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2012年高考数学二轮精品复习资料


【考点在线】 考点一 集合的概念 2 例 1.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则 M∩N=( A.(0,1),(1,2) C.{y|y=1,或 y=2} B.{(0,1),(1,2)} D.{y|y≥1}



【备考提示】:正确理解集合中的代表元素是解答好本题的关键. 练习 1:若 P={y|

y=x ,x∈R},Q={y|y=x +1,x∈R},则 P∩Q 等于( A.P B.Q C. D.不知道
2 2



考点二

集合元素的互异性

例 2. 若 A={2, 4, a 3-2 a 2- a +7},B={1, a +1, a 2-2 a +2, 1 ( a 2-3 a -8), a 3+ a
2

2

+3 a +7},且 A∩B={2,5},则实数 a 的值是________.

考点三

集合间的关系

例 3.设集合 A={ a | a =3n+2,n∈Z},集合 B={b|b=3k-1,k∈Z},则集合 A、B 的关系是 ________. 【名师点睛】这里说明 a ∈B 或 b∈A 的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推 理. 【备考提示】:集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必 须解决的问题,因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的 关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去. 考点四 要注意利用数形结合思想解决集合问题

集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工 具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活 直观地获解.

1

例 4.设全集 U={x|0<x<10,x∈N },若 A∩B={3},A∩CUB={1,5,7},CUA∩CUB={9}, 则集合 A、B 是________. 【答案】A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}. 【解析】由题意,画出图如下:

*

由图可知: A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
【名师点睛】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图,用填图的方法来得简捷, 由图不难看出. 【备考提示】:熟练数形结合的思想是解答好本题的关键. 练习 4.集合 A={x|x +5x-6≤0},B={x|x +3x>0},求 A∪B 和 A∩B.
2 2

【答案】A∪B=R, A∩B={x|-6≤x<-3 或 0<x≤1}. 【解析】本题采用数轴表示法,根据数轴表示的范围,可直观、准确的写出问题的结果.∵ A={x|x -5x-6≤0}={x|-6≤x≤1},
2

B={x|x +3x>0}={x|x<-3,或 x>0}. 如图所示, ∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3,或 x>0}=R. A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3,或 x>0}={x|-6≤x<-3,或 0<x≤1}. 【易错专区】 问题 1:空集

2

例 1.已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2- a x+ a -1=0},且 A∪B=A,则 a 的值
为______. 解: ∵ A∪B=A, ? B ? A, ∵ A={1,2},∴ B= ? 或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}. 若 B= ? ,则令△<0 得 a ∈ ? ; 若 B={1},则令△=0 得 a =2,此时 1 是方程的根; 若 B={2},则令△=0 得 a =2,此时 2 不是方程的根,∴ a ∈ ? ; 若 B={1,2}则令△>0 得 a ∈R 且 a ≠2,把 x=1 代入方程得 a ∈R,把 x=2 代入方程得 a =3.

2

1.(2011 年高考山东卷文科 1)设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( ) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]

(A)[1,2) 【答案】A

【解析】因为 M ? ?x | ?3 ? x ? 2? ,所以 M ? N ? ?x |1 ? x ? 2? ,故选 A. 2. (2011 年高考海南卷文科 1)已知集合 M ? ?0,1,2,3,4? , N ? ?1,3,5? , P ? M ? N ,则 P 的子集共有( A.2 个 【答案】B 【解析】因为 M ? N ? ?1,3? 中有两个元素,所以其子集个数为 2 ? 4 个,选 B.
2

) B.4 个 C.6 个 D.8 个

3 . (2011 年高考安徽卷文科 2) 集合 U ? ? , ?, ?, ?, ?, ? ? , S ? ?, ?, ?? , T ? ?, ?, ?? , 则

?

?

?

S I (CU T ) 等于(
(A) ?, ?, ?, ??

)

?

(B) ?, ??

?

(C)

???

(D) ?, ?, ?, ?, ??

?

【答案】B 【解析】 ? 1,5,6? ,所以 S ? 1,6? .故选 B. UT ? ? UT ? ? 4 . (2011 年高考广东卷文科 2) 已知集合 A ?

