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2013年天津文科数学试题及全解析


2013 年天津卷文科数学试题及解析
一、选择题 【1】 (A,天津,文理 1)已知集合 A ? x ? R | x ? 2 , B ? ?x ? R | x ? 1? ,则 A ? B ? (A) ( ??, 2] 考点名称: 【1】集合 【1】 (A,天津,文 1) 、D 解析: 集合 A ? ??2,2?, B ? ? ??,1? ,所以 A ? B ? ? ?2

,1? (B) [1, 2] (C) [?2, 2] (D) [?2,1]

?

?

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 【2】 (A,天津 ,文理 2)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为 ? y ? 3 ? 0, ?
(A) ?7 (B) ?4 考点名称: 【16】简单的线性规划 【2】 (A,天津,文 2) 、A 解析: 如图,当目标函数经过可行域内点 A(5,3)时,z 的最小值为-7. (C) 1 (D) 2

【3】 (A,天津,文 3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 考点名称: 【24】算法初步与框图 【3】 (A,天津,文 3) D 根据程序框图,列表如下
变 量 s n 初始值 0 1 第1次 -1 2 第2次 2 3 第3次 -3 4 第4次 4 跳出循环, 输出 n=4

【4】 (A,天津,文 4)设 a , b ? R ,则“ (a ? b) ? a 2 ? 0 ”是“ a ? b ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 考点名称: 【2】常用逻辑用语 【4】 (A,天津,文 4) A
2 (a ? b) ? a ? 0? a ? b ,

而 a ? b ,当 a ? 0 时, (a ? b) ? a 2 ? 0 不成立. 【5】 (B,天津,文 5)已知过点 P (2, 2) 的直线与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则a ? (A) ?

1 2

(B) 1

(C) 2

(D)

1 2

考点名称: 【14】直线与圆 【5】 (B,天津,文 5)C 由已知点 P (2, 2) 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 上,则切点半径的斜率为 2,? 过点 P 的 切线斜率为 ?

1 1 ,直线 ax ? y ? 1 ? 0 的斜率为 a ,? ? ? a ? ?1 ,? a ? 2 . 2 2

【6】 (B,天津,文 6)函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值为 4? ? 2?

(A) ?1

(B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 0

考点名称: 【6】三角函数的最值及其应用 【6】 (B,天津,文 6)B 由已知 x ? ?0,

? 3? ? ? ? 3? ? ? ?? ? ,? 2 x ? 4 ? ? ? 4 , 4 ? ,又 f ( x) ? sin x 在 [? 4 , 4 ] 上单 ? 2? ? ?

调递增,? ymin ? f (?

?
4

)??

2 . 2

【7】 (B,天津,文 7)已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增.若实数 a 满 足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是
2

(A) ?1, 2?

(B) ? 0, ? 2

? ?

1? ?

(C) ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

(D) ? 0, 2?

考点名称: 【3】函数的概念及性质与不等式 【7】 (B,天津,文 7)C 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,

? f (log2 a) ? f (log 1 a) ? f (log2 a) ? f (? log 2 a) ? 2 f (log 2 a) ? 2 f (1) ,即 f (log 2 a) ≤ f (1) ,
2

又函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增,在区间 ? ??,0? 上单调递减.

1 ? ?1 ? log 2 a ? 1,解得 ? a ? 2 . 2
b 【8】 天津, 8) (C, 文 设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 ,g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 . 若实数 a , 满足 f (a) ? 0 ,g (b) ? 0 ,
则 (A) g (a) ? 0 ? f (b) (B) f (b) ? 0 ? g (a) (C) 0 ? g (a) ? f (b) (D) f (b) ? g (a) ? 0

考点名称: 【4】指、对、幂函数 【8】 (C,天津,文 8)A 方法 1 f ( x ) 在 R 上为单调增函数,f(0)??1?, f (1) ? e ? 1 ? 0 ,

? f ( x) 的零点 a ? (0,1) .
在 (0, ??) 上为单调增函数, g (1) ? ?2 ? 0 , g (2) ? ln 2 ? 1 ? 0 g (2) ? 0 ,? g ( x) 的零点 b ? (1, 2) . 所以 0 ? a ? 1 ? b ,则 g (a ) ? g (1) ? 0 ? f (1) ? f (b) . 方法 2 在同一直角坐标系下画出 y1 ? e x , y2 ? ? x ? 2 , y3 ? ln x , y4 ? ? x2 ? 3 的图象,易得 y1 与

y2 的交点 A ,及 y3 与 y4 的交点 B ,显然 a ? xA ? b ? xB .

