(4,0) ,P 当△PAC∽△PBD 时,有 ∴ PC PD = AC BD

m+2 m-2 = ,解得 m3=14 4 3

∴P3(14,0) 此外,直线 AB 与 x 轴的交点 P4 也满足条件 令 y=- 7 1 2 x+ =0,解得 x= 4 2 7

2 ∴P4( ,0) 7 π- 3 1029. 2 ︵ ︵ ︵ π 解:由题意, AB = AC = BC = 3 所以可设 AB=AC=BC=r 则 60×π×r π = ,解得 r=1 180 3 B C A

即等边三角形 ABC 的边长为 1 ∴曲边三角形的面积=△ABC 的面积+三个弓形的面积 = 60×π×1 π- 3 3 2 3 ×1 +3( - = 4 360 4 ) 2 79 72 , ) 25 25
2

1030.D(

y
A M D

解:连接 BD 交 AC 于 M,过 M 作 MH⊥BC 于 H 则 AC 垂直平分 BD ∵B(1,0) ,C(4,0) ,∴BC=3 由△BMC∽△AOC,得 BM= 3 9 BC= 5 5

O

B

H D

C D

x

由△BMH∽△BCM,得 BH= ∴D 点横坐标为:1+2× ∴D( 79 72 , ) 25 25

3 27 4 36 BM= ,MH= BM= 5 25 5 25

27 79 36 72 = ,D 点纵坐标为:2× = 25 25 25 25

1031.4.5 解:由题意,BF=BC,EF=EC ∵△ABF 的周长为 15,△DEF 的周长为 6 ∴AB+AF+BF=15,DE+DF+EF=6 ∴AB+AF+BC=15,DE+DF+EC=6 ∴( AB+AF+BC )-( DE+DF+EC ) =( AB+AF+BC )-( DC+DF ) =AF+BC-DF =AF+BC-( BC-AF ) =2AF=9 ∴AF=4.5 924 1032. 25 解:设 AB=DC=x,BE=y 在 Rt△ABE 中,x +y =225 2 2 在 Rt△DEC 中,x +( 14-y ) =169 由①②解得:x=12,y=9
2 2 2

① ②

A F

D

S△DFA AD 196 易证△DFA∽△ABE,∴ = 2= 225 S△ABE AE ∴S△DFA = ∴S△BFC = 196 196 1 1176 S = × ×9×12= 225 △ABEA 225 2 25 1 1 1176 924 S -S△DFA = ×14×12- = 2 矩形 ABCD 2 25 25 B E C

2 1033. <k <2 3

?2x+4(x <-3) ? 解:画出函数 y= ?-2(-3≤x ≤3)的图象,即图中的粗黑折线 ?2x-8(x>3) ?
当直线 y=kx 过点 A(-3,-2)时,k= 2 3

y

此时直线与函数图象有 2 个不同的交点 当 k=2 时,直线 y=kx 与直线 y=2x+4 和 y=2x-8 平行 此时直线与函数图象只有 1 个交点 ∵y=kx 与函数图象有 3 个不同的交点 2 ∴k 的取值范围是 <k <2 3

A

O

x

1034.25 解:∵∠ABC=65° ,∠EBC=55° ,∴∠DBE=10° 在 BC 边上取点 F,使∠FBC=45° ,连接 DF ∵∠ABC=65° ,∠EBC=55° ∴∠DBF=20° ,∠FBE=∠DBE=10° ∵∠ACB=100° ,∠DCB=80° ,∴∠DCF=20° ∴∠DBF=∠DCF,又∠A=∠A ∴△ABF∽△ACD,∴ AF AB = AD AC D F O E

A

又∠A=∠A,∴∠AFD=∠ABC ∴∠ADF=∠ACB=100° ,∴∠BDF=80° ∴∠BFD=80° ,∴∠BDF=∠BFD ∴BD=BF 又∠DBE=∠FBE,BE=BE ∴△BDE≌△BFE,∴∠BDE=∠BFE ∵∠FBC=45° ,∠ACB=100° ,∴∠BFC=35° ∴∠BDE=∠BFE=145° ∴∠DEB=180° 145° 10° - - =25° 1035.30 解:在 AC 边上取点 F,使∠FBC=20° ,连接 DF、BF 则 BD=BC=BF,∴△BFC 是等腰三角形 ∵△ABC 中,AB=AC,∠BAC=20° ∴∠ABC=∠ACB=80° ,∴∠DBF=60° ∴△BDF 是等边三角形 ∴∠BFC=80° ,∠DFE=40° ,∠BEF=40° ∴△BEF 是等腰三角形,BF=EF ∴DF=EF,△DEF 是等腰三角形 ∴∠DEF=70° ,∴∠DEB=30° 75 1036. 4 解:延长 MO 交 AD 于 N 由题意,FG 垂直平分 AE,OA=OE ∴OA 是△ADE 的中位线 设 DE=x,则 ON= 1 1 x,OM=9- x 2 2
2 2 2

B

C

A

E D F B C

H D F E C

∵OM=OA,∴AE=2OA=2OM=18-x 在 Rt△ADE 中,AD +DE =AE 2 2 2 ∴6 +x =( 18-x ) ,∴x=8 ∴OE=9- 1 x=5 2 3 15 OE= 4 4 15 2

N

O G

M

A

B

由△FOE∽△ADE,得 OF=

易知△FOE≌△GOA,∴FG=2OF=

∴S△EFG =

1 1 15 75 FG·OE= × ×5= 2 2 2 4
2 2

1037.y=-3x +6x+9 或 y=x -2x-3 解:∵抛物线与 x 轴的交点坐标为(-1,0)(3,0) , 所以抛物线的对称轴为 x=1 若 a <0,在-2≤x ≤5 上,当 x=1 时,y 有最大值 12 ∴抛物线的顶点坐标为(1,12) 设抛物线为 y=a( x+1 )( x-3 ),把(1,12)代入得: 12=a( 1+1 )( 1-3 ),解得 a=-3 ∴抛物线的解析式为 y=-3( x+1 )( x-3 ) 即 y=-3x +6x+9 若 a >0,在-2≤x ≤5 上,当 x=5 时,y 有最大值 12 把(5,12)代入 y=a( x+1 )( x-3 )得: 12=a( 5+1 )( 5-3 ),解得 a=1 ∴抛物线的解析式为 y=( x+1 )( x-3 ) 即 y=x -2x-3 1038. (1) a +b (2)如图 ①在 BA 上截取 BG=b; ②画出两条裁剪线 CG,FG; ③把△BGC 绕点 C 顺时针旋转 90° 到△DHC 的位置; ④把△AFG 绕点 F 顺时针旋转 90° 到△EFH 的位置. 此时得到的四边形 FGCH 即为所拼的正方形 π 3 π 4
2 2 2 2 2 2 2

F

A G



② D E ①

H

① B C

1039.

解:固定的线段绕一点转动扫过的面积与计算雨刮器相同,可以采用割补的方法 ∵∠ABC=90° ,AB=1,BC=2,∴AC =1 +2 =5 2 2 2 ∵M 是 BC 的中点,∴AC =1 +1 =2 BC 边扫过的面积 S1 如图 1 中的阴影部分 将曲边三角形 BFC 割补到曲边三角形 DGE 则 S1=S 扇形 ACE - S 扇形 AFG = 30×π( 5-1 ) π = 360 3 A F B D M
图1

G N

E

C

线段 MC 扫过的面积为 S2 如图 2 中的阴影部分 将曲边三角形 MPC 割补到曲边三角形 NQE 30×π( 5-2 ) π 则 S2=S 扇形 ACE - S 扇形 APQ = = 360 4

A N P B D M
图2

Q

E

C

1040.

3 8

解:连接 B′E,过 F 作 FG⊥AB 于 G,则 FG=BC=AB ∵EF 为折痕,∴EF⊥B′B

∴∠EFG=∠B′BA=90° ∠BEF - 又∵∠EGF=∠A=90° ,∴△EGF≌△B′AB 设 AB′=x,则 EG=x 2 2 2 ∴在 Rt△AB′E 中,( 1-BE ) +x =BE 1 2 1 2 ∴BE= ( x +1 ),∴CF=BE-EG= ( x +1 )-x 2 2 ∵四边形 B′EFC′ 与四边形 BEFC 全等 1 1 2 1 1 2 3 ∴S= ( BE+CF )·BC= ( x +1-x )×1= ( x- ) + 2 2 2 2 8 ∴当 x= 1 3 时,S 有最小值 2 8

A

B′

D

E C′ G B F C

1041.3n-2 解:第 1 个图形有 1 枚棋子; 第 2 个图形有 5 枚棋子:5=1+4=1+3×2-2; 第 3 个图形有 12 枚棋子:12=1+4+7=1+4+3×3-2; …… 第 n 个图形比第(n-1)个图形多(3n-2)枚棋子 1042.-4 解:作 PE⊥OA 于 E,BF⊥OA 于 F,PG⊥BF 于 G 则四边形 EFGP 是矩形,∴∠EPG=90° ∵半径 PB⊥PA,∴∠APE=∠BPG=90° ∠EPB - 又∠AEP=∠BGP=90° ,PA=PB ∴△APE≌△BPG,∴BG=AE= PG=PE= 1 OA=3 2 E B F O

y
A

P G C x

1 OC=1,∴P(1,3) 2

∴BF=3-1=2,∴B(-2,2) ∴k=-2×2=-4 1043.60 解:连接 OB、OD ∵四边形 OABC 为平行四边形,OA=OC ∴四边形 OABC 为菱形,∴OA=AB=BC=OC ∵OA=OB=OC,∴△OAB 和△OBC 是等边三角形 ∴∠AOB=∠BOC=60° ,∴∠AOC=120° 1 ∴∠ADC= ∠AOC/2=60° 2 ∵OA=OD=OC,∴∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC ∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠ADC=60° 1044.70° 解:延长 BA 至 D,使 BD=BC,连接 DP、DC ∵BP 平分∠ABC,∴∠ABP=∠CBP 又 BP=BP,∴△BPD≌△BPC,∴PD=PC A B

D

O C

∵△BDC 中,∠DBC=20° ,∴∠D=∠BCD=80° ∴∠ACD=20° ,∠PCD=60° ∴△PCD 是等边三角形,∴PC=DC ∵△ACD 中,∠D=80° ,∠ACD=20° ∴∠CAD=80° =∠D,∴AC=DC ∴PC=AC ∵∠ACB=60° ,∠PCB=20° ,∴∠ACP=40° ∴∠PAC=∠APC=70° 3 15 7 1 BC=1 2 4 -1 = 15
2 2

A

D

P B C

1045.