?

?

?? x, y ? | x、y 为实数,且 x

2

? y 2 ? 1? ,

3

5. (2011 年高考江西卷文科 2)若全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? {2,3}, N ? {1, 4} ,则集合

{5, 6} 等于(
A. M ? N 【答案】D 【解析】

) B. M ? N C. (CU M ) ? (CU N ) D. (CU M ) ? (CU N )

1,2,3,4,5,6?, M ?N ?? 1,2,3,4?, M ? N ? ? , ?CU M ? ? ?CU N ? ? ?

?CU M ? ? ?CU N ? ? ?5,6?.
6.(2011 年高考福建卷文科 1)若集合 M={-1,0,1} ,N={0,1,2} ,则 M∩N 等于 A.{0,1} C.{0,1,2} 【答案】A 【解析】因为 M ? N ? ??1,0,1 ? ??0,1, 2? ? ?0,1? ,故选 A. 7. ( 2011 年高考湖南卷文科 1) 设全集 U ? M ? N ? {1, 2, 3, 4, 5}, 则 M? C U N ? {2, 4}, B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}

N ?(
A. {1, 2,3} 答案:B

) B. {1,3,5} C. {1, 4,5} D. {2,3, 4}

解析:画出韦恩图,可知 N ? {1,3,5} 。

8. (2011 年高考湖北卷文科 1)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则 C? ( A ? B ) =

4

A.{6,8}

B. {5,7}

C. {4,6,7}

D. {1,3,5,6,8}

10 . ( 2011 年 高 考 全 国卷 文 科 1) 设集合 U= ?1,2,3,4? , M ? ?1,2,3? , N ? ?2,3,4? , 则

? ( =( U M ? N)
(A) ?1 , 2? 【答案】D

) (B) ?2, 3? (C) ?2,4? (D) ?1 ,4?

【解析】 M ? N ? {2,3} , CU (M ? N ) ? ?1 ,4? .
2 2 11. (2011 年高考陕西卷文科 8)设集合 M ? y | y ?| cos x ? sin x |, x ? R? ,

?

1 N ? {x || x ? |? 2, i为虚数单位,x ? R} 则 M ? N 为 i
(A) (0,1) 【答案】C
2 2 【解析】 :由 y ?| cos x ? sin x |?| cos 2x |?[0,1] 即 M ? [0,1]

(B) (0,1]

(C) [0,1)

(D) [0,1]

由 | x ? |?

1 i

2 得 | x ? i |? x2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? x ? 1 即 N ? (?1,1) M ? N ? [0,1) 故选 C
)

12.(2011 年高考浙江卷文科 1) 若 P ? {x x ? 1}, Q{x x ? ?1} ,则( (A) P ? Q 【答案】 C (B) Q ? P (C) ?R P ? Q

(D) Q ? ?R P

【解析】 :? 痧 ?, ? R P ? Q ,故选C R P ? ?x | x ? 1 13. (2011 年高考天津卷文科 4)设集合

A ? ?x ? R | x ? 2 ? 0?, B ? ?x ? R | x ? 0? , C ? ?x ? R | x( x ? 2) ? 0?, 则“ x ? A ? B ”

5

是“ x ? C ”的(

)

15. (2011 年高考重庆卷文科 2)设 U ? R, M ? {x | x ? 2 x ? 0}, ,则 ? U M =( )
2

A.[0,2] C. ? ??,0? ? ? 2, ??? 【答案】A

B. ? 0, 2 ? D. ? ??,0? ? ?2, ???

2 2 ? c ≥3”, 16.(2011 年高考山东卷文科 5)已知 a, b, c∈R, 命题“若 a ? b ? c =3, 则 a2 ? b

的否命题是
2 2 2 (A)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3

2 2 2 (B)若 a+b+c=3,则 a ? b ? c <3

2 2 2 (C)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c ≥3

2 2 2 (D)若 a ? b ? c ≥3,则 a+b+c=3

【答案】A 【解析】命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 ? p ,则 ? q ”,故选 A. 17. (2011 年高考天津卷文科 4)设集合