? f ( x) 在 R 上为单调增函数,? 0 ? f (a) ? f (b) .
又? g ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,? g (a) ? g (b) ? 0 .

? g (a) ? 0 ? g (b) .
二、填空题

【9】 (A, 天津,文 9) i 是虚数单位,复数 (3 ? i)(1 ? 2i) ? __________. 考点名称: 【34】复数 【答案】 (A, 天津,文 9) 5 ? 5i

( 3? i ) (? i 2 ? ? i 6i ?2 i 2 ? 1 ) 3 ?

. ?i 5 5

【10】 (A, 天津,文 10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 __________. 考点名称: 【21】空间几何体与三视图 【10】 (A, 天津,文 10) 3
3

9? ,则正方体的棱长为 2

令正方体的棱长为 a ,球的半径为 R ,? R ?

3a , 2

4 4 ? 3a ? 9 ? V球 ? ? R3 ? ? ? ? ? ? ,解得 a ? 3 . 3 3 ? 2 ? 2 ? ?

x2 y 2 【11】 (A, 天津,文 11)已知抛物线 y ? 8x 的准线过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点, a b
2

且双曲线的离心率为 2 ,则该双曲线的方程为__________. 考点名称: 【15】圆锥曲线及其标准方程 【11】 (A, 天津,文 11) x ?
2

y2 x2 y 2 ? 1 由抛物线 y 2 ? 8x 的准线方程为 x ? ?2 ,且过双曲线 2 ? 2 ? 1 3 a b
c ? 2 ,解得 a ? 1 ,且 c 2 ? a 2 ? b2 ,故 b 2 ? 3 , a

( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点,即 c ? 2 ,且 e ?

? 该双曲线的方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 3

E AD ? 1 , BAD ? 60? , 为 CD 的中点. AC ? BE ? 1 , ? 【12】B, 天津, ( 文理 12) 在平行四边形 ABCD 中, 若
则 AB 的长为__________. 考点名称: 【17】平面向量的概念及其运算 【12】 (A,天津,文 12)

??? ??? ? ?

1 2 ??? ? ??? ???? ??? ? ? 解法 1 设 AB ? x . ? AC ? AD ? AB ,
D E C

??? ??? ??? ???? 1 ??? ??? ???? 1 ??? ? ? ? ? ? ? BE ? AE ? AB ? AD ? AB ? AB ? AD ? AB , 2 2 ???? ??? ???? 2 1 ??? 2 1 ???? ??? ? ? ? AC ? BE ? AD ? AB ? AD ? AB 2 2
1 1 ? 1 ? x2 ? x ? 1 , 2 4
A B

? x2 ?

1 1 x, x ? 0,? x ? . 2 2

y D

E

C

解法 2 以 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴,建系如图 则 D( ,

1 3 1 1 3 1 3 ) ,设 B( x, 0) 则 E ( ? x, )C ( ? x, ) , 2 2 2 2 2 2 2
A B x

???? ??? ? 1 3 1 1 3 AC ? BE ? ( ? x, ) ? ( ? x, ) 2 2 2 2 2
? 1 1 1 3 ? x ? x2 ? ? 1 , 4 4 2 4

? x2 ?

1 1 x, x ? 0 ? x ? . 2 2

C

【13】 (B, 天津,文 13)如图,在圆内接梯形 ABCD 中, AB / / DC .过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E .若 AB ?AD ? 5 ,BE ? 4 ,则弦 BD 的 长为__________. 考点名称: 【37】几何证明选讲

D

B

A

E

【13】 (B, 天津,文 13)

15 2

在圆内接梯形 ABCD 中, AB / / DC ,? BC ? AD ? 5 ,

? EB ? 4 , EC ? 9 ,由切割线定理可知 EA2 ? EB ? EC ,? EA ? 6 ,
在 ?BAE 中,由余弦定理可知 cos ?BAE ?

AB 2 ? AE 2 ? BE 2 3 ? , 2 AB ? AE 4 DB 2 ? DA2 ? AB 2 , 2 DB ? DA

且由弦切角定义可得 ?BDA ? ?BAE ,? 在 ?BDA 中, cos ?BDA ? 可解得 BD ?