解:过 A 作 AH⊥AB 于 H ∵AB=AC,∴BH=
2 2

∴AH= AB -BH = ∴S△ABC =

A

D

1 1 BC·AH= ×2× 15= 15 2 2

∵AB=AC,∴∠B=∠ACB ∵BC=EC,∴∠B=∠BEC ∴∠B=∠ACB=∠BEC S△CBE BC 2 1 ∴△CBE∽△ABC,∴ = 2 = 2 = 4 S△ABC AB 4 ∴S△CBE = 1 3 S ,∴S△AEC = S△ABC 4 △ABC 4 BE BC = BC AB
2 2

F

E B H C

∵△CBE∽△ABC,∴

得 BE=1,AE=3 ∵∠DEC=∠B=∠BEC,∴∠AEF=180° 2∠B - ∵∠A=180° 2∠B,∴∠AEF=∠A,∴AF=EF - ∵∠A=∠D,∠AFE=∠DFC ∴△AEF∽△DCF,∴DF=CF, ∴CF= 4 4 AF= AC 3 7 4 3 3 S = S = 15 7 △AEC 7 △ABC 7 AF AE 3 = = DF DC 4

∴S△CEF =

1046.4 解:由题意,S 梯形 ABOC =2S△ADC =2× ∴k= 2 2 S = ×6=4 3 梯形 ABOC 3 4 8 8 9 S△ADE = S△ADE = × =6 3 3 3 4

5 5 5 1047. - ,0)或(-1,0) <- ;- <x <-1 或-1<x <1 ( ;x 4 4 4 解:由题意得:A(-1,0) ,C(0,3) ,抛物线的对称轴为 x=1

当 P 点在线段 EF 上运动时,在射线 FA 上总存在一点 Q,使得∠QPF=∠CPE 从而△QPF∽△CPE y 当以 CQ 为直径的⊙M 与 EF 相切于 P 点时,则△PQF∽△CPE 连接 MP,设 QF=x,则 CE+QF=2MP=CQ C 9 2 2 ∴1+x= ( x-1 ) +3 ,解得 x= 4 M 9 5 5 ∴QO= -1= ,∴Q(- ,0) 4 4 4 当 Q 点的横坐标 x <- 5 时,以 CQ 为直径的⊙M 与 EF 相离 4 5 时,以 CQ 为直径的⊙M 与 EF 相交 4 Q A O

D E P1 P2 F B x

此时满足条件的 P 点有且只有一个 当 Q 点的横坐标 x >-

当 Q 点坐标为(-1,0)时,设 P 点坐标为(1,m) QF PF 由△QPF∽△CPE 得: = CE PE 2 m 即 = ,解得 m=2,∴PF=2,PE=1 1 3-m ∴PQ +PC =2×2 +2×1 =10 2 2 2 2 2 2 又 CQ =1 +3 =10,∴PQ +PC =CQ ∴△PQC 是直角三角形,且∠CPQ=90° ∴P 点与以 CQ 为直径的⊙M 与 EF 的其中一个交点重合 ∴此时满足条件的 P 点有且只有两个 综上所述,当满足条件的 P 点有且只有两个时,Q 点的坐标为(- 点有且只有一个时,Q 点的横坐标 x 的取值范围是 x <- x 的取值范围是- 5 <x <-1 或-1<x <1 4
2 2 2 2

y
D C M A (Q) O E P1 P2 F B x

5 ,0)或(-1,0) ;当满足条件的 P 4

5 ;当满足条件的 P 点有三个时,Q 点的横坐标 4

1048.

3 4

9 3 16 OA 3 = OB 3

解:在 Rt△AOB 中,tan∠ABO= ∴∠ABO=30° 易得直线 l 的解析式为 y=- 令-

3 x+ 3 3

3 k 3 2 x+ 3= ,得- x + 3x-k=0 3 x 3 x1 2 3 x2 2 3 = x ,AD= = x cos30° 3 1 cos30° 3 2

y

设 C、D 两点的横坐标分别为 x1、x2,则 x1x2= 3k ∵AC= A C D O B x

2 3 2 3 若 AC·AD= 3,则 x· x= 3 3 1 3 2 ∴x1x2= 3 3 3 3 ,∴ 3k= 4 4

∴k= 若

3 4

AC 1 x1 1 = ,则 = ,∴x2=3x1 AD 3 x2 3 3 ·3x1+ 3= 3- 3x1 3

y

∴D 点的纵坐标为-

A

C D

3 ∴k=x1(- x1+ 3) =3x1( 3- 3x1 ) 3 ∵x1≠0,∴- 解得 x1= ∴k= 3 4 3 x + 3=3 3-3 3x1 3 1 O

B

x

3 3 3 9 3 - × + 3) = 4( 3 4 16

5 3 5 3 1049. , )或( ,- ) ( 4 4 4 4 解:∵B(1,0) ,C(3,0) ,∴OB=1,BC=2 过 F 作 FD∥BC 交 AB 于 D,则∠DFE=∠BOE 又∠DEF=∠BEO,OE=EF,∴△DEF≌△BEO ∴DF=OB= 1 BC,∴点 F 是 AC 的中点 2 O

y
D E B

A F C x

当点 A 在第一象限时,易得 A(2, 3) 5 3 5 3 ∴F( , ) ,∴E( , ) 2 2 4 4 5 3 由对称性可知,当点 A 在第四象限时,E( ,- ) 4 4 162 1050. 95 解:由题意得:AC=CE=8,BC=4 ∵AF=5,∴CF=3,∴BF=5 ∴S△ABF = 1 1 AF·BC= ×5×4=10 2 2 S△CGF CF 3 9 = 2= 2 = 25 S△ABF BF 5
2 2

D

易证△CGF∽△ABF,∴ ∴S△CGF =

9 9 18 S = ×10= 25 △ABF 25 5

A G F B CN M

H

过 M 作 MN⊥CE 于 N 则△MCN∽△ABC,△MNE∽△FCE 得 MN=2CN,NE= 8 16 MN= CN 3 3 16 CN=8 3

E

∵CN+NE=CE,∴CN+ ∴CN= 24 48 ,∴MN= 19 19

1 1 48 36 ∴S△FCM =S△FCE - S△MCE = ×8×3- ×8× = 2 2 19 19 S△FMG =S△FCG - S△FCM = 18 36 162 - = 5 19 95

1051.1 解:过 D 作 DH⊥BC 于 H 由题意,BD= CH=DH= ( 2 6 ) +( 6 ) = 30 A D
2 2

2 2 DC= × 6= 3 2 2 DH BH = EH DH B

BH=BC-CH= 2×2 6- 3=3 3 由△DEH∽△BDH,得 即

3 3 3 3 = ,∴EH= EH 3 3 3 2 3 = 3 3

HE

C

∴EC=CH-EH= 3- ∴S△CDE =

1 1 2 3 EC·DH= × × 3=1 2 2 3

1052.360 解:过 D 作 DF∥AE 交 BC 的延长线于 F 则四边形 AEFD 是平行四边形 ∴DF=AE=15,EF=AD=26 ∵E 是 BC 的中点,BC=AD=26,∴BE=13 ∴BF=BE+EF=39 ∵BD=36,∴BD +DF =36 +15 =39 =BF ∴△DBF 是直角三角形
2 2 2 2 2 2

A

D

B

E

C

F

4 4 1 ∴S□ABCD =2S△BDC = S△BDF = × ×36×15=360 3 3 2 1053.1 6-3 3 或 3 当△CDF 是直角三角形时 由于∠FDC 和∠FCD 均为锐角,所以只能∠CFD=90° 取 CD 的中点 M,连接 BM、FM 则 FM=CM,又 BF=BC,BM=BM ∴△BFM≌△BCM,∴∠BFM=∠BCM=90° 又∠BFE=90° ,∴E、F、M 三点共线 3 3 设 AE=x,则 DE=3-x,EM= +x,DM= 2 2
2 3 2 3 2 在 Rt△DEM 中,( 3-x ) +( ) =( +x ) 2 2

A

E F

D

M

B

C

解得 x=1 当△CDF 是等腰三角形时 由题意可知点 F 的运动路线是以点 B 为圆心,以 BA 的长为半径的四分之一圆 所以 DF<DC

①若 CF=CD,则 CF=BA=BF=BC ∴△BFC 是等边三角形 过 F 作 BC 的垂线,分别交 AD、BC 于 G、H 则∠BFH=30° ,FH= 3 3 3 3 3 BC= ,∴FG=3- 2 2 2

