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空间距离公式解析


解析空间距离
安徽省五河一中 邢文举 李莉莉(邮编 233300)

我们知道向量 AB 在单位向量 e 方向上的射影的长度可以表 示为:d ? AB cos ? AB, e ? ? AB ? e , 那么空间所有的距离都可以用 该公式求解,即 d ? AB ? e 可以叫做空间距离公式: 一、点与直线间的距离 已知点 A 是直线 a 外一已知点, 向量 e 是过点 A 且与直线 a 垂 直相交的直线 L 上的单位向量,B 为 直线 a 上的任一点,到 d ? AB ? e 为 点 A 到直线 a 的距离,如图一
B L A

e

a
图一

二、点与面的距离

已知点 A 是平面 ? 外的一已知点, 是平面 ? 的单位法向量, e B 是平面 ? 内的任一点,则 d ? AB ? e 为 点 A 到平面 ? 的距离,如图二 三、线与线的距离
?
B 图二 A

e

假设与空间两直线(无论平行或异面)都垂直且都相交的直 线叫两直线的公垂线。 e 是两直线公垂线上的单位向量,A、B 分别是两直线 a, b 上的各
b B

e

e

B

b

任意点,则 d ? AB ? e 就
a A
1

图三

A

a

是两直线 a 与 b 间的距离,如图三 四、线与面的距离 直线 a 与平面 ? 平行,e 是平面 ? 的单位法向量,A 是平面 ? 内的任一点,B 是直线 a 上的任一点,则 d ? AB ? e 就是直线 a 到平面 ? 的距 离,如图四 五、面与面的距离 平面 ? 与平面 ? 平行, e 是平面 ? 与 ? 的单位法向量,A、B 分别是平面 ? 与 ? 内的各任 一点,则 d ? AB ? e 是两平行 平面 ? 与 ? 间的距离,如图五 综上知,求空间有关距 离问题就可归纳为利用一个公式:
?
A 图五 a B

e

? A
图四

e

?

B

d ? AB ? e 求之即可。所以该公式可以叫做空间距离公式。A 或 B

点虽然可以是任意点,但在实际应用过程中,可选用特殊点或已 知点即可, 其中两点间的距离公式是该公式的特殊情形, 此时 AB ∥e 。 例 如图在边长为 3 的正方体 AC1 中,G 是 CC1 的 3 等份点, 求:
2

(1) B1 点到面 ABG 的距离 (2)CD 到面 ABG 的距离 (3)异面直线 A1 B 与 AG 间 的距离
B1

Z

A1

D1

C1 G A D y

解:如图建立空间直角坐标系, 到 A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(3,3,0)、
x B 图六 C

D(0,3,0)、 A1 (0,0,3)、 D1 (3,0,3)、G(3,3,2) (1)平面 ABG 的法向量为 n1 ? (0,?2,3) BB1 ? (0,0,3) ∴ B1 点到面 ABG 的距离为: d ? (2)∵CD∥AB, AB ? 面ABG
AB1 ? n1 n1 ? 9 13 13

∴CD∥面 ABG

又 BC ? (0,3,0) ∴CD 到面 ABG 的距离为:
d? BC ? n1 n1 ? 6 13 13

(3)∵ A1 B ? (3,0,?3)

AG ? (3,3,2)

∴ A1 B 与 AG 的法向量为 n2 ? (3,?5,3) 又 AA1 ? (0,0,3) ∴ A1 B 与 AG 间的距离为: d ?
AA1 ? n2 n2 ? 9 43 43

由上例可知,用公式 d ? AB ? e 求有关距离简易而可行。

3


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