15 . 2

【14】 (C, 天津,文 14)设 a ? b ? 2 , b ? 0 ,则 考点名称: 【11】不等式性质 【14】 (C, 天津,文 14)

a 1 ? 的最小值为__________. 2a b

a a?b a 3 1 a ? b ? 2 ,则 t ? ? ? ? . 4 2a b 4a b
1 b a 1 b a 1 5 ? ? ? ?2 ? ? ?1 ? , 4 4a b 4 4a b 4 4

①当 a ? 0 时,即 a ? (0, 2) 时, t ? 当且仅当

b a 2 ? ,即 b ? 2a ,且 a ? b ? 2 ,? a ? 时等号成立. 4a b 3

②当 a ? 0 时, t ? ? 当且仅当 ?

1 ? b ? ? a? 1 1 3 ? b ? ? a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ??? ? ? ? ? ?1 ? , 4 ? 4a ? ? b ? 4 4 4 ? 4a ? ? b ?

b a ? ? ,即 b ? ?2a ,且 a ? b ? 2 ,? a ? ?2 时等号成立. 4a b

综上所述,当 a ? ?2 时, 三、解答题

a 3 1 ? 的最小值为 . 4 2a b

【15】 (A, 天津,文 15)某产品的三个质量指标分别为 x , y , z ,用综合指标 S ? x ? y ? z 评价该产品的 等级.若 S ? 4 ,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如 下:

产品编号 质量指标 ( x, y, z ) 产品编号 质量指标 ( x, y, z )

A1
(1,1, 2)

A2
(2,1,1)

A3
(2, 2, 2)

A4
(1,1,1)

A5
(1, 2,1)

A6
(1, 2, 2)

A7
(2,1,1)

A8
(2, 2,1)

A9
(1,1,1)

A10
(2,1, 2)

(I)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (II)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, (i)用产品编号列出所有可能的结果; (ii)设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4” ,求事件 B 发生的概率. 考点名称: 【27】概率 【15】 (A, 天津,文 15) (I)计算 10 件产品的综合指标 S ,如下表:

产品编号

A1
4

A2
4

A3
6

A4
3

A5
4

A6
5

A7
4

A8
5

A9
3

A10
5

S

其中 S ? 4 的有 A , A2 , A4 , A5 , A7 , A9 ,共 6 件,故该样本的一等品率为 1 品的一等品率为 0.6 . (II)

6 ? 0.6 ,从而可估计该产 10

(i)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 ? A , A2 ? ,? A , A4 ? ,? A , A5? ,? A , A7 ? , 1 1 1 1

?A1, A9? ,? A2 , A4? ,? A2 , A5? ,? A2 , A7 ? ,? A2 , A9? ,? A4 , A5? ,? A4 , A7 ? ,? A4 , A9? ,? A5 , A7 ? ,? A5 , A9? , ? A7 , A9? ,共 15 种.
(ii)在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A , A2 , A5 , A7 ,则事件 B 发生的所有 1 可能结果为 ? A , A2 ? ,? A , A5? ,? A , A7 ? ,? A2 , A5? ,? A2 , A7 ? ,? A5 , A7 ? ,共 6 种.所以 P( B) ? 1 1 1

6 2 ? . 15 5

【16】 (B, 天津,文 16)在 ?ABC 中,内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c .已知 b sin A ? 3c sin B ,

a ? 3 , cos B ?
(I)求 b 的值;

2 . 3

(II)求 sin ? 2 B ?

? ?

??

? 的值. 3?

考点名称: 【6】三角函数的最值及其应用 【16】 (B, 天津,文 16)

a b ? ,可得 b sin A ? a sin B . sin A sin B 又由 b sin A ? 3c sin B ,可得 a ? 3c ,又 a ? 3 ,故 c ? 1 . 2 2 2 2 由 b ? a ? c ? 2ac cos B , cos B ? ,可得 b ? 6 . 3
(I)在 ?ABC 中,由 (II)由 cos B ?

2 5 ,得 sin B ? ,进而得 3 3

1 4 5 cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? ? , sin 2 B ? 2sin B cos B ? . 9 9
所以 sin ? 2B ?

? ?

??

? ? sin 2B cos ? cos 2 B sin ? 3? 3 3

?

?