A

E G F

D

∵∠BFE=90° ,∴∠EFG=60° ,∠FEG=30° ∴AE=EF=2FG=6-3 3 ②若 CF=DF 过 F 作 AB 的垂线,分别交 AB、CD 于 G、H 1 1 1 则 BG=CH= CD= AB= BF 2 2 2 ∴∠BFG=30° ,∠GBF=60° ∴∠ABE=∠FBE=30° ∴AE= 3 AB= 3 3
2

B A

H E

C D

G

F

H

B m n -2n+1 2 2 m n +1
2 2

C

( n-1 ) 1054. 2 n +1

如图 1,连接 BE 则 MN 垂直平分 BE,∴BN=EN ∵ CE 1 = ,设 CE=1,BN=x,则 BC=CD=n,EN=x,CN=n-x CD n
2 2 2 2 2

在 Rt△ENC 中,EN =CN +CE
2 2 2

n +1 n +1 ∴x =( n-x ) +1 ,解得 x= ,即 BN= 2n 2n 过 N 作 NG∥CD 交 AD 于 G 则 NG=CD=BC,AG=BN=
2

F A M G D

n +1 2n
2

2

易证△NGM≌△BCE,∴MG=EC=1 ( n-1 ) n +1 ∴AM=AG-MG= -1= 2n 2n ∴ AM ( n-1 ) = 2 BN n +1
2

E

B

N
图1

C

如图 2,连接 BE 则 MN 垂直平分 BE,∴BN=EN ∵ AB 1 CE 1 = , = ,设 CE=1,BN=x,则 CD=n,BC=mn,EN=x,CN=mn-x BC m CD n
2 2 2 2 2 2 2

在 Rt△ENC 中,EN =CN +CE ∴x =( mn-x ) +1 ,解得 x= 过 N 作 NG∥CD 交 AD 于 G 则 NG=CD=n,AG=BN=
2 2 2

F A M G D E

m n +1 m n +1 ,即 BN= 2mn 2mn

m n +1 2mn 1 1 EC= m m B N
图2

2 2

易证△NGM∽△BCE,∴MG=

C

m n +1 1 m n -2n+1 ∴AM=AG-MG= - = 2mn m 2mn ∴ AM m n -2n+1 = 2 2 BN m n +1 2 3 3
2 2

2 2

2 2

1055.-

1 3 解:由题意,设 B(x,1) ,则 A( x,1- x) 2 2 1 3 2 3 ∴k=x·1= x( 1+ x ) ,∴x=- 2 2 3 ∴k=- 2 3 2 3 ×1=- 3 3

1056.2 2 解:过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为 C、D 则四边形 PCOD 是矩形 由已知可证△PAC≌△PBD ∴AC=BD,PC=PD ∴四边形 PCOD 是正方形,∴OC=OD ∴OA+OB=( OC+AC )+( OD-BD )=OC+OD=2OC 2 2 设 P(x,- ) ,则 OC=| x |,OD=|- | x x 2 ∵OC=OD,∴| x |=|- |,解得 x=± 2 x ∴OC=OD= 2 ∴OA+OB=2OC=2 2 5- 13 5+ 13 1057. ( , ) 6 2 1 1 解:设 B(x1, ) ,C(x2, ) x1 x2 A

y

P

D B

C

O

x

y
E B

过 A 作 y 轴的平行线,过 B、C 分别作这条平行线的垂线,垂足为 E、F 则△ABE≌△CAF,∴AE=CF,BE=AF

? x -2=x +1 ∴? 1 ?x +1=2- x
1
1 2 1 2

A 5+ 13 5- 13 解得 x1= (舍去)或 x1= 6 6 F O C x

5- 13 5+ 13 ∴B( , ) 6 2 1 12

1058.

解:连接 DE ∵CD 是半圆直径,∴∠CED=90° ∵BD 是切线,∴∠CDB=90°

又∠DCE=∠BCD,∴△CDE∽△CBD ∴ CE CD 3 = = DE BD 2 A

∵AC 是切线,∴∠ACE+∠ECD=90° ∵∠CED=90° ,∴∠FDE+∠ECD=90° ∴∠ACE=∠FDE ∵EF⊥AE,∴∠AEC=∠FED=90° ∠CEF - ∴△ACE∽FDE,∴ 2 8 ∴FD= AC= 3 3 ∴CF=CD-FD=3- ∴tan∠CAF= 8 1 = 3 3 AC CE 3 = = FD DE 2 C F O

E

B

D

CF 1 = AC 12

1059. (3,4) 解:∵⊙P 过点 O,∠AOB=90° ,∴AB 是⊙P 的直径 ∴点 P 是 AB 中点 12 24 设 P(x, ) ,则 A(2x,0) ,B(0, ) x x ∵以 A、B、C、D 为顶点的四边形是等腰梯形 ∴AD∥BC,AC=BD,∠ACB=∠DBC=45° ∴OA=OD,OB=OC 等腰梯形的面积为 14 ∴ 1 24 2 2 -( 2x ) ]=14,解得 x=3 2 [( x )

∴P(3,4) 875 1060. 6 解:过 E 作 EF⊥BD 于 F ∵AD∥BC,AB⊥BC,∴∠A=90° ∵AB=10,AD=15,∴BD= 10 +15 =5 13 由题意,∠1=∠2 ∵AD∥BC,∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3,∴BE=DE ∴BF=DF= 5 13 2
2 2

A
1

D F
2

B

3

E A1

C

2 5 由△FED∽△ABD,得 EF= DF= 13 3 3 ∴S 凹五边形 BDCEA1=S△A1BD + S△CDE =S△ABD + S△CDE 1 1 5 875 =S 梯形 ABCD - S△BDE = ( 15+25 )×10- ×5 13× 13= 2 2 3 6

1061.

2 3

6 3-2π 27

解:连接 EF ∵△ABC 中,∠A=90° ,∠B=60° ,AB=BD=2 ∴∠C=30° ,BC=4,DC=2 设 DE=x,则 EF=x,EC=2x ∵DE+EC=DC,∴x+2x=2,∴x= 2 3 60×π×( 360 2 2 3) 6 3-2π 27

1 2 2 S 曲边△FGC =S△FEC - S 扇形 FEG = × × 3- 2 3 3



1062.1 0.1 或 0.7 解:作半径 OC⊥AB,垂足为点 D,连接 OA,则 CD 即为弓形高 1 ∵OC⊥AB,∴AD= AB=0.3 2 设管道的直径为 2r,则 OA=OC=r,OD=r-0.1 在 Rt△OAD 中,0.3 +( r-0.1 ) =r 解得 r=0.5(米) ∴管道的直径为 1 米 当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时,设直线 OC 与 MN 相交于点 E 1 则 ME= MN=0.4 2 ∴OE= 0.5 -0.4 =0.3 而 OD=0.5-0.1=0.4 当 MN 与 AB 在圆心同侧时,水面上升的高度为:0.4-0.3=0.1(米) 当 MN 与 AB 在圆心异侧时,水面上升的高度为:0.4+0.3=0.7(米) 1063.(1,6) 解:由题意,B(-2,0) ,C(0,-1) ∴OB=2 ∵BA=2 5,∴OA= BA -OB =4 ∴A(0,4) ,∴D(2,3) k ∵双曲线 y= (x >0)过点 D,∴k=2×3=6 x ∴y= 6 x
2 2 2 2 2 2 2

M

E O D A C B

N

O M A C E D B N

易得直线 BA 的解析式为 y=2x+4 6 令 2x+4= ,解得 x1=-3(舍去) 2=1 ,x x ∴E(1,6) A 1064. ( 21- 2 3 - 21- 2 3 3 ,0)(- ,0)(- 3,0)( , , , ,0) 3 3 3 E C B x

y

解:设直线 BC 交 x 轴于点 D,作 BE⊥y 轴于 E,BF⊥x 轴于 F CH⊥x 轴于 H,设 P(x,0)

O P

D
图1

FH

则 BF=EO=

1 AO=2,BC=OP=| x |,AB⊥BC 2

y
A E C P O D HF
图2

∵∠ABO=60° ,∴∠OBD=30° 又∠BOD=30° ,∴∠BDF=60° ∴CH=2+ ∴S△OPC = 解得 x= 3 3 x 或 CH=-2- x 2 2

B

1 3 3 x( 2+ x ) = 2 2 4 3 (舍去)或 x= 21- 2 3 3

x

- 21- 2 3

21- 2 3 ∴P1( ,0) 3 或 S△OPC = 解得 x=- ∴P2(- 1 3 3 ( -x )( 2+ x ) = 2 2 4 3 (舍去)或 x=- 3 3 P

y
A

E

B C DH F
图3

3 ,0) 3(- 3,0) ,P 3

O

x

y
A E O D C
图4

1 3 3 或 S△OPC = ( -x )( -2- x ) = 2 2 4 解得 x= ∴P4(
- 21- 2 3

3 3

21- 2 3 或 x= (舍去) 3 P

B

- 21- 2 3

,0)

F

x

1065. 6 解:设一次函数 y=-x+b 的图象与 x 轴、y 轴交于 D、C 两点 则 C(0,b) ,D(b,0) ,∴OC=OD=b 过 O 作 OE⊥AB 于 E,则 OE=
2

2 b 2

y
C
2 2

b± b -4 1 令-x+b= ,解得 x= x 2 b- b -4 b+ b -4 b+ b -4 b- b -4 ∴A( , ) ,B( , ) 2 2 2 2 ∴AB= 2b -8 ∵△AOB 是等边三角形,∴OE= ∴ 3 AB 2
2 2 2

A E B

O

D

x

2 3 2 b= · 2b -8,解得 b=- 6(舍去)或 b= 6 2 2

∴b 的值为 6 3-1 2 3-1 4

1066.

