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2017届福建省福州外国语学校高三适应性考试(一)数学(文)试题


2017 届福州外国语学校高三适应性考试(一)

数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题
目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小

题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1. .已知全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? x ? 0} ,则 CuM(
2



A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 0或x ? 1}
3

?1 ? i ? 2.设 i 是虚数单位,则 2 ?1 ? i ?
A. 1 ? i B. ? 1 ? i

是( C. 1 ? i

) D. ? 1 ? i

3.设命题 p 和 q ,在下列结论中,正确的是( ① " p ? q" 为真是 " p ? q" 为真的充分不必要条件; ② " p ? q" 为假是 " p ? q" 为真的充分不必要条件; ③ " p ? q" 为真是 " ?p" 为假的必要不充分条件; ④ " ?p" 为真是 " p ? q" 为假的必要不充分条件. A. ①② B. ②④ C.①③ D. ③④



4.已知数列 ?ln an ?是等差数列,数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 已知 S 3 ? a 2 ? 5a1 , A.

a 7 ? 2 ,则 a5 ? ( )
1 2
C. 2 D. ? 2 )

1 2

B. ?

5.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的结果为( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 则

6.已知 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? 1 ? , tan? ? ? ? ? , 5 4? 4 ?
C、

cos ? ? sin ? 的值为 cos ? ? sin ?





A、

13 18 16 3

B、

1 6 32 3

13 22

D、

3 22


7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. B. C.16 D.32



1第

8.已知点 P 是抛物线 x ? 值为( A.2 ) B.1

1 2 y 上的一个动点,则点 P 到点 A(0, 2)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小 4
D. 5 ? 1

C. 5

? y?x ? 9.已知 m>1,在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为( ?x ? y ? 1 ?
A. (1, 1 ?



2)

B. (1 ?

2 , ? ?)

C. (1, 3)

D. (3 , ? ?)

10.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B.4



A. 3

C. 2 3 ? 2

D.

9 2

11.已知双曲线以锐角△ABC 的顶点 B、C 为焦点,经过点 A,若△ABC 内角的对边分别为 a、b、c,且 a=2, b=3,

c sin A 3 ,则此双曲线的离心率为( ? a 2
B.



A.

3? 7 2

3? 7 2

C.

3? 7


D.

3? 7

12.关于函数 f ? x ? ?

2 的是( ? ln x ,下列说法错误 .. x

A. x ? 2 是 f ? x ? 的极小值点 B.函数 y ? f ? x ? ? x 有且只有 1 个零点 C.存在正实数 k ,使得 f ? x ? ? kx 恒成立 D.对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x2 ? x1 ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.已知平面向量 a , b 满足 a ? a ? b ? 5 ,且 a ? 2 , b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的正切值为___________.

? ?

? ? ?

?

?

?

?

?

?

14.点 P ( x, y )是圆x ? ( y ? 1) ? 1 内部的点 ,则 y ? x 的概率__________.
2 2

15.在一组样本数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), L , ( x6 , y6 ) 的散点图中,若所有样本点 ( xi , yi )



2第

6 6 6 1 (i ? 1, 2, L , 6) 都在曲线 y ? bx 2 ? 附近波动.经计算 ? xi ? 11 , ? yi ? 13 , ? xi2 ? 21 ,则实数 b 的 3 i ?1 i ?1 i ?1

值为



16.已知曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线与曲线 y ? ax ? ? a ? 2 ? x ? 1 相切,则 a=
2

三、解答题: (共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17、 (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b ,c. 已 知 m ? sin C , b ? a ? c
2 2

?

2

?,

n ? 2 sin A ? sin C , c 2 ? a 2 ? b 2 且 m // n ;
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.

?

?

18. (本小题满分 12 分) 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动.为了解本次考试学生的某学科成绩情况,从中抽取 部分学生的分数(满分为 100 分,得分取正整数,抽取学生的分数均在 ?50,100? 之内)作为样本(样本容 量为 n)进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , ?90,100? 的分组作出频率分布直方图, 并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在 [50, 60) , ?90,100? 的数据) .
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“省级学科基础知 识竞赛”,求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 ?90,100? 内的概率.

A1
19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1 B ? B1 A ? AB ? BC ? 2 ,

B1

C1

?B1 BC ? 90? , D 为 AC 的中点, AB ? B1 D .
(Ⅰ)求证:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ;
页 3第

A

D
B
C

(Ⅱ)求三棱锥 C ? BB1 D 的体积.

20. (本题满分 12 分) 已知 F1, F2 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过椭圆右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l a 2 b2
2 2

与椭圆 C 相交于 E、F 两点, ?EFF1 的周长为 8,且椭圆 C 与圆 x ? y ? 3 相切。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A 为椭圆的右顶点,直线 AE,AF 分别交直线 x ? 4 于点 M ,N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线

PF2 的斜率为 k ? ,求证 k ? k ? 为定值.



4第

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2ax 2 ? (a ? 4) x ? ln x . (1)若 f ( x) 在 x ?