4 5? 3 . 18

【17】 (B, 天津,文 17)如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 A A ? 底面 ABC , 且各棱长均相等,D ,E , 1

F 分别为棱 AB , BC , AC1 的中点. 1
(I)证明: EF / / 平面 ACD ; 1 (II)证明:平面 ACD ? 平面 A ABB1 ; 1 1 (III)求直线 BC 与平面 ACD 所成角的正弦值. 1 考点名称: 【23】立体几何
A1 F

C1

C E

B1 D A

B

【17】 (B, 天津,文 17) (I)证明:如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC / / AC1 , AC ? AC1 , 且 连接 ED , ?ABC 中, 在 因为 D , 1 1

C1

C E

E 分别为 AB , BC 的中点,所以 DE ?

1 AC 且 DE / / AC ,又 2
A1

F

B1 D A

B G

因为 F 为 AC1 的中点,可得 A1 F ? DE ,且 A1F / / DE ,即四边 1 形 A DEF 为平行四边形,所以 EF / / DA .又 EF ? 平面 ACD , 1 1 1

DA1 ? 平面 ACD ,所以 EF / / 平面 ACD . 1 1
(II)由于底面 ABC 是正三角形, D 为 AB 的中点,故 CD ? AB .又由于侧棱 A A ? 底面 ABC , CD ? 1 平面 ABC ,所以 A1 A ? CD ,又 A1 A ? AB ? A ,因此 CD ? 平面 A ABB1 ,而 CD ? 平面 ACD ,所以平 1 1 面 ACD ? 平面 A ABB1 . 1 1 (III)在平面 A ABB1 内,过点 B 作 BG ? A1D 交直线 A1D 于点 G ,连接 CG .由于平面 ACD ? 平 1 1 面 A ABB1 ,而直线 A1D 是平面 ACD 与平面 A ABB1 的交线. 1 1 1 故 BG ? 平面 ACD .由此得 ?BCG 为直线 BC 与平面 ACD 所成的角. 1 1 设棱长为 a ,可得 A1 D ?

5a 5a ,由 ?A AD ? ?BGD ,易得 BG ? . 1 2 5

在 Rt ?BGC 中, sin ?BCG ?

BG 5 . ? BC 5
5 . 5

所以直线 BC 与平面 ACD 所成角的正弦值为 1

【18】 (C, 天津,文理 18)设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴 2 a b 3

垂直的直线被椭圆截得的线段长为

4 3 . 3

(I)求椭圆的方程; ( II) 设 A , B 分 别 为 椭 圆 的 左 、 右 定 点 , 过 点 F 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 交 于 C , D 两 点 . 若

??? ??? ???? ??? ? ? ? AC ? DB ? AD ? CB ? 8 ,求 k 的值.
考点名称: 【16】直线与圆锥曲线 【18】 (C, 天津,文 18) (I)设 F (?c , 0) ,由

c 3 ,知 a ? 3c .过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x ? ?c ,代入椭圆方程有 ? a 3

( ?c ) 2 y 2 6b 2 6b 4 3 2 2 ? 2 ? 1, b2 从而 a ? 3 ,c ? 1 , 解得 y ? ? , 于是 , 解得 b ? 2 , a ?c ? , 又 ? 2 a b 3 3 3
所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

(II)设点 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,由 F (?1, 0) 得直线 CD 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 由方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,整理得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 . ?1 ? ? ?3 2
求解可得 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 ? .因为 A(? 3,0) , B( 3,0) ,所以 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AC ? DB ? AD ? CB ? ( x1 ? 3, y1 ) ? ( 3 ? x2 , ? y2 ) ? ( x2 ? 3, y2 ) ? ( 3 ? x1, ? y1)
? 6 ? 2x1x2 ? 2 y1 y2 ? 6 ? 2x1x2 ? 2k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
? 6 ? (2 ? 2k 2 ) x1 x2 ? 2k 2 ( x1 ? x2 ) ? 2k 2 ? 6 ? 2k 2 ? 12 ? 8 ,解得 k ? ? 2 . 2 ? 3k 2 2k 2 ? 12 , 2 ? 3k 2

由已知得 6 ?

【19】 (C, 天津,文 19)已知首项为 等差数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明 S n ?

3 * 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ( n ? N ) ,且 ?2S2 , S3 , 4S 4 成 2

1 13 . ? ( n? N* ) Sn 6

考点名称: 【20】数列的综合应用 【19】 (C, 天津,文 19) (I)解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,因为 ?2S2 , S3 , 4S 4 成等差数列, 所以 S3 ? 2S2 ? 4S4 ? S3 ,即 S4 ? S3 ? S2 ? S4 ,可得 2a4 ? ?a3 ,于是 q ?

a4 1 ?? . a3 2

又 a1 ?

