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2016数学文分类汇编:概率


2016 年高考数学文试题分类汇编----概率
1、(2016 年北京卷 6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为( (A) )

7、(2016 年四川卷 13)从 2、3、8、9 任取两个不同的数字,分别记为 a、b,则 log a b 为整数的概率 = 。

1 5

(B)

/>
2 5

(C)

8 25

(D)

9 25

8、(2016 年天津卷 2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 概率为( (A) ) (B)

1 1 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的 2 3

2、(2016 年北京卷 8)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段. 下表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 1.92 a 3 1.82 75 4 1.80 60 5 1.78 63 6 1.76 72 7 1.74 70 8 1.72 a?1 9 1.68 b 10 1.60 65

5 6

2 5

(C)

1 6

(D)

1 3

立定跳远 (单位: 米) 1.96 30 秒跳绳 (单位: 次) 63

9、(2016 年全国 I 卷 3)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中, 余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人,则 (A)2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (B)5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (C)8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (D)9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 3、(2016 年北京卷 14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出 19 种商品,第二天售 出 13 种商品,第三天售出 18 种商品;前两天都售出的商品有 3 种,后两天都售出的商品有 4 种,则该 网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种; ②这三天售出的商品最少有_______种. 4、(2016 年江苏卷 4)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .

1 (A) 3

1 (B) 2

2 (C) 3

5 (D) 6

10、(2016 年全国 II 卷 8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) (A)

7 5 3 3 (B) (C) (D) 10 8 8 10

11、 (2016 年全国 III 卷 5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

8 (A) 15

1 (B) 8

1 (C) 15

1 (D) 30

5、(2016 年江苏卷 7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方 体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 .

6、(2016 年山东卷 3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的 频率分布直方图, 其中自习时间的范围是[17.5, 30], 样本数据分组为[17.5, 20), [20, 22.5), [22.5,25), [25,27.5),[27.5,30).根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( ) (A)56 (B)60

12、(2016 年北京卷 17)某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/ 立方米收费,超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费,从该市随机调查了 10000 位居民,获得了他们 某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:

(C)120

(D)140

(I)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米,w 至少 定为多少? (II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的人均水费.

13、(2016 年山东卷 16)某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动. 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转 动时, 记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x, y.奖励规则如下: ①若 xy ? 3 ,则奖励玩具一个; ②若 xy ? 8 ,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (I)求小亮获得玩具的概率; (II)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

15、(2016 年全国 I 卷 19)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零 件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元. 在机器使用期间,如果备件不足再 购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种 机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
频数

24 20 16 10 6 0 16 17 18 19 20 21 更换的易损零件数

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 (单位:元), n 表示购机的同时购买的易损零件数. (I)若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式;

14、(2016 年四川卷 16)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水
情况进行了调查, 通过抽样, 获得了某年 100 位居民每人的月均用水量 (单位: 吨) , 将数据按照[0,0.5) , [0.5,1),??[4,4.5]分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图。

(II)若要求学科&网“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (III)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别 计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数, 以此作为决策依据, 购买 1 台机器的同时应购 买 19 个还是 20 个易损零件?

0.50 0.42

(I)求直方图中的 a 值; (II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数.说明理由; (Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数。

16、(2016 年全国 II 卷 18)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保 人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:学科.网 上年度出险次数 保费 0 1 2 3 4

17、 (2016 年全国 III 卷 18)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折 线图.

?5 2a

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 频数 0 60 1 50 2 30 3 30 4 20

?5
10

[来源:学科网]

(I)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P(A)的估计值; (II)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”. 求 P(B)的估计值; (III)求续保人本年度的平均保费的估计值.

注:年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014. (Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:

?y
i ?1

7

i

? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式: r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a =y ? bt .

? t )2

【答案】1. B 11.C

2.B

3.16,29

4.0.1 5. .

5 6

6.D

7.

1 6

8.A 9.C 10.B

( ? )记“ xy ? 3 ”为事件 A . 则事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,1? , ?1,2? , ?1,3? , ? 2,1? , ?3,1? , 所以, P ? A ? ?

12、(2016 年北京卷 17)解:(I)由用水量的频率分布直方图知, 该市居民该月用水量在区间 ?0.5,1? , ?1,1.5? , ?1.5, 2? , ? 2, 2.5? , ? 2.5,3? 内的频 率依次为 0.1 , 0.15 , 0.2 , 0.25 , 0.15 . 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85 %,用水量不超过 2 立方米的居民占 45 %. 依题意, w 至少定为 3 . (II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表: 组号 分组 频率 1 2 3 4 5 6 7 8

5 5 , 即小亮获得玩具的概率为 . 16 16

( ? )记“ xy ? 8 ”为事件 B ,“ 3 ? xy ? 8 ”为事件 C . 则事件 B 包含的基本事件共有 6 个,即 ? 2,4? , ?3,3? , ?3,4?? 4,2? , ? 4,3? , ? 4,4? , 所以, P ? B ? ?