A ? ?x ? R | x ? 2 ? 0?, B ? ?x ? R | x ? 0? , C ? ?x ? R | x( x ? 2) ? 0?, 则“ x ? A ? B ”
是“ x ? C ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6

【答案】C

解析:因 " x ? 1" ? "| x |? 1" ,反之

"| x |? 1" ? " x ? 1或x ? ?1" ,不一定有 " x ? 1" 。
20. (2011 年高考陕西卷文科 1)设 a , b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则 a ? b ”的逆命题 是 (A)若 a ? ?b 则 a ? b (C)若 a ? b 则 a ? ?b 【答案】D 【解析】 :交换一个命题的题设与结论,所得到的命题与原命题是(互逆)命题。故选 D 21. (2011 年高考天津卷文科 9) 已知集合 A ? ?x ? R || x ?1|? 2? , Z 为整数集 , 则集合 (B)若 a ? ?b 则 a ? b (D)若 a ? b 则 a ? ?b

A ? Z 中所有元素的和等于
【答案】3

.

【解析】因为 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,所以 A ? Z ? ?0,1, 2? ,故其和为 3. 22.(2011 年高考江苏卷 1)已知集合 A ? {?1,1, 2, 4}, B ? {?1,0, 2}, 则 A ? B ? _______, 【答案】 ??1, 2?

7

【解析】考察简单的集合运算,容易题. A ? B ? {?1,1, 2, 4} ?{?1,0, 2} ? ??1, 2? .

半径的圆,集合 B 是在两条平行线之间,?

2 ? 2m ? 1 2 ? m ? (1 ? 2)m ? ? 0 ,因为 2 2
m 和 m 为半径的圆 2

A ? B ? ? , 此时无解;当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以

2 ? 2 m ?1 ? 2 ?1 ? 2 ?m 环 , 集 合 B 是 在 两 条 平 行 线 之 间 , 必 有 ? 2?2 m ? ? m ? 2 ?1 . 又 因 为 ?m 2 ? ? 2 m 1 ? m2 ,? ? m ? 2 ? 1 . 2 2

24. (2011 年高考陕西卷文科 14)设 n ? N ? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充
2

要条件是 n ? 【答案】3 或 4 【解析】 :由韦达定理得 x1 ? x2 ? 4, 又 n ? N ? 所以 ? 【高考冲策演练】 一、选择题:
2 1. (2010 年高考山东卷文科 1)已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =

? x1 ? 1 ? x1 ? 2 则 x1 ? x2 ? 3或4 . 或? ? x2 ? 3 ? x2 ? 2

?

?

( A.



? x ?2 ? x ? 2?

B.

? x ?2 ? x ? 2?

C. x x ? ?2或x ? 2 【答案】C

?

?

D.

? x x ? ?2或x ? 2?

8

2 【解析】因为 M ? x x ? 4 ? 0 ? x ?2 ? x ? 2 ,全集 U ? R ,

?

? ?

?

所以 CU M ? x x ? ?2或x ? 2 ,故选 C。

?

?

3. (2010 年高考福建卷文科 1) 若集合 A=?x|1 ? x ? 3? , 则 A ? B 等于 ( B=?x|x>2? , A.



?x|2<x ? 3?

B.

?x|x ? 1?

C.

?x|2 ? x<3?

D.

?x|x>2?

【答案】A 【解析】 A ? B = ?x|1 ? x ? 3? ? ?x|x>2? = ?x|2<x ? 3? ,故选 A.
2 4 . (2010 年 高 考 北 京 卷 文 科 1) 集 合 P ? { x ? Z 0 ? x ? 3} , M ? {x ? Z x ? 9} ,则

P I M =(
(A) {1,2}

) (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}

5. (2010 年高考江西卷文科 2)若集合 A ? x x ≤1 ,B ? x x≥0 , 则 A ? B ?( A. x ?1≤x≤1 C. x 0≤x≤1 【答案】C 【解析】 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 1} ? {x | x ? 0} ? {x | 0 ? x ? 1} 。 6.(2010 年高考浙江卷文科 1)设 P ? {x | x ? 1}, Q ? {x | x ? 4}, 则 P ? Q ? (
2

?

?

?