1 处的切线与直线 4 x ? y ? 0 平行,求 a 的值; 4

(2)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交于 A, B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 , 求证: f ?( x0 ) ? 0 .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,AB 是圆 O 的直径,C、F 是圆 O 上的两点,OC⊥AB, 过点 F 作圆 O 的切线 FD 交 AB 于点 D. 连接 CF 交 AB 于点 E. (1)求证:DF=DE; (2)若 DB=2,DF=4,求圆 O 的面积.

23.(本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两坐标系中取相同的单位长度, 已知曲线 C 的方程为 ? 2 ?

3 ? ,点 A(2 3 , ) . 2 1 ? 2 sin ? 6

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和点 A 的直角坐标; (2)设 B 为曲线 C 上一动点,以 AB 为对角线的矩形 BEAF 的一边平行于极轴, 求矩形 BEAF 周长的最小值及此时点 B 的直角坐标.

24. (本题满分 10 分) 【选修 4—5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ? x ? 2 (1)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 (2)若 a ? 0 ,求证: f (ax) ? f (2a ) ? af ( x)



5第

2017 届福州外国语学校高三适应性考试(一)

数学(文)试卷答案
题 号 答 案 13、 3 17、解: (1) B B C A C D 15、 5 A D A B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

14、

3? ? 2 4?

7

16、8

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B ,……1 分 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , ……2 分 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ,……4 分 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 ,因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π ;……6 分 3 2 (Ⅱ) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) ……7 分 2 4 2
? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C ) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4 π ? 2 A ? ……8 分 ? ? 4 2 4 2? 3 ?
? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3

?

?

?

?

?

?

……9 分

因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π ,故 π ? 2 A ? π ? 5π ,……10 分 3 3 3 3 3 因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 ,所以 3 ? T ≤ 9 3 2 2 4 18. 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

?

?

……12 分

8 ? 50 , ……2 分 0.016 ?10

y?

2 ? 0.004 , ……4 分 50 ?10

x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 . ……6 分
(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80,90] 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,分数在 [90,100] 内 的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 ,抽取 2 名学生的所有情况有 21 种,分别 为: ? a1 , a2 ? , ? a1 , a3 ? , ? a1 , a4 ? , ? a1 , a5 ? , ? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , a4 ? , ? a2 , a5 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? ,

? a3 , a4 ? , ? a3 , a5 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , a5 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ? a5 , b1 ? , ? a5 , b2 ? , ?b1, b2 ? . ……8 分
其中 2 名同学的分数恰有一人在 [90,100] 内的情况有 10 种, ∴ 所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? 19. 解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O ,连结 OD , OB1 .
页 6第

……10 分

10 .……12 分 21
A1

B1

C1

因为 B1 B ? B1 A ,所以 OB1 ? AB . 又 AB ? B1 D , OB1 ? B1 D ? B1 , 所以 AB ? 平面 B1OD , 因为 OD ? 平面 B1OD ,所以 AB ? OD .…3 分 由已知, BC ? BB1 ,又 OD // BC , 所以 OD ? BB1 ,因为 AB ? BB1 ? B , 所以 OD ? 平面 ABB1 A1 .又 OD ? 平面 ABC , 所以平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 . ………………6 分

(Ⅱ)三棱锥 C ? BB1 D 的体积=三棱锥 B1 ? BCD 的体积 由(Ⅰ)知,平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 ,平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 ? AB ,

OB1 ? AB ,

OB1 ? 平面 ABB1 A1

所以 OB1 ? 平面ABC ,即 OB1 ? 平面BCD ,

B1O 即点 B1 到 平面BCD 的距离,
S ?BCD ? 1 S ?ABC ? 1 2

B1O ? 3

…………………………9 分 ………………………… 11 分

所以 VC ? BB1D ? V B1 ? BCD ?

1 3 ?1? 3 ? 3 3

………………………… 12 分 ………3 分

20. 解: (Ⅰ)由题意得? 焦点?EFF1的周长为8,? 4a ? 8,? a 2 ? 4且b 2 ? 3 所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 . …………………… 4 分 4 3

(Ⅱ)设过点 F2 ?1, 0 ? 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) , 设点 E ( x1 , y1 ) ,点 F ( x 2 , y 2 ) 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C :
2 2 2 2

………5 分

x2 y2 ? ?1 4 3
……… 6 分

整理得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0

因为点 F2 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, ? ? 0 恒成立,

8k 2 且 x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 3
直线 AE 的方程为: y ?

4k 2 ? 12 x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 3

………7 分

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AF 的方程为: y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2

令 x ? 4 ,得点 M ? 4,

? ?

? 2 y2 ? 2 y1 ? ? , N ? 4, ?, x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ?



7第

所以点 P 的坐标 ? 4,

? ?

y1 y ? ? 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?

……… 8 分

y1 y ? 2 ?0 x ? 2 x2 ? 2 y 1 y 直线 PF2 的斜率为 k ' ? 1 ? ( 1 ? 2 ) 4 ?1 3 x1 ? 2 x2 ? 2

?