解:过 E 作 EF⊥AB 于 F 设 AB=2,AF=EF=x,则 AD= 2,BC= 3,AE= 2x,BE=2x,BF= 3x

由 AF+BF=AB,得 x+ 3x=2,∴x= 3-1 ∴AE= 6- 2,DE= 2-( 6- 2 )=2 2- 6 BE=2 3-2,CE= 3-( 2 3-2 )=2- 3 2 2- 6 3-1 DE ∴ = = AE 2 6- 2 2- 3 3-1 CE = = BE 4 2 3-2 17 1067. 2 解:当两个矩形的对角线重叠时菱形的面积最大 设菱形的边长为 x,则有 2 +( 8-x ) =x 解得 x= 17 4
2 2 2

D C E

A

F

B

2 x

8-x x

17 17 ∴菱形面积的最大值为: ×2= 4 2 24 13 ab a+ b 192 25 =2,∴ a+ b 1 = 2 ab ① ② ③ 1 1 1 13 + + = 24 a b c

1068. 解:∵

1 1 1 即 + = 2 a b 同理可得: 1 1 1 + = 3 b c

1 1 1 + = 4 c a ①+②+③得: ∴

abc 1 24 = = 1 1 1 13 ab + bc + ca + + a b c 1 1 1 - = 6 a c ④

①-②得: ③+④得:

1 5 1 25 = ,∴ = 24 a 576 a

1 1 5 7 1 49 = - = ,∴ = 2 24 24 b 576 b 1 1 7 1 1 1 = - = ,∴ = 3 24 24 c 576 c ∴ abc 1 1 192 = = = ab+bc+ca 1 1 1 25 49 1 25 + + + + a b c 576 576 576

1069.

51 2 A

解:延长 DE 至 F,使 EF=DE,连接 CF 则 CE 垂直平分 DF,∴CD=CF ∴∠CDF=∠F ∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=∠CDF ∴∠B=∠F ∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAF ∴∠ADB=∠ACF,∴∠F=∠ACF ∴AF=AC=5,∴DF=5-2=3 ∴DE= 1 3 DF= 2 2 CD DF = AC CD

B

D E F

C

易证△CDF∽△ACF,∴ ∴

CD 3 = ,∴CD= 15 5 CD
2 2

∴CE= CD -DE =

51 2

1070.3 解:过 C 作 CG⊥AB 于 G ∵AF 为⊙O 的切线,∴AF⊥AB ∴AF∥CG ∵D 为 EF 的中点,∴DE=DF 3 CE 4 CE 2 ∵DE= CE,∴ = ,∴ = 4 DE 3 EF 3 CG CE 2 易证△CEG∽△FEA,∴ = = AF EF 3 连接 AD、BC ∵AF⊥AB,∴∠DAF+∠DAB=90° ∵D 为 EF 的中点,∴AD=DE=DF ∴∠F=∠DAF ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACD+∠DCB=90° ∵∠DAB=∠DCB,∴∠DAF=∠ACD ∴∠F=∠ACD,∴AF=AC= 5 CG 2 ∴ = AC 3 设 CG=2k,则 AC=3k,AG= AC -CG = 5k ∵AC= 5,∴3k= 5 5 5 ∴k= ,∴AG= 5k= 3 3 AB AC 易证△ABC∽△ACG,∴ = AC AG AB 5 ∴ = ,∴AB=3 5 5 3 1071.2 2 解:过 P 作 PQ∥BC 交 AB 于 Q,连接 AC ∵P 为 CD 中点,∴PQ 为梯形 ABCD 的中位线
2 2

C

A

E OG D

B

F

∵AB⊥BC,∴PQ 垂直平分 AB ∴AP=BP,又 AP=AB ∴△ABP 是等边三角形 ∴∠BAP=∠ABP=60° ,∴∠DAP=30° ∵AE 平分∠DAP,∴∠DAE=∠PAE=15° ∵AB⊥BC,AB=BC,∴∠BAC=∠ACB=45° ∴∠DAC=45° ,∴∠CAE=30° ,∠BAE=75° ∴∠AEB=180° 60° 75° - - =45° ∴∠AEB=∠ACB 设 AC、BE 相交于点 O,则△AOE∽△BOC ∴ OA OE = ,又∠AOB=∠EOC OB OC

A

D E

Q O B

P

C

∴△AOB∽△EOC,∴∠BEC=∠BAC=45° ∴∠AEC=45° 45° + =90° 1 2 ∴CE= AC= AB=2 2 2 2 1072. 3 3 解:连接 BD、BE ∵AB 是直径,∴∠ADB=90° ∵EF⊥AF,∴∠AFE=90° ∴∠ADB=∠AFE,又∠A=∠A ∴△ADB∽△AFE,∴ AD AB = AF AE A

C D O B E F

∴△ADF∽△ABE,∴∠DFB=∠DEB 1 ∴∠EBF=∠EDF=∠ADC= ∠AOC=30° 2 ∴ BF = 3 EF

∵∠AFC <∠ABC=30° ,∴∠DFE >60° ∵BD 与 OC 不平行,∴∠ABD >60° ∵∠DEF=∠ABD,∴∠DEF >60° 又∠EDF=30° ,∴DE >EF,DF >EF ∴当△DEF 是等腰三角形时,只能 DE=DF 此时∠DEF=∠DFE=75° ∴∠EAB=15° ,∴∠AEB=15° ∴∠EAB=∠AEB,∴BE=AB=6 ∴EF=3 1073.8 3-8 6- 2 3 解:∵AB=AD=2,A1B1=A1D1=2,∠BAD=∠B1A1D1=60° ∴∠DAO=∠B1A1O=30° ,∴OD=OB1=1,OA=OA1= 3 ∴AB1= 3-1 ∵∠DAO=30° ,∠A1B1O=60° ,∴∠AEB1=30° ∴∠DAO=∠∠AEB1,∴B1E=AB1= 3-1 过 E 作 EH⊥OB1 于 H,连接 OE A A1 D E B1 H O B C1 D1 C

则 EH=

3- 3 3 B E= 2 1 2

3- 3 1 ∴S△OB1E = OB1·EH= 2 4 由旋转的性质和菱形的对称性可知阴影部分为正八边形 故阴影部分的周长为 8 3-8,面积为 6-2 3 25 3 1074. -6 4 解:将△ABD 绕点 B 顺时针旋转 60° ,得△CBE,连接 AC、DE 则 CE=AD=4,∠BCE=∠BAD 易知△BDE 是等边三角形,DE=BD=5 在四边形 ABCD 中,∵∠ABC=60° ,∠ADC=30° ∴∠BAD+∠BCD=360° ( 60° 30° - + )=270° ∴∠BCE+∠BCD=270° ∴∠ECD=360° 270° - =90° ∴CD= 5 -4 =3 ∴S 四边形 ABCD =S△BAD + S△BCD =S△BCE + S△BCD =S△BDE - S△CDE = 3 2 1 25 3 ×5 - ×3×4= -6 4 2 4 E
2 2

A

B C

D

3 6 1075. 或 2 5 解:第一次操作后剩下的矩形长为 a,宽为 2-a 第二次操作后剩下的矩形的边长分别为 a-( 2-a ),2-a,即 2a-2,2-a 当 2a-2>2-a,即 a > 4 时,矩形长为 2a-2,宽为 2-a 3 3 2

因为第三次操作后剩下的图形恰好是正方形 所以 2a-2=2( 2-a ),解得 a= 当 2-a >2a-2,即 a <

4 时,矩形长为 2-a,宽为 2a-2 3 6 5

因为第三次操作后剩下的图形恰好是正方形 所以 2-a=2( 2a-2 ),解得 a= 综合得 a 的值为 3 6 或 2 5

1076.

