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湖北省黄冈中学竞赛训练题 高二物理16


黄冈中学竞赛训练题 高二物理(16)

(一)静电场 1、半径为 R 的均匀带电半球面,电荷的面密度为 α,试求球心处的电场强度. [分析及答案] 分析:球心处的电场是球面上各个面元(可以看成点电荷)激发 分析 的电场的矢量叠加,所以有必要针对任意一个面元△S 在球心处 激发电场的场强进行定量考查. 如图 7-5 所示,设半球面带正电,在球面上的 p 处取一极

小的面 元△S,由于面元很小,可以视为点电荷,所以它在球心 O 点激发 的场强大小为: ,方向由 p 指向 O 点. 无穷多个这样的面元激发的场强大小和△S 激发的完全相同,但 方向各不相同,它们矢量合成的效果怎样呢? 由于每一个△S 都可以找到一个相对 z 轴对称的△S′(图中未画出),而△S′激发的场强和△

S 在 O 点激发的场强在 xOy 平面的分量必然大小相等、方向相反,它们会相互抵消,所以:

最后的

所以先求

,而且△Scosα为面元△S 在 xoy 平面的投影,设为△

Sz,所以:



,代入上式即可求得

.

答案: 答案 E=kπσ,方向垂直边界线所在的平面(具体方向因电性的不同而不同).

2、一根无限长均匀带电细线弯成如图 7-6 所示的平面图形,其中 AB 是 半径为 R 的半圆弧,AA′平行于 BB′,试求圆心处的电场强度.(第 5 届预 赛) 图 7-6 [分析及答案] 分析:本题仍然是矢量叠加的应用,在选取叠加的对象方面,我们仍然遵从成对选取的原则:取 相对 O 点两边对顶角(很小的)位置的元段△l 和△l′,如图 7-7 所示.并设这两个元段对应 的方位角为θ,导线电荷线密度为λ (带正电),则: △l 在 O 点激发的场强

,方向由元段指向 O 点, △l′在 O 点激发的场强 ,方向和△E 相反, 而 又 ,所以:

, 考虑到它们的方 向是相反的,所以这一对元段在 O 点激发的合场强为零.而整个导线是由无穷多对这样的元段组 成的,最后的合砀强的值也必然为零.
答案:为零.

3、 如图 7-8 所示, 在竖直平面内有半径为 R=5cm 的线圈.质量为 m=lg 的小球系在长度为 l 的绝缘细线上, 从线圈的最高点悬挂着.当线圈和 小球都带有 Q=9×10-8 C 的相同电量时, 发现小球在垂直线圈平面的对称轴上处 于平衡.试求绳子的长度. (第 3 届国际奥赛) [分析及答案] 分析:本题应默认线圈上的带电是均匀的,这样,线圈在小球处激发的场强才是沿着轴线的,小 球受力方向确定后,绳子长度 l 才可解. 根据成对找叠加对象的方法, 我们很容易发现, 所有元段在小球位置激发的场强在垂直轴线方向 上的分量的矢量和为零.所以,小球处的合场强(引进绳子角度θ,参见图 7-9):

小球受电场力 根据静力学常识,显然有 mg=Ftanθ 另有几何关系

① ②

解①②③式可得: 答案:7.19cm.

4、半径为 R 的薄球壳,总电量仍为 Q,试问: (1)当电量均匀分布时,球心电势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少? (2)当电量不均匀分布时,球心电势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少? [分析及答案] 分析:求电势时,叠加原理体现为标量叠加.至于叠加元段(元面)的选取,仍可沿用成对选取 的原则.参照图 7-10,在球壳内取一点 p,以 p 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体,锥体与 球面相交得到球面上的两个面元△S1 和△S2,然后考查这两个面元在球壳中 P 点形成电势的叠 加情况.

(1)如果 P 点在球心(未示图),△S1 形成的电势为 形成的电势为△U2 和△U1 完全相同(符号也相同),所以:

,而且△S ,
2

如果 P 点不在球心,引进面电荷密度σ和空间角△Ω(很小),则:

它们代数叠加成:

而 r +r =2Rcosα
1 2

所以△U=2Rkσ△Ω 所有面元形成电势的叠加为:

UP=
注意:一个完整球面的 (单位:球面度 sr),但作为对顶的锥角, 只能是 2

π,所以

(2)球心电势的求解和电荷分布均匀时相同; 球内任一点的电势求解可以从(1)问的求解过程得到结论的反证.