3 3 ? 1? ,所以等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ? ? 2 2 ? 2?

n ?1

? (?1)n?1 ?

3 . 2n

1 ? ?2 ? 2n (2n ? 1) , n为奇数 1 1 ? ? 1? ? 1? (II) Sn ? 1 ? ? ? ? , Sn ? ? 1? ? ? ? ? ?? n 1 Sn ? 2? ? 2? ? 1? ?2+ ,n为偶数 1? ? ? ? n ? 2 (2n ? 1) ? ? 2?
n
n

当 n 为奇数时, Sn ?

1 1 1 13 随 n 的增大而减小,所以 Sn ? ? S1 ? ? . Sn Sn S1 6 1 1 1 25 随 n 的增大而减小,所以 Sn ? . ? S2 ? ? Sn Sn S2 12

当 n 为偶数时, Sn ?

故对于 n ? N ,有 S n ?
*

1 13 ? . Sn 6

? x3 ? (a ? 5) x, x?0 ? 【20】 (C, 天津,文 20)设 a ?? ?2,0? ,已知函数 f ( x) ? ? 3 a ? 3 2 . x ? ax, x ? 0 ?x ? ? 2
(I)证明 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递减,在区间 ?1, ?? ? 内单调递增. ( II ) 设 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P ( xi , f ( x ) (i ? 1 , 2 , 3 ) 的 切 线 互 相 平 行 , 且 x1 x2 x3 ? 0 . 证 明 处 ) i i

1 x1 ? x2 ? x3 ? ? . 3
考点名称: 【21】导数的应用 【20】 (C, 天津,文 20) (I)设函数 f1 ( x) ? x3 ? (a ? 5) x ( x ? 0) , f 2 ( x) ? x ?
3

a?3 2 x ? ax ( x ? 0) , 2

2 ① f1 '( x) ? 3x ? (a ? 5) ,由 a ?? ?2,0? ,从而当 ?1 ? x ? 0 时,

f1 '( x) ? 3x2 ? (a ? 5) ? 3 ? a ? 5 ? 0 ,所以函数 f1 ( x) 在区间 (?1, 0] 内单调递减.
② f2 '( x) ? 3x2 ? (a ? 3) x ? a ? (3x ? a)( x ?1) ,由于 a ?? ?2,0? ,所以当 0 ? x ? 1 时, f 2 '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f 2 '( x) ? 0 .即函数 f 2 ( x) 在区间 ?0,1? 内单调递减,在区间 ?1, ?? ? 内单调递增. 综合①,②及 f1 (0) ? f 2 (0) ,可知函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递减,在区间 ?1, ?? ? 内单调递增. (II)证明:由(I)知 f ' x 在区间 ( ??, 0) 内单调递减,在区间 ? 0, ()

? ?

a ?3? ? a?3 ? , ?? ? ? 内单调递减,在区间 ? 6 ? ? 6 ?

内单调递增.因为曲线 y ? f ( x) 在点 P ( xi , f ( xi )) (i ? 1, 2,3) 处的切线互相平行,从而 x1 , x2 , x3 互不相 i 等,且 f '( x1 ) ? f '( x2 ) ? f '( x3 ) .不妨设 x1 ? 0 ? x2 ? x3 , 由 3x12 ? (a ? 5) ? 3x22 ? (a ? 3) x2 ? a ? 3x32 ? (a ? 3) x3 ? a , 可得 3x22 ? 3x32 ? (a ? 3)( x2 ? x3 ) ? 0 ,解得 x2 ? x3 ? 设 g ( x) ? 3x2 ? (a ? 3) x ? a ,则 g (

a?3 a?3 ? x3 . ,从而 0 ? x2 ? 3 6

a?3 ) ? g ( x2 ) ? g (0) ? a . 6

由 3x12 ? (a ? 5) ? g ( x2 ) ? a ,解得 ?

2a ? 5 2a ? 5 a ? 3 , ? x1 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? 3 3 3

设t ?

? 3 15 ? 3t 2 ? 5 2a ? 5 , ,则 a ? ,因为 a ?? ?2,0? ,所以 t ? ? ?, 3 ? 2 3 ? 3
1 3t 2 ? 1 1 1 1 ? (t ? 1)2 ? ? ? ,即 x1 ? x2 ? x3 ? ? . 3 6 2 3 3

故 x1 ? x2 ? x3 ? ?t ?


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