7 4 C 3 5 D E A O F B

解:∵AB 是直径,∴∠ACB=90° 在 Rt△ABC 中,AB=5,sin∠CAB= ∴BC=3,AC=4 ∵AB 是直径,∴∠ADB=90° ∵AD∥OC,∴OC⊥BD

设 OC 与 BD 相交于点 F,则∠BCF+∠CBF=90° ∵∠BCF+∠OCA=90° ,∠OAC=∠OCA ∴∠CBF=∠OAC ∴Rt△BEC∽Rt△ABC,∴ ∴ CE 3 9 = ,∴CE= 3 4 4 9 7 = 4 4 CE BC = BC AC

∴AE=AC-CE=4-

8 5 1077. (1, )(1, ) , 3 2 解:设平移后的抛物线的表达式为 y=-x +bx+c 把 A(-1,0) ,B(3,0)代入,得:
? ?0=-1-b+c ? ? ?0=-9+3b+c ? ?b=2 解得 ? ? ?c=3
2 2

∴所求抛物线的表达式为 y=-x +2x+3 2 2 ∵y=-x +2x+3=-( x-1 ) +4 ∴点 D 的坐标为(1,4) 当 x=0 时,y=-x +2x+3=3 ∴C(0,3) ,∴OB=OC ∴∠OBC=∠OCB=45° 易得 BC=3 2,BD=2 5,CD= 2 2 2 2 2 2 2 ∴BC +CD =( 3 2 ) +( 2 ) =20=( 2 5 ) =BD ∴△BCD 是直角三角形且∠BCD=90° 过 C 作 CE⊥DP 于 E 则 CE=1,DE=4-3=1,∴CE=DE ∴∠CDE=45° ∴△CDP 与△ABC 相似有两种情况: ①∠PCD=∠ACB ∵∠BCP+∠PCD=90° ∴∠BCP+∠ACB=90° ,即∠ACP=90° ∴∠OCA=∠ECP=90° ∠OCP - ∴△OCA∽△ECP, CE CO = =3 EP OA A A
2

y
D C E P

O

B

x

y
D C G E P F O B x

1 1 8 ∴EP= CE= ,∴P1(1, ) 3 3 3

②∠PCD=∠CAB 在 OC 上取点 F,使 OF=OA,在 EC 上取点 G,使 EG=EP,连接 AF、PG 设 EG=EP=y 则 AF= 2,CF=3-1=2,CG=1-y,∠CFA=∠PGC=135° ∠CAF=∠CAB-45° ,∠PCG=∠PCD-45° ∴∠CAF=∠PCG,∴△CAF∽△PCG ∴ 1-y CG AF 2 = ,∴ = PG CF 2 2y

解得 y=

1 5 ,∴P2(1, ) 2 2

1078.-3 不能 解:∵C 与 C1、A 与 A1 都关于点 B 中心对称 ∴AB=A1B,BC=BC1 ∴四边形 ACA1C1 是平行四边形 令 x=0,得:y=c,∴C(0,c) 令 y=0,得:ax +c=0,∴x=± ∴A(- ∴AB=2

2

y
C1



c a

A O C
2

B

A1 x

c ,0) ,B( a



c ,0) a c- c a



c 2 2 ,BC= OC +OB = a

∵平行四边形 ACA1C1 是矩形,∴AB=BC ∴2


c = a

c-

2

c c c 2 ,∴4×(- )=c - a a a

∴ac=-3 ∵CC1 与 AA1 不垂直 ∴四边形 ACA1C1 不能成为正方形 1079.11 解:作 AH⊥BC 于 H,AK⊥DE 于 K 设 EF=CF=x,则 FH=x- 5 3 ,FK=x- 2 2 A G F B D K H E C P

在 Rt△AFH 和 Rt△AFK 中,由勾股定理:

( x- 2 ) +(

5

2

5 3 2 3 2 3 3 2 ) =( x- 2 ) +( 2 ) 2

解得 x=8,∴PC=16 ∴PA=PC-AC=16-5=11 7 10 (1,-2)或( , ) 3 9
2

1080. (4,10)

解:把 A(-1,0) ,B(2,0)代入 y=ax +bx-2,得:
? ?0=a-b-2 ? ? ?0=4a+2b-2 ? ?a=1 解得 ? ? ?b=-1
2

y
P

∴二次函数的表达式为 y=x -x-2 当 x=0 时,y=-2 ∴C(0,-2) ,∴OC=2 设 PC 交 x 轴于 D,过 A 作 AF⊥PC 于 F,交 OC 于 E 设 OD=x 若以 P、Q、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形 则∠PCQ=45° ,∴AF=CF 又∠DAF=∠ECF=90° ∠ADF,∠AFD=∠CFE=90° - ∴△ADF≌△CEF,∴CE=AD=x+1

Q

O D AE F B C

x

∴OE=OC-CE=2-( x+1 )=1-x OA OC 易证△AOE∽△COD,∴ = OE OD ∴ 1 1-x
2

y



2 2 2 ,解得 x= ,∴D( ,0) x 3 3 A O C P B x

易得直线 PC 的解析式为 y=3x-2 令 x -x-2=3x-2,解得 x=0(舍去)或 x=4 ∴P(4,10) 若以 P、Q、C 为顶点的三角形与△AOC 相似 只能∠PCQ=∠CAO,有两种情况: ①PC∥x 轴,∴点 P 的纵坐标为-2 令 x -x-2=-2,解得 x=0(舍去)或 x=1 ∴P1(1,-2) ②AD=CD(D 是 PC 与 x 轴的交点) 设 OD=x,则 AD=x+1,CD= x +4 ∴x+1= x +4 ,解得 x=
2 2 2

Q

y

3 3 ,∴D( ,0) 2 2 4 x-2 3 O A Q C DB

P x

易得直线 PC 的解析式为 y= 令 x -x-2=
2

4 7 x-2,解得 x=0(舍去)或 x= 3 3

7 10 ∴P2( , ) 3 9 1081.3≤x ≤9 3 解:显然,当点 A 与点 O 重合时,点 D 落在 OM 上 此时 x 的值最小,最小值为 3 取 AB 的中点 M,连接 OM、DM,则 OM=AM=BM= 1 AB=4 2 M

在 Rt△AMD 中,AD=3,AM=4,∴DM=5 连接 OD,则 OD≤OM+DM=9 当 O、M、D 三点共线时,x 的值最大,最大值为 9 ∴3≤x ≤9 过 M 作 MF⊥OB 于 F,交 AD 于 E,过 E 作 EG⊥OD 于 G ∵OM=BM,MF⊥OB,∴∠OMF=∠BMF ∴∠AME=∠GME,∴EA=EG ∴S△AMD = 1 1 1 AM·AE+ DM·EG= AM·AD 2 2 2

D A O(A) M D A M

C B N

∴( AM+DM )·AE=AM·AD,即( 5+4 )·AE=3×4 ∴AE= 4 AM ,∴tan∠ABO=tan∠AEM= =3 3 AE O M A E D G M C O FB N B

C N

1082.6≤x ≤4+2 7 解:显然,当点 D 落在 OM 上时,x 的值最小 最小值为:OA+AD= 3 3 AB+AD= ×4 3+2=6 3 3 D A

M

由于 AB=4 3 为定值,∠AOB=60° 也为定值 所以可固定矩形 ABCD,则点 O 的运动路径是以 AB 为弦, 圆周角为 60° 的一段圆弧 设圆弧所对圆心为 E,则∠AEB=120° 当 O、E、D 三点不共线时,O′D<O′E+DE=OE+DE=OD ∴当 O、E、D 三点共线时,OD 最大 过 E 作 EG⊥CD 于 G,交 AB 于 F 1 AB 2 1 则 OE=AE= =4,EF= AE=2 cos30° 2 ∴EG=EF+FG=2+2=4 ∴DE= DG +EG = ( 2 3 ) +4 =2 7 ∴OD=OE+DE=4+2 7 即 x 的最大值为 4+2 7 ∴6≤x ≤4+2 7 4 5 或 5 或 29 3
2 2 2 2

C
60°

O

B

N

O′ O O″ E

B F C M G

A D N

1083.

解:有三种情况: ①如图 1-1,直线在过 B 点和 D 点之间时被□ABCD 截得的线段的长度 l 最大,为 2 2 即 BE=DF=2 2 y 延长 AB、DF 交于点 G,过 E 作 EH⊥AB 于 H D C E 由图 2 知,AB=7-4=3,AG=8-4=4 F 易知∠EBA=45° ,∴EH=BH=2 A H 2 2 B G ∴AH=3-2=1,∴AE= 1 +2 = 5 x O 4 4 5 易知△AEB∽△ADG,得 AD= AE= 3 3 图 1-1 ②如图 1-2,直线在过 D 点和 B 点之间时被□ABCD 截得的线段的长度 l 最大,为 2 2 y 即 DE=BF=2 2 过 D 作 DH⊥AB 于 H 由图 2 知,AE=7-4=3,BE=8-7=1 易知∠DEA=45° ,∴DH=EH=2 2 2 O ∴AH=3-2=1,∴AD= 1 +2 = 5 ③如图 1-3,直线在过 A 点和 C 点之间时被□ABCD 截得的线段的长度 l 最大,为 2 2 即 AE=CF=2 2 y 过 A 作 AH⊥CD 于 H 易知∠AEH=45° ,∴AH=EH=2 D E C H 由图 2 知,DE=7-4=3, ∴DH=3+2=1,∴AD= 2 +5 = 29 O
图 1-3
2 2

D F A H E B

C

x
图 1-2

A F

B x

34 1084. 3 解:过 A 作 AF⊥DE 于 F ∵AE=AD,∴DF= 1 DE=2 2 1 2 DE= 6 3 B A F E C D

易证△DEC∽△ADF,得 EC= ∴BE=BC-EC=12- 2 34 = 3 3

144 1085. 37 解:作 PM⊥AC 于 M,PN⊥BC 于 N 则△AMP∽△AFG,△BNP∽△BDE ∴ AM PM BN PN = , = AF GF BD ED D F 48 E M P A B C N G

设 PM=x,PN=y,则有 4-y x ? 4+3 = 3 ? 3-x y ? 3+4 = 4 连接 PC 1 36 1 48 144 ∴S 阴影=S△PCD + S△PCF = ×4× + ×3× = 2 37 2 37 37 9 3 3 3 3 1086. , )或(- , ( ) 2 2 2 2 解:当点 C 在第一象限时,设为 C1 连接 OA,作 BD⊥OA 于 D,C1E⊥x 轴于 E 由 A(2,2 3)可知 OA=4,∠AOB=60° ∴∠OBD=30° ∵等边△ABC1,∴∠ABC1=60° ∴∠ABD+∠C1BE=90° ∵∠ABD+∠BAD=90° ,∴∠C1BE=∠BAD 又∠BEC1=∠ADB=90° ,BC1=AB ∴△BC1E≌△ABD ∴C1E=BD= C2 D O B C1 E

