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一对一 无锡家教 江苏省13大无锡新领航教育市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--立体几何


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无锡新领航教育江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题 分类汇编

立体几何
一、填空题 1、(常州市

2013 届高三期末)给出下列命题: (1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不 垂直. 其中,所有真命题的序号为 答案: ?1? 、 ? 3? 、 ? 4 ? 2、(连云港市 2013 届高三期末)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别为 BC,DC 的 中点,沿 AE,EF,AF 折成一个四面体,使 B,C,D 三点重合,则这个四 面体的体积为 1 答案: 3 ▲ . ▲

3、(南京市、盐城市 2013 届高三期末)现有如下命题:①过平面外一点有且只有一条直线 与该平面垂直; ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行; ③如果两个平行平面和第 三个平面相交, 那么所得的两条交线平行;④如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面 内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内. 则所有真命题的序号是 ▲ . 答案:①③④ 4、(南通市 2013 届高三期末)已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的 侧面积是 答案:48. 5、(徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)若一个长方体 的长、宽、高分别为 3 、 2 、1,则它的外接球的表面积 是 ▲ . 答案: 6? ▲ .

D1 A1 D B1

C1

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A

C B

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6、 苏州市 2013 届高三期末) ( 如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则三棱锥 A ? B1 D1 D 的体积为 答案:3 7、(泰州市 2013 届高三期末)在空间中,用 a,b,c 表示三条不同的直线, ? 表示平面,给 出下列四个命题: (1)若 a ? b, b ? c ,则 a ? c (2)若 a ? b, b ? c ,则 a ? c (3) 若 a ? ? , b ? ? ,则 a ? b (4)若 a ? ? , b ? ? ,则 a ? b 则所有真命题的序号是 答案:① ④ ▲ .

cm3 .

8、(扬州市 2013 届高三期末)设 a、b 是两条不同的直线,? 、 ? 是两个不同的平面,则 下列四个命题 ①若 a ? b, a ? ? ,则 b / /? , ③若 a // ? , a ? ②若 a ? ? , ? ? ? ,则 a / /? , ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? ,

? , 则? ? ?

其中正确的命题序号是 ▲ . 答案:③④ 二、解答题 1、 (常州市 2013 届高三期末) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥ 底面 ABCD, AD⊥ AB, CD∥ AB, AB ? 2 AD ? 2 , CD ? 3 ,直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60° ,点 M、N 分别是 PA,PB 的中点. (1)求证:MN∥ 平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证: DN ? 平面 PCB . 证明: (1)因为点 M,N 分别是 PA,PB 的中点,所以 MN∥ AB.…………………2 分 因为 CD∥ AB,所以 MN∥ CD. 又 CD ? 平面 PCD, MN ? 平面 PCD,所以 MN∥ 平面 PCD. ……4 分 (2)因为 AD⊥ AB,CD∥ AB,所以 CD⊥AD, 又因为 PD⊥ 底面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, 所以 CD⊥PD,又 AD ? PD ? D ,所以 CD⊥平面 PAD.……………6 分 因为 MD ? 平面 PAD,所以 CD⊥MD,

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所 以 四 边 形 形.……………………………………8 分

是 直 角 梯

(3)因为 PD⊥ 底面 ABCD,所以∠PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角,从而 ∠PAD= 60? . …………………………9 分

在 Rt △ PDA 中, AD ? 2 , PD ? 6 , PA ? 2 2 , MD ? 2 . 在 直 角 梯 形 MNCD 中 , MN ? 1 , ND ? 3 , CD ? 3 ,

CN ? MD 2 ? (CD ? MN ) 2 ? 6 ,
从而 DN 2 ? CN 2 ? CD 2 ,所以 DN⊥CN. …………………………11 分

在 Rt △ PDB 中,PD= DB= 6 , N 是 PB 的中点,则 DN⊥PB.……13 分 又因为 PB ? CN ? N ,所以 DN ? 平面 PCB . …………………14 分