?



?

?

B. x x≥0 D. ?

?

?

?

?



9

(A) {x | ?1 ? x ? 2} (C) {x |1 ? x ? ?4}

(B) {x | ?3 ? x ? ?1} (D) {x | ?2 ? x ? 1}

8. (2010 年高考山东卷文科 7)设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列

?an ? 是递增数列”的(
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】C

) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】 若已知 a1 <a 2 , 则设数列 ?a n ? 的公比为 q , 因为 a1 <a 2 , 所以有 a1 <a1q , 解得 q>1, 又 a1 >0 ,所以数列 ?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增数列,则公比 q>1且 a1 >0 , 所以 a1 <a1q ,即 a1 <a 2 ,所以 a1 <a 2 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件。 【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,属保分题。 9. (2010 年高考天津卷文科 5)下列命题中,真命题是( ) (A) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是偶函数
2

(B) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是奇函数
2

(C) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)都是偶函数
2

(D) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)都是奇函数
2

【答案】A 【解析】当 m=0 时,函数 f(x)=x +mx=x 是偶函数,故 A 正确。 10. (2010 年高考福建卷文科 8)若向量 a ? (x,3)(x ? R) ,则“ x ? 4 ”是“ | a |? 5 ”的
2 2

?

10

( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

12.(2010 年高考湖南卷文科 2)下列命题中的假命题 是( ... A. ?x ? R,lg x ? 0 C. B. ?x ? R, tan x ? 1 D. ?x ? R,2x ? 0



?x ? R, x3 ? 0

【答案】C 【解析】对于 C 选项 x=1 时, ? x ? 1? =0 ,故选 C
2

二.填空题: 13.已知 M={ m | m ? 4 ? Z },N={x| x ? 3 ? N} ,则 M∩N=__________.
2 2

【答案】 ? 14.非空集合 p 满足下列两个条件: (1)p ? (2)若元素 a ∈p,则 6- a ∈ ? {1,2,3,4,5}, p,则集合 p 个数是__________. 【答案】7 15.设 A={1,2} ,B={x|x ? A}若用列举法表示,则集合 B 是 【答案】 {?,{1},{2},{1, 2}}
2007 2008 b ? 2 16.含有三个实数的集合可表示为 ? ? ?a, ,1? ? ?a , a ? b,0? ,则 a ? b

.



? a ?

【答案】-1 三.解答题: 17.设集合 A={(x,y)|y= a x+1},B={(x,y)|y=|x|},若 A∩B 是单元素集合,求 a 取值范

11

围. 【解析】画图可得: a ≥1 或 a ≤-1. 18.设 A={x|x +px+q=0}≠ ? ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M= ? ,A∩N=A,
2

当 B= ? 时,△=m -8<0.∴
??0 当 B={1}或{2}时, ? ?

2

?2 2 ?m?2 2.

?1 ? m ? 2 ? 0或4 ? 2m ? 2 ? 0

,m 无解.

1 ? 2 ? m, ∴ m=3. 当 B={1,2}时, ? ? ?1? 2 ? 2.

综上所述,m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 . 21.已知全集 U =R,且 A ? x x 2 ? x ? 12 ? 0 , B ? x x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,求 ?CU A? ? ?CU B ? .

?

?

?

?

22.已知集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? ax ? b ? 0 , 且 A ? B ? R, A ? B ? x 3 ? x ? 4? , A ? B ? R, A ? B ? ? x 3 ? x ? 4? ,求 a ,b 的值. 解: A ? ? x x ? 1或x ? 3?, ∵ A ? B ? R . ∴ ? x ?1 ? x ? 3? 中元素必是 B 的元素. 又∵ A ? B ? ? x 3 ? x ? 4? , ∴ ? x 3 ? x ? 4? 中的元素属于 B, 故 B ? ? x ?1 ? x ? 3 或3 ? x ? 4? ? ? x ?1 ? x ? 4? . 1 而 B ? x x 2 ? ax ? b ? 0 . ∴-1,4 是方程 x2 ? ax ? b ? 0 的两根, ∴a=-3,b=-4. , 3 , 5

?

?

?

?

?

?

12


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