6 3 ? . 16 8

则事件 C 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,4? , ? 2,2? , ? 2,3? , ?3,2? , ? 4,1? ,

? 2, 4?
0.1

? 4,6?
0.15

? 6,8?
0.2

?8,10?
0.25

?10,12?
0.15

?12,17?
0.05

?17,22?
0.05

? 22, 27?
0.05

所以, P ? C ? ? 因为

5 . 16

3 5 ? , 8 16

根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:

所以,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

4 ? 0.1 ? 6 ? 0.15 ? 8 ? 0.2 ? 10 ? 0.25 ? 12 ? 0.15 ? 17 ? 0.05 ? 22 ? 0.05 ? 27 ? 0.05 ? 10.5 (元).
13、(2016 年山东卷 16)试题分析:用数对 ? x, y ? 表示儿童参加活动先后记录的数,写出基本事件空 间 ? 与点集 S ? 14、(2016 年四川卷 16)(Ⅰ)由频率分布直方图,可知:月用水量在[0,0.5]的频率为 0.08× 0.5=0.04. 同理,在[0.5,1),(1.5,2],[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为 0.08,0.21,0.25,0.06,0.04, 0.02. 由 1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5× a+0.5× a, 解得 a=0.30. (Ⅱ)由(Ⅰ),100 位居民月均水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布,可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300000× 0.13=36000. (Ⅲ)设中位数为 x 吨. 因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5, 而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以 2≤x<2.5. 由 0.50× (x–2)=0.5–0.48,解得 x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨.

?? x, y ? | x ? N, y ? N,1 ? x ? 4,1 ? y ? 4?一一对应.得到基本事件总数为 n ? 16.

( ? )事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,1? , ?1,2? , ?1,3? , ? 2,1? , ?3,1? , 计算即得. ( ? )记“ xy ? 8 ”为事件 B ,“ 3 ? xy ? 8 ”为事件 C .

6 3 ? . 知事件 B 包含的基本事件共有 6 个,得到 P ? B ? ? 16 8 5 . 事件 C 包含的基本事件共有 5 个,得到 P ? C ? ? 16
比较即知. 试题解析:用数对 ? x, y ? 表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间 ? 与点集

S ? ?? x, y ? | x ? N , y ? N ,1 ? x ? 4,1 ? y ? 4?一一对应.因为 S 中元素个数是 4 ? 4 ? 16, 所以基本事
件总数为 n ? 16.

15、 (2016 年全国 I 卷 19) (I)分 x ? 19 及 x.19,分别求解析式; (II)通过频率大小进行比较; (III) 分别求出您 9,n=20 的所需费用的平均数来确定。 试题解析:(Ⅰ)当 x ? 19 时, y ? 3800;当 x ? 19 时, y ? 3800? 500( x ? 19) ? 500x ? 5700, 所以 y 与 x 的函数解析式为 y ? ?



? ti ? 28 ,? yi ? 9.32 ,? ti yi ? 40.17 ,
i ?1
i ?1

7

7

7

i ?1

? (ti ? t )2 ? 2 7 ? 5.292 ,
i ?1

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,

, x ? 19, ?3800 (x ? N ) . , x ? 19, ?500x ? 5700

所以 r ?

7 ? 40.17 ? 28 ? 9.32 ? 0.99 , 7 ? 5.292 ? 0.55

故可用线性回归模型拟合变量 y 与 t 的关系. (2) t ? 4 , y ?
7

(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46,不大于 19 的概率为 0.7,故 n 的最小值 为 19. (Ⅲ) 若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件, 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费 用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用 的平均数为

1 7 ? yi ,所以 7 i ?1

1 (4000 ? 90 ? 4500 ? 10) ? 4050 . 100

?? b

? t y ? 7t ? y
i ?1 i i

?t
i ?1

7

2 i

? 7t 2

1 40.17 ? 7 ? 4 ? ? 9.32 7 ? ? 0.10 , 28

比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件. 16、(2016 年全国 II 卷 18)(Ⅰ)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内 险次数小于 2 的频率为

? ? 1 ? 9.32 ? 0.10 ? 4 ? 0.93 , ? ? y ? bx a 7

60 ? 50 ? 0.55 , 200

故 P(A)的估计值为 0.55. (Ⅱ)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知,学.科网一年内出险次数大 于 1 且小于 4 的频率为

30 ? 30 ? 0.3 , 200

故 P(B)的估计值为 0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为: 保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05

调查 200 名续保人的平均保费为

0.85a ? 0.30 ? a ? 0.25 ? 1.25a ? 0.15 ? 1.5a ? 0.15 ? 1.75a ? 0.30 ? 2a ? 0.10 ? 1.1925a ,
因此,续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a. 15、 (2016 年全国 III 卷 5) (1)变量 y 与 t 的相关系数

r?

? (ti ? t )( yi ? y )
i ?1

7

? (t ? t ) ? ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

7

7

?
2

7? ti yi ? ? ti ? ? yi
i ?1 i ?1 i ?1

7

7

7

7?

? (t ? t )
i ?1 i

7

2

?

?( y ? y)
i ?1 i

7


2


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