2、(连云港市 2013 届高三期末)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1 上,且 AC1=4AF. (1)求证:平面 ADF⊥平面 BCC1B1; (2)求证:EF //平面 ABB1A1. A1 B1 C1

证明:(1) 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 CC1?平面 ABC,
而 AD?平面 ABC, 所以 CC1?AD. ………………2 分 又 AB=AC,D 为 BC 中点,所以 AD?BC, 因为 BC?CC1=C,BC?平面 BCC1B1,CC1?平面 BCC1B1, 所以 AD?平面 BCC1B1, 因为 AD?平面 ADF, 所以平面 ADF⊥平面 BCC1B1. …………………7 分 ………………5 分 A B E D F C
(第 16 题图)

(2) 连结 CF 延长交 AA1 于点 G,连结 GB. 因为 AC1=4AF,AA1//CC1,所以 CF=3FG, 又因为 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,所以 CE=3EB, 所以 EF//GB, ………………………11 分

而 EF?平面 ABBA1,GB ?平面 ABBA1, 所以 EF //平面 ABBA1. ……………………14 分

3、(南京市、盐城市 2013 届高三期末)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC , D 为

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棱 CC1 上任一点. (1)求证:直线 A1 B1 ∥平面 ABD ; (2)求证:平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1 .

(1)证明:由直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,得 A1 B1 / / AB ……………………………………4 分 而 EF ? 面ABD, AB ? 面ABD ,所以直线 EF ∥平面 ABD ………………………7 分 (2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以 AB ? BB1 ,又 AB ? BC , 而

BB1 ? 面

BCC1 B1

,

BC ? 面

BCC1 B1

,



BB1 ? BC ? B

,





AB ? 面 BCC1 B1 ……………11 分
又 AB ? 面ABD ,所以平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1 …………………………………14 分 4、(南通市 2013 届高三期末)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角 线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1) EF // 平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD. B1 E F A 解:(1)连结 A1 B和A1C . 因为 E、F 分别是侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点, 所以 E、F 分别是 A1 B和A1C 的中点. 所以 EF // BC . ………………………………………………………3 分 B1 E F A B C B D
(第 15 题)

A1 C1

A1

C

C1

又 BC ? 平面 ABC 中, EF ? 平面 ABC 中, 故 EF // 平面 ABC . ………………………………………………6 分

(2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱,

D
(第 15 题)

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所以 A1 A ? 平面 ABC ,所以 BC ? A1 A . 故由 EF // BC ,得 EF ? A1 A . ………………………………………8 分

又因为 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 BC ? AD . 故由 EF // BC ,得 EF ? AD . ……………………………………………10 分

而 A1 A ? AD ? A , A1 A, AD ? 平面 A1 AD ,所以 EF ? 平面 A1 AD .………………12 分 又 EF ? 平面 AEF ,故平面 AEF ? 平面 A1 AD .………………………14 分 5、(徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中,已知 平面 AA1 C 1 C ? 平面 ABCD , 且 AB ? BC ? CA ? 3 ,
AD ? CD ? 1 .

(1) 求证: BD ? AA1 ; (2) 若 E 为棱 BC 的中点, 求证:AE // 平面 DCC1 D1 .
A1

D1 C1 B1

⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ,……………2 分 又平面 AAC1C ? 平面 ABCD , 且平面 AA1C1C ? 平面 1

D A
第 16 题 图

ABCD ? AC , D BD ? 平 面 A B C , 所 以 BD ? 平 面

C

E B

AA1C1C ,………………………………………4 分

又因为 AA1 ? 平面 AA1C1C ,所以 BD ? AA1 .………………………………………7 分 ⑵在三角形 ABC 中,因为 AB ? AC ,且 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,………9 分 又因为在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 , 所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? ,所以 DC ? BC ,所以 AE ? DC ,…………12 分 因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 ,所以 AE ? 平面 DCC1 D1 .…14 分 6、 (苏州市 2013 届高三期末)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,BC ? 平面 PAB . 已知 PA ? AB , D ,E 分别为 PB , 点 BC 的中点. (1)求证: AD ? 平面 PBC ;
P

AF (2) F 在线段 AC 上, 若 满足 AD // 平面 PEF , 求 FC
的值.

