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苏教版高中数学选修1-2同步课堂精练:2.2.2间接证明 Word版含答案


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1.关于反证法,正确说法的序号是__________. ①反证法的应用需要逆向思维; ②反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定; ③反证法推出的结论不能与已知相矛盾; ④使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,论证一种即可. 2.用反证法证明“形如 4k+3 的数(k∈N )不能化成两整数的平方和”时,开始假设结论 的反面成立应写成__________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 3.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时,正确的假设是 __________. 4.设 a,b,c 为一个三角形的三边,S=
*

1 2 (a+b+c),若 S =2ab,试证 S<2a.用反证 2

法证明该题时的假设为____________________. 5.对于定义在实数集 R 上的函数 f(x),如果存在实数 x0,使 f(x0)=x0,那么 x0 叫做函 数 f(x)的一个“好点” .已知函数 f(x)=x +2ax+1 不存在“好点” ,那么 a 的取值范围是 __________. 6. 用反证法证明命题 “若 x -(a+b)x+ab≠0, 则 x≠a 且 x≠b” 时, 应假设为__________. 7.设实数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 a,b,c 中至少有一个数不小于________. 8.完成反证法证题的全过程. 题目:设 A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7},B={1,2,3,4,5,6,7},且 A=B. 求证:乘积 p=(a1-1)·(a2-2)·?·(a7-7)为偶数. 证明:反设 p 为奇数,则______________均为奇数.① 因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数=________________② =________________③ =0. 但奇数≠偶数,这一矛盾说明 p 为偶数. 9.已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 10.如图,设 SA,SB 是圆锥的两条母线, O 是底面圆心,C 是 SB 上一点. 求证:AC 与平面 SOB 不垂直.
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2 2

1 . 4

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参考答案 1 答案:①② 2 答案:假设 4k+3=m +n (其中 m,n 是整数) 3 答案:假设三内角都大于 60° 解析:三个内角至少有一个不大于 60°,即有一个、 两个或三个不大于 60°,其反设为都大于 60°. 4 答案:S≥2a 5 答案: ? ? , ?
2 2 2

? 1 3? ? 2 2?

解析:若 f(x)=x +2ax+1 存在“好点” ,即 x +2ax+1=x 有解,

2

2

则 Δ =4a -4a-3≥0 ? a ? ?
2

1 3 或a ? . 2 2

∴f(x)=x +2ax+1 不存在“好点”时,

a 的取值范围是 a∈ ? ? , ? .
6 答案:x=a 或 x=b 7 答案: 于

? 1 3? ? 2 2?

1 3

解析:由 a,b,c 这三个数的和为 1,可猜想 a,b,c 中至少有一个数不小

1 ,证明如下: 3
假设 a,b,c 都小于 ∴a+b+c<1, 这与 a+b+c=1 矛盾. ∴假设不成立, ∴a,b,c 中至少有一个数不小于 8 答案:a1-1,a2-2,?,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) (a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7) 解析:假设 p 为奇数则 a1-1,a2-2,?,a7-7 均

1 1 1 1 ,则 a< ,b< ,c< , 3 3 3 3

1 . 3

为奇数,因为奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7)=(a1+a2 +?+a7)-(1+2+?+7)=0.但奇数≠偶数,这一矛盾说明 p 为偶数. 9 答案:证明:假设三式同时大于

1 , 4

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相乘得 a(1-a)b(1-b)c (1-c)> 又∵a,b,c∈(0,1),

1 . 64

1 ? a ? ?1 ? a ? ? a(1-a)≤ ? ? , ? 2 4 ? ? 1 ? b ? ?1 ? b? ? b(1-b)≤ ? ? , ? 2 4 ? ?
c(1-c)≤ ?
2

2

1 ? c ? ?1 ? c ? ? ? , ? 2 4 ? ?
1 . 64

2

∴a(1-a)b(1-b)c(1-c)≤ 得出矛盾, ∴假设不成立,

即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于

1 . 4

10 答案:证明:如图,连结 AB.假设 AC⊥平面 SOB.

∵直线 SO 在平面 SOB 内, ∴AC⊥SO. 又∵SO⊥底面圆 O,∴SO⊥AB. 又 AC∩AB=A,∴SO⊥平面 SAB. ∴平面 SAB∥底面圆 O. 这显然出现矛盾,∴假设不成立, 即 AC 与平面 SOB 不垂直.

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