?x= 37 解得 ? 36 ?y= 37

y
A

x

3 3 1 7 OB= ,BE=AD=OA-OD=4- = 2 2 2 2

9 3 ∴C1( , ) 2 2 当点 C 在第一象限时,设为 C2 3 由 A(2,2 3) ,B(1,0)可知 AB 中点坐标为( , 3) 2 易知点 C1、C2 关于 AB 中点中心对称 3 3 3 ∴C2(- , ) 2 2

1087.72 解:∵△ABC 中,AB=AC,∠BAC=36° ∴∠ABC=∠ACB=72° 在 BA 上截取 BE=BC,连接 DE、DC 易证△BED≌BCD,∴∠BED=∠BCD,ED=DC=AD ∴∠BAD+∠BCD=∠AED+∠BED=180° ∴A、B、C、D 四点共圆 ∴∠ADB=∠ACB=72° 1088.90° 60° 或 解:由题意知∠EAO=∠C=45° 若 P、C、F 三点构成的三角形与△AEO 相似,则有两种情况: ①△CPF∽△AEO,有∠CPF=∠AEO 设 PQ 与半圆相切于点 M,连接 OM 易知∠MOQ=∠AOQ=∠CFP ∴∠MFE=∠CFP=∠MOE ∵∠OMF=90° ,∴∠OEF=90° ∴∠CPF=∠AEO=90° ②△CPF∽△AOE,有∠CPF=∠AOE 易知∠AOQ=∠MOQ=∠CPF ∴∠BOM=180° 2∠AOQ=180° 2∠CPF - - M (F) Q 在四边形 OBPM 中,∠OBP=∠OMP=90° ∴∠BOM+∠BPM=180° E ∴( 180° 2∠CPF )+( 180° ∠CPF )=180° - - A O ∴∠CPF=60° 1089. 7 或 31 解:过 O1 作 O1E⊥AC 于 E,设 AC=x ∴AE= 1 1 1 2 2 AC= x,O1E= AO1 -AE = 2 2 2 64-x
2

A

E

D

B

C

C M F Q E A C Q F P E B A O M P B O B C P

A E C O2 O1 B D

∵∠DEO1=∠AO1B=90?,∴∠D=90?-∠EO1D=∠AO1E ∴△O1DE∽△AO1E,∴
2

4+BD O1D AO1 4 = ,∴ = O 1E AE 1 1 2 64-x x 2 2

∴BD= ∴AE=

4 64-x -4x =4( 3-1 ),解得 x=4 x 1 x=2,O1E= 2 4 -2 =2 3
2 2

A E C

当点 O2 在线段 O1E 上时 O2E=O1E-O1O2=2 3- 3= 3 O2A= O2E +AE = ( 3 ) +2 = 7 当点 O2 在 EO1 的延长线上时 O2E=O1E+O1O2=2 3+ 3=3 3 O2A= O2E +AE = ( 3 3 ) +2 = 31
2 2 2 2 2 2 2 2

O1 O2

B

D

∴⊙O2 的半径为 7 或 31 1090.6 解:当 AnA⊥ON 时,光线就会逆向从原路返回到 P 点 ∵AnA⊥ON,∴∠OAnA=∠An-1AnM=90° ∠O=90° 1×14° - - ∠OAn-1An=∠An-2An-1N=∠An-1AnM-∠O=90° 2∠O=90° 2×14° - - …,以此类推,得∠OPA1=90° 6×14° - =6° 则当反射次数 n 为最大时,∠OPA1 的大小为 6° 56 25 8 16 5或 5 5 5

1091. (1)

(2)

解: (1)∵∠A′CD′=∠ACD,∴∠A′CA=∠D′CD 又 A′C=AC,D′C=DC,∴△A′CA∽△D′CD AA′ AC ∴ = DC DD′ 过 C 作 CE⊥A′B′ 于 E 则 S△A′B′C = 1 1 A′B′·CE= A′C·B′C 2 2 4×3 12 = 5 5 4 16 CE= 3 5 A′

A D′ E D B′

∵∠ACB=90° ,AC=4,BC=3 ∴A′B′=AB=5,∴CE= C

B

由△A′CE∽△A′B′C,得 A′E= ∴D′E= 16 5 7 - = 5 2 10

∵CD=CD′,∴DD′=2D′E= ∴ AA′ 4 56 = ,∴AA′= 7 5 25 5 2

7 5 A′

A E D C B B′

(2)设 A′B′ 与直线 AC 交于点 E ①当点 B′ 落在 CD 延长线上时 则∠ECB′=∠ACD=∠BAC=∠B′A′C ∴∠ECB′+∠B′=∠B′A′C+∠B′=90° ∴CE⊥A′B′ 在 Rt△AA′E 中,AE=4- ∴AA′= AE +A′E =
2 2

12 8 16 = ,A′E= 5 5 5

A

8 5 5 C

D

②当点 B′ 落在 DC 延长线上时 同理 CE⊥A′B′ 在 Rt△AA′E 中,AE=4+ ∴AA′= AE +A′E =
2 2

12 32 16 = ,A′E= 5 5 5 B′ E D′

B

16 5 5

A′

1092.4 6 解:过 C 作 CF⊥AB 于 F,则 DE∥CF ∵D 为 AC 中点,∴AE=EF,CF=2DE 设 BE=BC=x,AE=DE=y 则 BF=x-y,CF=2y 在 Rt△BED 中,x +y =87 2 2 2 在 Rt△BED 中,( x-y ) +4y =x 由②得 x=
2 2

A E F D

① ② B

5 y,代入①,解得 y=2 3 2

C

∴AD= 2y=2 6,AC=2AD=4 6 5 2

1093.

解:因为旋转角相等,∴∠ACA′=∠BCB′=α ∵∠A′DC=2α,∴∠B=∠B′=α ∴△ACF∽△ABC,∴ AC AB = AF AC

3 2+BF 5 ∴ = ,∴BF= 2 3 2 1094.8 (2 3+2,2 3-2) 解:作 CH⊥y 轴于 H,DK⊥x 轴于 K 易证△BHC≌△AOB≌△DKA ∴BH=OA=DK=n,CH=BO=AK=4-n ∴C(4-n,4) ∴k=4( 4-n )=4n,解得 n=2 ∴k=4n=8 ∴D(4,2) 8 8 设 E(x, ) ,则 x-4= ,解得 x=2 3+2(舍去负值) x x ∴E(2 3+2,2 3-2) 2 4n +1 -2 1095. 2 n 2 解:∵抛物线 y=ax +bx+c 经过原点 O,∴c=0 2 ∴y=ax +bx ∵当 x=2 时,y 有最大值 4 ?- b =2 ? ? ?a=-1 ∴? 2a 解得 ? ? ?b=4 ?4a+2b=4 ? ∴抛物线的解析式为 y=-x +4x 2 2 ∵y=-x +4x=-( x-2 ) +4 ∴抛物线的对称轴为 x=2 n ∵正方形的边长为 an,∴A(2- an,an) 2
2 2

y

H B

C D G E x

O

A

K F

2 n n ∴-( 2- an ) +4( 2- an ) n =a 2 2

2 4n +1 -2 解得 an= (舍去负值) 2 n A′ 1096.2 6-2 2 解:过 E 作 EF⊥AB 于 F,设 EF=x 则 AF= 3x,BF=x,BE= 2x ∴ 3x+x=4,∴x=2 3-2 ∴BE= 2x=2 6-2 2 E A D

2

C

F

B

1097.3 3 解:∵∠A+∠ACD=90° ,∠BCD+∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∵∠HDB+∠FBD=90° ,∠BFD+∠FBD=90° ∴∠HDB=∠BFD,∴∠ADE=∠CFB ∴△AED∽△CBF,∴ ∴AE= 3CD=3 3 1098.8 解:连接 AC、BD 设 A(x1,- k1 k1 ) ,C(x2,- ) x1 x2 AE BC 3BC 3CD = = = AD CF AC AD

k2 k2 ∵AB∥y 轴,AB∥CD,∴B(x1, ) ,D(x2, ) x1 x2 ∴AB=- k1 k2 1 - =- ( k1+k2 ) x1 x1 x1 A D O B C k1 y1=- x x

y

k2 k1 1 CD= + = ( k1+k2 ) x2 x2 x2 1 1 ∵AB=CD,∴- ( k1+k2 )= ( k1+k2 ) x1 x2 ∴x1=-x2 ∴A 与 C、B 与 D 分别关于原点 O 中心对称 ∴AC、BD 都经过原点 O 1 1 ∴S△AOB = S□ABCD =6,∴ ( k1+k2 )=6 4 2 1 1 ∵k1=2k2,∴ ( k1+ k1 )=6 2 2 ∴k1=8

k2 y2=- x

1099.n +( n-1 ) 解:根据给出的图形的规律可知,组成大正方形的每个小正方形中有一个完整的圆 因此圆的个数是小正方形个数 n 的平方,即 n 2 又每四个小正方形组成一个完整的圆,这样的圆的个数是( n-1 ) 2 2 所以铺成一个 n×n 的正方形图案,其中完整的圆共有 n +( n-1 ) 个
2

