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高中数学必修3教学设计:3.2.1《古典概型》山东 教案(人教A版必修3)


古典概型 教材分析
古典概型是概率中最基本、 最常见而又最重要的类型之一. 这节内容是在一般随机事件的 概率的基础上,进一步研究等可能性事件的概率.教材首先通过一些熟悉的例子,归纳出 古典概型的特征,进而给出古典概型的定义,这里渗透了从特殊到一般的思想.这节课的 重点内容是古典概型的概念,难点是利用古典概型的概念求古典概率.

教学目标
1

. 通过实例对古典概型概念的归纳和总结,使学生体验知识产生和形成的过程,培养学 生的抽象概括能力. 2. 理解古典概型的概念,能运用所学概念求一些简单的古典概率,并通过实例归纳和总 结出概率的一般加法公式. 3. 通过对古典概型的学习,使学生进一步体会随机事件概率的实际意义.

任务分析
这节内容在学生已理解随机事件概率的基础上, 由具体的例子抽象出古典概型的概念. 在 这里, 一个试验是否为古典概型是难点, 故要通过具体例子总结古典概型的两个共同特征, 特别要注意反例的列举.

教学设计
一、问题情境
1. 掷一颗骰子,观察出现的点数.这个试验的基本事件空间 Ω={1,2,3,4,5,6}.它 有 6 个基本事件.由于骰子的构造是均匀的,因而出现这6种结果的机会是均等的,均为 . 2. 一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的情况.这个试验的基本事件空间 Ω={(正, 正),(正,反),(反,正),(反,反)}.它有 4 个基本事件.因为每一枚硬币“出 现正面”与“出现反面”的机会是均等的,所以可以近似地认为出现这 4 种结果的机会是均 等的,均为 .

1

3. 在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”. 这个试验的基本事件空间为 Ω= {发 芽,不发芽},而这两种结果出现的机会一般是不均等的.

二、建立模型
1. 讨论以上三个问题的特征 在这里,教师可引导学生从试验可能出现的结果上以及每个结果出现的可能性上讨论. 结论:(1)问题 1,2 与问题 3 不相同. (2)问题 1,2 有两个共同特征: ①有限性.在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件. ②等可能性.每个基本事件发生的可能性是均等的. 2. 古典概型的定义 通过学生的讨论,归纳出古典概型的定义. 如果一个随机试验有上述(2)中的两个共同特征,我们就称这样的试验为古典概型,上 述前 2 个例子均为古典概型. 一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征———有限性和等 可能性,并不是所有的试验都是古典概型.例如,第 3 个例子就不属于古典概型. 3. 讨论古典概型的求法 充分利用问题 1,2 抽象概括出古典概型的求法. 一般地,对于古典概型,如果试验的 n 个事件为 A1,A2,…,An,由于基本事件是两两 互斥的,则由互斥事件的概率加法公式,得 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=P(A1∪A2∪…∪An)=P(Ω)=1. 又∵P(A1)=P(A2)=…=P(An),

∴代入上式,得 nP(A1)=1,即 P(A1)=



∴在基本事件总数为 n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率为



2

如果随机事件A包含的基本事件数为 m,同样地,由互斥事件的概率加法公式可得 P(A) =mn,即 .

三、解释应用
[例题一] 1. 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率. 注:规范格式,熟悉求法. 2. 从含有两件正品 a1, a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取一件, 每次取出后不放回, 连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. [练习一] 在例 2 中,把“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”,其余条件不变,求取出的两件 产品中恰有一件次品的概率. 注意:放回抽样与不放回抽样的区别. [例题二] 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布).求: (1)平局的概率. (2)甲赢的概率. (3)乙赢的概率. 解:把甲、乙出的“锤子”、“剪刀”、“布”分别标在坐标轴上. 其中△为平局,⊙为甲赢,※为乙赢,一次出拳共有 3× 3=9 种,结果如图 29-1.设平局 为事件 A,甲赢为事件 B,乙赢为事件 C.

3

由古典概率的计算公式,得

思考:例 3 这类概率问题的解法有何特点?

[练习二] 抛掷两颗骰子,求:(1)点数之和出现 7 点的概率.(2)出现两个 4 点的概率. [例题三] 掷红、蓝两颗骰子, 事件 A={红骰子的点数大于 3} ,事件 B= {蓝骰子的点数大于 3}, 求事件 A∪B={至少有一颗骰子点数大于 3}发生的概率. 教师明晰:古典概型的情况下概率的一般加法公式. 设 A,B 是 Ω 中的两个事件. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),

特别地,当 A∩B= [练习三]

时,P(A∪B)=P(A)+P(B).

一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为 0.85,乙熔断的概率为 0.74,两根同 时熔断的概率为 0.63.问:至少有一根熔断的概率是多少?

四、拓展延伸
每个人的基因都有两份,一份来自父亲,另一份来自母亲.同样地,他的父亲和母样的基 因也有两份.在生殖的过程中,父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代. 以褐色的眼睛为例,每个人都有一份基因显示他眼睛的颜色: (1)眼睛为褐色. (2)眼睛不为褐色. 如果孩子得到父母的基因都为“眼睛为褐色”, 则孩子的眼睛也为褐色.如果孩子得到父母 的基因都为“眼睛不为褐色”,则孩子眼睛不为褐色(是什么颜色取决于其他的基因).如 果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”,另一份为“眼睛不为褐色”,则孩子的眼睛不会

4

出现两种可能, 而只会出现眼睛颜色为褐色的情况.生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫作 显性基因. 为方便起见,我们用字母 B 代表“眼睛为褐色”这个显性基因,用 b 代表“眼睛不为褐色” 这个基因.每个人都有两份基因,控制一个人眼睛颜色的基因有 BB,Bb(表示父亲提供 基因 B,母亲提供基因 b),bB,bb.注意在 BB,Bb,bB 和 bb 这 4 种基因中只有 bb 基因显示为眼睛颜色不为褐色,其他的基因都显示眼睛颜色为褐色. 假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为 Bb,则孩子眼睛不为褐色的概率有多大?





这篇案例设计思路清晰,重点突出,目标明确,为分散难点案例采用了从具体到抽象的方 法, 充分展示了知识的形成过程, 使学生感到自然, 没有突兀感, 符合学生的认知规律. 例 题的设计有梯度, 跟踪练习有针对性, 教学过程充分发挥了学生自主学习和合作学习的学 习方式,对学生后继学习能力的培养有积极的作用.

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