D A F E B C

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7、 (泰州市 2013 届高三期末) 在三棱锥 S-ABC 中, ? 平面 ABC, SA SA=AB=AC=

3 BC , 3

点 D 是 BC 边的中点,点 E 是线段 AD 上一点,且 AE=4DE,点 M 是线段 SD 上一点, (1)求证:BC ? AM (2)若 AM ? 平面 SBC,求证:EM 平面 ABS (1)∵ AB=AC,D 是 BC 的中点,∴ AD⊥ BC,…………………………… 2 分

SA ? 面ABC ? SA ? BC ?? AD ? SA ? BC ? 面ABC ?

? BC ? 平面SAD ? ?? ? ? BC ? AM A? AM ? 面SAD ?
……………..7 分

(证到 SA⊥平面 SAD 得 5 分) ? AM ? SD, (2)∵ ? 面 SAB, AM

SM ? 4MD ? ?? AE ? 4 DE ?
ABS……………14 分

? ? ME ? 平面ABS? ? SA ? 平面 ? ME // SA

?

EM∥



8、 (无锡市 2013 届高三期末) 如图, 四棱锥 P-A BCD 中, 底面 ABCD 为菱形,BD⊥ PAC,A C=10,PA=6,cos∠ 面 PCA=

4 ,M 是 PC 的中点. 5

(Ⅰ )证明 PC⊥ 平面 BMD; (Ⅱ )若三棱锥 M-BCD 的体积为 14,求菱形 ABCD 的边长.

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9、(扬州市 2013 届高三期末)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平 面 ABCD , AC ? BD 于 O 。 (Ⅰ)证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)设 E 为线段 PC 上一点,若 AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED (Ⅰ)证:因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,? PA ? BD …………………2 分 又 AC ? BD , PA, AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,

? BD ? 平面 PAC , 而 BD ? 平面 PBD ,所以平面 PBD ⊥平面 PAC (Ⅱ)证:? AC ? BE , AC ? BD , BE 和 BD 为平面 BED 内 两相交直线,? AC ? 平面 BED , 连接 EO ,? EO ? 平面 BED ,? AC ? EO , ? PA ⊥平面 ABCD ,? AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PA , 又 AC , PA, EO 共面,? EO // PA , 又? PA ? 平面 BED , EO ? 平面 BED ,? PA // 平面 BED
10、(扬州市 2013 届高三期末)在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底 面 ABCD , PD ? CD , 底 面 ABCD 是 直 角 梯形 ,

…………………4 分 …………………6 分 …………………8 分 …………………10 分 …………………12 分 …………………14 分

AB / / CD ,?ADC ?

?
2

,AB ? AD ? PD ? 1 ,CD ? 2 . Q 为 设

??? ? ??? ? 侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角

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Q ? BD ? P 为 45°.

解:因为侧面 PCD ? 底面 ABCD ,平面 PCD ? 平面 ABCD ? CD , PD ? CD , 所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD ,即三直线 DA, DC , DP 两两互相垂直。 如图,以 D 为坐标原点, DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴建立直角坐标系, 则 平 面

n ? (?1,1, 0) ,

PBD





个 法 向 量 为 …………………2 分

??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ? 1) , PQ ? ? PC , ? ? (0, 1) ,所以

Q(0, 2? , 1 ? ? ) , 设 平 面 QBD 的 一 个 法 向 量 为

m ? (a, b, c) ,由 m ? BD ? 0 , m ? DQ ? 0 ,
得?

??? ?

????

? a?b ? 0 , ? 2?b ? (1 ? ? )c ? 0

所以 m ? (?1,1, 所以 cos 45 ?
?

2? ) ? ?1
2 2? 2?( 2? 2 ) ? ?1 ? 2 2

…………………6 分

| m ?n| ,即 | m |?| n|

注意到 ? ? (0,1) ,解得 ? ?

2 ?1.

…………………10 分

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