2

2

1100. 3-1 或 1-

3 3 A D F B
图1

解:∵△ABC 中,∠ ACB=90° B=30° ,∠ ,AC=1 ∴∠ BAC=60° ,AB=2 ∴∠ AFE=∠ BAC+∠ ADF>60° ∵AP⊥AB,∴∠ CAP=30° ∴∠ AFE>∠ FAE,∴AE>EF ①当 AF=EF 时(如图 1) 则∠ AEF=∠ EAF=30° ∴在 Rt△ADE 中,AE= 3AD 设 AD=x,∴2-x= 3x ∴x= 3-1 ②当 AE=AF 时(如图 2) 则∠ AFE=∠ AEF=75° ,∴∠ ADE=15° 过 E 作 EG∥BC,交 AB 于 G 则∠ AGE=∠ B=30° ,∴∠ GED=15° GDE =∠ ∴GD=GE 设 AE=x,则 AG= 3x,GD=GE=2x ∵AG+GD+BD=AB,∴ 3x+2x+x=2 ∴x=1- 3 3

H

C

E P

A G D B
图2

F C

E

P

A 20 10 120 1101. 或 或 7 3 31 解:∵在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90° ,AC=4,BC=3 ∴AB=5, 设 AD=x ①若 AF=EF(如图 1) ,则∠ AEF=∠ EAF ∵∠ EAF+∠ BAC=90° B+∠ ,∠ BAC=90° ∴∠ EAF=∠ B,∴∠ AEF=∠ B 4 3 ∴tan∠ AEF=tanB= ,∴BD=AE= x 3 4 3 20 ∵AD+BD=AB,∴x+ x=5,∴x= 4 7 ②若 AF=AE(如图 2) ,则∠ AEF=∠ AFE 过 E 作 EG⊥AF 于 G,设 AG=3k 则 EG=4k,AF=AE=5k,GF=2k 1 ∴tan∠ AEF=tan∠ AFE=2,∴BD=AE= x 2 1 10 ∴x+ x=5,∴x= 2 3 ③若 AE=EF(如图 3) 作 EG⊥AF 于 G,AH⊥EF 于 H 设 AG=3k,则 EG=4k,EF=AE=5k,AF=6k 1 1 24 由 S△AEF = EF·AH= AF·EG,得 AH= k 2 2 5 D F D P E

B

C
图1

A G F E P

B

C
图2

A G F E H P D B C
图3

7 2 2 ∴EH= AE -AH = k 5 ∴tan∠ AED= ∴x+ AH 24 7 = ,∴BD=AE= x EH 7 24

7 120 x=5,∴x= 24 31

1102.9 或 7 或 6 解:由题意知,A(a,a)B(b,5b) ∵直线 AB 的解析式为 y=kx+m
?a=ka+m ? ∴? ? ?5b=kb+m

解得 k=

5b-a b-a

b ∵a>0,b>0, 是整数 a b ∴设 =n(n 为正整数) ,则 b=an a ∴k= 5b-a 5n-1 4 = =5+ b-a n-1 n-1

∵n 为正整数,k 是整数,∴n-1=1 或 2 或 4 ∴k=9 或 7 或 6 17-1 8 AD BF = AE EF

1103.

解:过 E 作 EF⊥BC 于 F ∵∠ADE=∠EBC,∴△ADE∽△FBE,∴ 设 AB=AC=2a,AE=x 2 则 AD=a,EC=2a-x,BC=2 2a,EF=CF= ( 2a-x ) 2 BF=2 2a- 2 2 ( 2a-x )= ( 2a+x ) 2 2 B D A E

F

C

2 ( 2a+x ) 2 17-3 a ∴ = ,解得 x= a x 2 2 ( 2a-x ) 2 ∴EC=2a- 17-3 7- 17 17-1 AE a= a,∴ = 2 2 EC 8

1104.

1 2 A AD BF = AE EF B E D F C

解:过 E 作 EF⊥BC 于 F ∵∠ADE=∠EBC,∴△ADE∽△FBE,∴ 设 AB=AC=a,AE=BD=x

则 AD=EC=a-x,BC= 2a,EF=CF= BF= 2a- 2 2 ( a-x )= ( a+x ) 2 2

2 ( a-x ) 2

2 ( a+x ) 2 a-x 1 2 ∴ = ,解得 x= a,∴EC= a x 3 3 2 ( a-x ) 2 ∴ AE 1 = EC 2 1 3

1105.

解:过 E 作 EF⊥AC,交 BC 于 F ∵∠A=120° ,AB=AC,∴∠ABC=∠C=30° ∴∠BFE=120° =∠A,又∠ADE=∠EBC AD BF ∴△ADE∽△FBE,∴ = AE EF 设 AB=AC=2a,AE=x 则 AD=EC=a-x,BC= 3a,EF= B 3 2 3 ( a-x ),FC= ( a-x ) 3 3 3 2 3 ( 2a-x ),FC= ( 2a-x ) 3 3 D

A E

F

C

AD=a,EC=2a-x,BC=2 3a,EF= BF=2 3a- 2 3 2 3 ( 2a-x )= ( a+x ) 3 3

2 3 ( a+x ) 3 a 1 1 3 ∴ = ,解得 x= a,∴EC=2a- a= a x 2 2 2 3 ( 2a-x ) 3 ∴ AE 1 = EC 3 13-1 6 A E D B 3 2 3 ( a-x ),FC= ( a-x ) 3 3 F C

1106.

解:过 E 作 EF⊥AC,交 BC 于 F ∵∠A=120° ,AB=AC,∴∠ABC=∠C=30° ∴∠BFE=120° =∠A,又∠ADE=∠EBC ∴△ADE∽△FBE,∴ AD BF = AE EF

设 AB=AC=a,AE=BD=x 则 AD=EC=a-x,BC= 3a,EF= BF= 3a- 2 3 3 2 3 ( a-x )= a+ x 3 3 3

3 2 3 a+ x 3 3 a-x 13-3 ∴ = ,解得 x= a x 2 3 ( a-x ) 3 ∴EC=a- ∴ 13-3 5- 13 a= a 2 2

13-1 AE = EC 6

1107.2 解:过 E 作 EG⊥BC 于 G,设 EG=GC=a 则 AE=EC= 2a,AC=2 2a,BC=4a,BG=3a 在 BG 上取点 F,使 BF=EF,连接 EF 则∠BEF=∠EBC,∴∠EFG=2∠EBC ∵∠ADE=2∠EBC,∴∠EFG=∠ADE ∴△ADE∽△EFG,∴ AD FG = AE EG B D F G C

A E

设 BF=EF=x,在 Rt△EFG 中 5 a +( 3a-x ) =x ,解得 x= a 3
2 2 2

4 AD FG 4 ∴FG=3a-x= a,∴ = = 3 AE EG 3 ∴ AD 2 AD = ,∴ =2 AB 3 DB 3 8
2 2

1108.

解:令-x +mx+6m =0,解得 x1=-2m,x2=3m ∵A 在 B 的左侧,∴OA=2m,OB=3m 过 O 作 OC∥BN 交 PA 于 C 则△AOC∽△ABN,∴ AC AO 2 = = CN OB 3 C A

y
P N M

∵M 是 OP 的中点,OC∥BN,∴PN=CN ∴ PN 3 = PA 8 16 15 5

O

B x

24 15 1109. 5

1 1 1 解:由 S△ABC = BC·AD= AC·BE= AB·CF 2 2 2 得 6BC=4AC=3AB,∴BC : AC : AB=2 : 3 : 4 设 BC=2k,AF=x,则 AC=3k,AB=4k,BF=4k-x ∵CF =AC -AF =BC -BF
2 2 2 2 2 2 2 2 2

A
x

F
4k-x 3 2k

3k

6

∴( 3k ) -x =( 2k ) -( 4k-x ) ,解得 x=

21 k 8

B

4

C E

D

∴BF=4k- ∴( 2k ) -(
2

21 11 k= k 8 8 11 2 8 15 2 k =3 ,解得 k= 8 ) 15 24 15 5

∴△ABC 的周长是:2k+3k+4k=9k=

1 16 15 △ABC 的面积是: ×2k×6=6k= 2 5 2 3 3 C E A D B

1110. (1)1 或 3

(2)1

解: (1)∵∠ACB=90° ,∠BAC=30° ,AB=2 ∴AC= 3,BC=1,∠B=60° ①当点 E 在线段 CA 上时 ∵∠AED=∠EDC+∠ECD=90° ∠ECD,为钝角 + ∴当△ADE 是等腰三角形时,只能 AE=DE ∴∠ADE=∠EAD=30° ,∴∠BDC=60° ∴△BCD 是等边三角形,∴BD=BC=1 ∴AD=1 ②当点 E 在 CA 延长线上时 ∵∠EAD=180° ∠BAC=150° - ,为钝角 ∴当△ADE 是等腰三角形时,只能 AD=AE ∴∠ADE=∠E=15° ,∴∠ADC=∠ACD

C

A D B

E ∴AD=AC= 3 (2)显然,当点 E 在线段 CA 上时,CE 的长度存在最小值 以 CE 为直径作⊙O,连接 OD,作 OH⊥AB 于 H 则 OH= 1 1 1 1 OA= ( AC-OC )= ( 3- CE ) 2 2 2 2 O E A D H B A E H D B C O C

∵∠CDE=90° ,∴点 D 在⊙O 上 又∵点 D 在 AB 边上,∴⊙O 与 AB 相交或相切 ∴OD≥OH,即 ∴CE≥ 1 1 1 CE≥ ( 3- CE ) 2 2 2

2 3 ,当且仅当⊙O 与 AB 相切时等号成立 3 2 3 3 C O E A D B

∴线段 CE 长度的最小值为

当⊙O 与 AB 相切时,∠ODA=90° ∴∠AOD=60° ,又 OC=OD ∴∠OCD=∠ODC=30° ,∴∠BCD=60° ∴△BCD 是等边三角形,∴BD=BC=1 ∴AD=1 ∴当点 D 运动至 AD=1 时,线段 CE 的长度最小 19 2

1111.