答案: (1)球心、球内任一点的电势均为

; (2)球心电势仍为

,但其他各点的电势将随电量的分

布情况的不同而不同(内部不再是等势体,球面不再是等势面).

5、 有些仪器, 如静电加速器, 其高压电极外面都有一接地的金属罩, 罩内充有一定压强的气体. 假 定电极是一金属球,接地金属罩是一同心金属薄球壳(如图 7-11 所示),仪器工作时要求电极 与金属罩之间的电势差为 U0.选择适当的电极半径 R1, 和球壳半径 R2,有可能使靠近电极表面处场强低于气体的击穿场强,从而使气 体不被击穿. (1)若 R1 已给定,则在理想情况下,R2 取何值,电极处的场强 有最小值?
(2)在实际情况中往往适当选择 Rl/R2 的值,使电极处的场强为上述最小 值的若干倍,但仍低于击穿场强.求当电极处的场强为上述最小值的 4 倍 时,Rl/R2 应选的值.(第 9 届预赛) [分析及答案]

分析:金属罩的感应电荷在球形电极附近激发的场强为零,这里只要求出球形电极 的带电量 Q 就行了.Q 的求法有两种选择:a.用球壳电势关系结合叠加原理;b.直接用电容器 公式. 方法一,电势叠加. 金属罩的电势为零,球形电极的电势必为 U ,但是这个 U0 是两部分电荷形成的电势的代数和:
0

球形电极自身的电荷 Q,和金属罩内部感应电荷(-Q).它们在球心形成的电势分别为

,所以:

(注意:a.针对球心写表达式,是因为我们不知道感应电荷的分布是否均匀,即便电荷 分布不均匀,球壳的球心电势公式仍可用;b.球形电极是等势体,故球心的电势也为 U0).

这样解出 方法二,电容器公式.

有了球形电极的电量,求场强就方便了.

(1)

显然,当 R →∞时,
2

(2)当 答案:(1)R 趋于无穷大;(2)3/4.
2

6、图 7-12 中,三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒, 每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同.点 A 是△abc 的中心,点 B 则与 A 相对 bc 棒对称,且已测得它们 的电势分别为 UA 和 UB.试问:若将曲棒取走,A、B 两点的电 势将变为多少?

[分析及答案] 分析:由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形,故前面的定式不能直接应 用.若用元段分割叠加,也具有相当的困难.所以这里介绍另一种求电势的方法. 每根细棒的电荷分布虽然复杂,但相对各自的中点必然是对称的,而且三根棒的总电量、分布情 况彼此必然相同.这就意味着: ①三棒对 A 点的电势贡献都相同(可设为 U );
1

②ab 棒、ac 棒对 B 点的电势贡献相同(可设为 U ;
2

③bc 棒对 A、B 两点的贡献相同(为 U ).
1

所以,取走 ab 前 3U1=UA 2U +U =UB
2 1

取走 ab 后,因三棒是绝缘体,电荷分布不变,故电势贡献不变,所以

UA′=2 U UB′=U +U
1 1

2

答案:

.

7、电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R,CD 为通过半 球面顶点 C 与球心 D 的轴线,如图 7-13 所示,P、Q 为 CD 轴线上 在 O 点两侧、离 O 点距离相等的两点,已知 P 点的电势为 UP,试求 Q 点的电势 UQ. (第 8 届预赛)

[分析及答案] 分析:这里我们介绍填补法的应用. 将半球面补成完整球面, 并令右边内、外层均匀地带上电量为 q 的电荷,如图 7-14 所示. 从电量的角度看,右半球面可以看做不存在,故这时 P、Q 的电势不会有任何改变. 而换一个角度看,P、Q 的电势可以看成是两者的叠加:①带 电量为 2q 的完整球面;②带电量为-q 的半球面.

考查 P 点, 其中 U 半球面显然和未填补时 Q 点的电势大小相等、符号相反,即 U 半球面=-UQ 以上的两个关系已经足以解题了.

答案:

.

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