1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 3 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 3 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

……… 10 分

将 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 代入上式得: , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

1 k'? ? 3

2k ?

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ?? 2 2 4k ? 12 8k k ?2 2 ?4 2 4k ? 3 4k ? 3
……………………………………12 分

所以 k ? k ' 为定值 ?1 .

21. 解: (1)由题知 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ?( x) ?

4ax 2 ? (a ? 4) x ? 1 . x

又∵ f ( x) 的图象在 x ?

1 处的切线与直线 4 x ? y ? 0 平行, 4

1 1 1 ∴ f ?( ) ? ?4 ,即 4[4a ? ? (a ? 4) ? ? 1] ? ?4. 解得 a ? ?6. ………3 分 4 16 4

(2) f ?( x) ?

4ax 2 ? (a ? 4) x ? 1 (4 x ? 1)(ax ? 1) 4x ? 1 ,由 x ? 0 ,知 >0. ? x x x

①当 a ? 0 时,对任意 x ? 0, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增。 ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? , 当 0 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,
1 1 此时, f ( x) 的单调递增区间为 (0,? ) ,递减区间为 (? ,??). …… 7 分 a a
1 a 1 a 1 a

(3)不妨设 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,且 0 ? x1 ? x2 ,由(2)知 a ? 0 ,则 要证 f ?( x) ? 0 成立,只需证: x0 ? ? 即
1 a x1 ? x2 1 ?? . 2 a

∵ f ( x1 ) ? 2ax12 ? ? a ? 4 ? x1 ? ln x1 ? 0 , f ( x2 ) ? 2ax2 2 ? ? a ? 4 ? x2 ? ln x2 ? 0 , 两式相减得: 2ax12 ? (a ? 4) x1 ? ln x1 ? 2ax2 2 ? (a ? 4) x2 ? ln x2 ? 0 , 即 a(2 x12 ? 2 x2 2 ? x1 ? x2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 0 ,



8第

∴ ? ?

1 a

2 x12 ? x1 ? 2 x2 2 ? x2 x ?x 2 x12 ? x1 ? 2 x2 2 ? x2 ,故只需证 1 2 ? , 4 x1 ? ln x1 ? 4 x2 ? ln x2 2 4 x1 ? ln x1 ? 4 x2 ? ln x2

即证明 ( x1 ? x2 )[4 ? x1 ? x2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ?] ? 4 x12 ? 2 x1 ? 4 x2 2 ? 2 x2 ,
x 2 x1 ? 2 x2 ,变形为 ln 1 ? x2 x1 ? x2 2? x1 ?2 x2 , x1 ?1 x2

即证明 ln x1 ? ln x2 ?

设t ?

(t ? 1) 2 x1 2t ? 2 1 4 ,则 g ?(t ) ? ? , ? (0 ? t ? 1) ,令 g (t ) ? ln t ? t ?1 x2 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

显然当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ,当且仅当 t ? 1 时, g ?(t ) =0, ∴ g (t ) 在 (0,??) 上是增函数. 又∵ g (1) ? 0 ,

∴ 当 t ? (0,1) 时, g (t ) ? 0 总成立,命题得证.………………… 12 分
22、解:略

23、解: (Ⅰ)由 x ? ? cos ?,y ? ? sin ? ,
∴ 曲线 C 的直角坐标方程为
x2 ? y 2 ? 1 ,点 A 的直角坐标为 (3, 3) .………(4 分) 3

? ? x ? 3 cos ?, (? 为参数, ? ? [0,2 π)) , (Ⅱ)曲线 C 的参数方程为 ? ? ? y ? sin ?,
∴ 设 B( 3 cos ?,sin ? ) ,

依题意可得 | BE |? 3 ? 3 cos ?, | BF |? 3 ? sin ? ,

…………………………………(6 分)

矩形 BEAF 的周长 ? 2 | BE | ?2 | BF |? 6 ? 2 3 ? 2 3 cos ? ? 2sin ?
π? ? ? 6 ? 2 3 ? 4sin ? ? ? ? , ………………………………………………(8 分) 3? ?

当? ?

π 时,周长的最小值为 2 ? 2 3 , 6

?3 1? 此时,点 B 的直角坐标为 ? , ? . ?2 2?

…………………………………………………(10 分)

24、解: (I)由题意,得 f ( x) ? f ( x ? 1) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , 因此只须解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 --------------------------------------1 分 当 x≤1 时,原不式等价于-2x+3≤2,即

1 ? x ? 1 ;----------------------------2 分 2 5 .------------------------------4 分 2
9第

当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1≤2,即 1 ? x ? 2 ;-----------------------------3 分 当 x>2 时,原不式等价于 2x-3≤2,即 2 ? x ?



综上,原不等式的解集为 {x

1 5 ? x ? } . ----------------------------------5 分 2 2

(II)由题意得 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 -----------------------------6 分

? ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax --------------8 分 ? 2a ? 2 ? f (2a ) -------------------------------------9 分
所以 f (ax) ? f (2a ) ? af ( x) 成立.----------------10 分



10 第


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