5 3

解:延长 CD 至 E,使得 ED=CD,连接 AE、BE

则四边形 AEBC 是平行四边形 ∴BE=AC=3,∠EBC=180° ∠ACB=60° - 过 E 作 EF⊥BC 于 F ∴BF= 3 3 3 3 7 ,EF= ,CF=5- = 2 2 2 2
2 2

∴CE= CF +EF = 19 1 19 ∴CD= CE= 2 2 1 1 3 3 15 3 S△ABC = BC·EF= ×5× = 2 2 2 4 过 A 作 AG⊥CD 于 G 1 1 19 1 15 3 ·AG= × ∵S△ACD = S△ABC ,∴ × 2 2 2 2 4 ∴AG= 15 3 3 2 2 ,∴CG= AC -AG = 2 19 2 19 AG =5 3 CG B

E D G F C

A

∴tan∠ACD=

1-m 1112. 2m

2

解:延长延长 CA、DB 交 y 轴于 E、F 1 1 1 1 设 AE=a,BF=b,则 A(a, ) ,C(ak, ) ,B(b, ) ,D(bk, ) a a b b ∴AC=a( k-1 ),BD=b( k-1 ) AC 1 1 1-m ∵ =m,∴a=mb,EF= - = BD a b mb 过 B 作 BG⊥x 轴于 G 则 S△AOB =S 梯形 AEFB + S 矩形 BFOG - S△AOE - S△BOG ∵S 矩形 BFOG =2S△BOG,S△AOE =S△BOG 1-m 1-m 1 ∴S△AOB =S 梯形 AEFB = ( m+1 )b· = 2 mb 2m 1 2
2

y
A C B G D x

E F O

1113.4



解:设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ∵AD=AB,∴xB=2xA ∴yA=2yB,∴AB=BC 1 ∴AD=AB=BC,∴yB= OD=1 3 k ∴B(k,1) ,∴A( ,2) 2 过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 E、F 则 S△OAB =S△OAE + S 梯形 AEFB - S△OBF =S 梯形 AEFB 1 k ∴ ( 1+2 )( k- )=3,∴k=4 2 2 O

y
D A B E F C x

∴B(4,1) ,∴4m+3=1,∴m=-

1 2 75 2 A

1114.问题探究 1:10 解:问题探究 1:

55 问题探究 2: 4

1 BD= ( 30+5 6+20+5 6-50 )=5 6 2 1 设 AB=AC=x,则 x+ x+5 6= 30+5 6 2 解得 x=20 ∴BC=50-2×20=10 问题探究 2: 过 B 作 BE⊥AC 于 E 则 AB =AE +BE =( AD+DE ) +BE 2 2 2 2 2 BC =CE +BE =( CD-DE ) +BE
2 2 2 2 2

D

B
图1

C

1 1 ∵BD 是中线,∴AD=CD= AC= AB 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ∴AB +BC =2( BE +DE )+ AB =2BD + AB 2 2 ∴AB +2BC =4BD 由题意,设 AB=AC=2x 则 AD=CD=x,BC=50-4x,BD=40-3x ∴4x +2( 50-4x ) =4( 40-3x )
2 2 2 2 2 2

A
x 2x 40-3x

D E
x

35 55 解得 x= ,∴BC=50-4x=15,BD=40-3x= 4 4 35 55 75 △BDC 的周长是: +15+ = 4 4 2 1115.-12 解:在 y= ∴A(- 2 9 x+ 3 中,令 y=0,得 x=- ;x=0,得 y=3 3 2

B

50-4x

C

图2

9 9 ,0) ,B(0,3) ,∴OA= ,OB=3 2 2

延长 CB 交 x 轴于点 D ∵直线 l 与 x 轴关于直线 AB 对称 ∴∠CAB=∠DAB 又 BC⊥AB,∴BC=BD 易证△BOD∽△AOB,得 OB OA = OD OB A

y
l C B O D x

9 2 3 即 = ,OD=2,∴D(2,0) OD 3 ∴C(-2,6) k ∵双曲线 y= (x <0)经过点 C x

∴k=-2×6=-12 6 13 -1<b < 3 12
2 2

1116.

解:令 x -2 3x+1=0,解得 x1= 3- 2,x1= 3+ 2

?x -2 3x+1(x < 3- 2 或x > 3+ 2) 令 y1=| x -2 3x+1|,则 y1=? 2 ?-x +2 3x-1( 3- 2≤x ≤ 3+ 2)
2

作出函数 y1=| x -2 3x+1|和 y2=

2

3 x+b 的图象 3

由函数图象可知,当函数 y2 的图象过点 A( 3- 2,0)时,y1 和 y2 有三个公共点 当函数 y2 与 y1 相切于点 C 时,y1 和 y2 有三个公共点 y 3 把 A( 3- 2,0)代入 y2= x+b 得: 3 3 6 ( 3- 2 )+b=0,解得 b= -1 3 3 3 2 2 令-x +2 3x-1= x+b,得 3x -5 3x+3b+3=0 3 13 △=( -5 3 ) -4×3( 3b+3 )=0,解得 b= 12
2

C O A B x

∵方程| x -2 3x+1|= ∴b 的取值范围是:

2

3 x+b 有四个不同的实数根 3

6 13 -1<b < 3 12

1117.

20 5 13

解:连接 OC、BD 相交于 G,连接 BC ∵AB 是直径,∴∠ADB=90° ∵AB=2AO=10,AD=5+1=6 ∴BD= 10 -6 =8 ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA ∵∠O1AC=∠OAC,∴∠OCA=∠O1AC ∴AE∥OC,∴OC⊥BD 1 2 2 ∴BG= BD=4,∴OG= 5 -4 =3 2
2 2 2 2

E D O1 F G A O B C

∴CG=5-3=2,∴BC= 2 +4 =2 5 ∵∠CAB=∠DAC=∠GBC,∠ACB=∠BGC=90° ∴△ACB∽△BGC,∴ AC BG = =2 BC CG

∴AC=2BC=4 5 易知四边形 DECG 是矩形,∴DE=CG=2 ∴AE=6+2=8 ∵AE∥OC,∴△AEF∽△COF ∴ CF OC 5 5 20 = = ,∴CF= AC= 5 AF AE 8 13 13

11 43 1118.2, ,4, 9 9 解:①当点 E 在线段 AC 上时 若△ADE∽△ABC,则 AD AE 1 = = AB AC 3 B A E D B E D C D A E C

1 2 ∴AD= AB,∴BD= AB=2 3 3 AD AE 若△AED∽△ABC,则 = AC AB 4 1 4 AD 3 ∵AE= AC= ,∴ = 3 3 4 3 16 16 11 ∴AD= ,∴BD=3- = 9 9 9 ②当点 E 在 AC 延长线上时 若△ADE∽△ABC,则 AD AE 1 = = AB AC 3

A

B

C

1 4 ∴AD= AB,∴BD= AB=4 3 3 AD AE 若△AED∽△ABC,则 = AC AB 由①,AD= 16 16 43 ,∴BD=3+ = 9 9 9 B

E

D A

C

1119.

m-1 m+1

解:过 F 作 FG⊥OB 于 G 则 S△OEF =S 梯形 MGFE + S 矩形 GONF - S△MOE - S△FON =S 梯形 MGFE + S 矩形 GONF -2S△FON =S 梯形 MGFE 易证△BME∽△BGF∽△CEF ∴ ∴ ∴ S△BME BE S△BME BE 1 1 = = 2= 2, 2= 2 S△BGF BF S△CEF EF m ( m-1 ) S△BME S△BME 1 = = 2 S△OEF S梯形MGFE m -1 m-1 S1 S△CEF ( m-1 ) = = 2 = S2 S△OEF m+1 m -1 72 175
2 2 2

y
B M G O E C

F NA x

1120.

解:作 BG∥DE 交 AM 于 G,CH∥DE 交 AM 延长线于 H 则 AF AD 3 6 AF AE 2 6 = = = , = = = FG DB 2 4 FH EC 5 15

FG 4 FG 4 = ,∴ = FH 15 GH 11 ∴AF : FG : GH=6 : 4 : 11

∴AF=

6 4 GH,FG= GH 11 11

设△ABM 中 AB 边上的高为 h1,△ACM 中 AC 边上的高为 h2 ∵AM 是角平分线,∴h1=h2 ∴ S△ABM AB = S△ACM AC D A E F G M H C

S△ABM BM BM AB 3+2 5 又 = ,∴ = = = CM CM AC 2+5 7 S△ACM GM BM 5 易证△BGM∽△CHM,∴ = = MH CM 7 GM 5 5 ∴ = ,∴GM= GH GH 12 12 ∴AM=AF+FG+GM= 6 GH 11 AF 72 ∴ = = AM 175 175 GH 132 6 4 5 175 GH+ GH+ GH= GH 11 11 12 132

B


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