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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测33 数列求和]


课时跟踪检测(三十三) 数列求和 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.数列{1+2n 1}的前 n 项和为(


) B.2+2n D.n+2+2n

A.1+2n C.n+2n-1

? 1 ? 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 100 项和为 ? n n+1?

(

) 100 A. 101 99 C. 100 99 B. 101 101 D. 100

3.(2013· 北京东城一模)已知函数 f(n)=n2cos nπ,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3 +?+a100=( A.0 C.100
2

) B.-100 D.10 200 )

4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -6n,则{|an|}的前 n 项和 Tn=( A.6n-n2
2 ? ?6n-n ?1≤n≤3? ? C. 2 ?n -6n+18?n>3? ?

B.n2-6n+18
2 ? ?6n-n ? D. 2 ?n -6n ?


?1≤n≤3? ?n>3?

?-1?n 1 1 5.已知数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a1=- ,Sn 是数列{an}的前 n 项和, 2 2 则 S2 013=________. 6.?创新题?对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an} 的“差数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 7.(2013· 江西高考)正项数列{an}满足:a2 n-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?n+1?an

8.(2014· 襄阳调研)已知数列{an},如果数列{bn}满足 b1=a1,bn=an+an-1,n≥2,n∈ N*,则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”. (1)若数列{an}的通项为 an=n,写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式;

(2)若数列{cn}的通项为 cn=2n+b(其中 b 是常数),试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是 否是等差数列,请说明理由; (3)已知数列{dn}的通项为 dn=2n+n,求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前 n 项和 Tn.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2014· 浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列 P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn, 13 5 yn),?,对一切正整数 n,点 Pn 在函数 y=3x+ 的图像上,且 Pn 的横坐标构成以- 为首 4 2 项,-1 为公差的等差数列{xn}. (1)求点 Pn 的坐标; (2)设抛物线列 C1,C2,C3,?,Cn,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,抛物线 Cn 的顶点为 Pn, 且过点 Dn(0, n2+1). 记与抛物线 Cn 相切于点 Dn 的直线的斜率为 kn, 求 1 1 +?+ . k2k3 kn-1kn 1 + k1k2

2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n,数列{bn}满足 b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈ N*). (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{bn}的通项公式 bn; an· bn (3)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n

3.已知正项数列{an},{bn}满足 a1=3,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数 n, 都有 bn, an,bn+1 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; b2 1 1 1 n+1 (2)设 Sn= + +?+ ,试比较 2Sn 与 2- 的大小. a1 a2 an an+1

答 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.选 C 由题意得 an=1+2n 1,




1-2n 所以 Sn=n+ =n+2n-1,故选 C. 1-2 2.选 A 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. a +4d=5, ? ? 1 ∵a5=5,S5=15,∴? 5×?5-1? 5a1+ d=15, ? 2 ?
? ?a1=1, ∴? ∴an=a1+(n-1)d=n. ?d=1, ?



1 1 1 1 = = - , n anan+1 n?n+1? n+1

? 1 ? 1 1 1 1 1 1 100 ∴数列?a a ?的前 100 项和为 1- + - +?+ - =1- = . 2 2 3 100 101 101 101 ? n n+1?

3.选 B

f(n)=n2cos nπ=

2 ? ?n为奇数? ?-n ? 2 =(-1)n· n2, ?n ?n为偶数? ?

由 an=f(n)+f(n+1)=(-1)n· n2+(-1)n 1· (n+1)2=(-1)n[n2-(n+1)2]=(-1)n 1· (2n+
+ +

1), 得 a1+a2+a3+?+a100=3+(-5)+7+(-9)+?+199+(-201)=50×(-2)=-100. 4.选 C ∵由 Sn=n2-6n 得{an}是等差数列, 且首项为-5,公差为 2. ∴an=-5+(n-1)×2=2n-7, ∴n≤3 时,an<0,n>3 时,an>0,
?6n-n2?1≤n≤3?, ? ∴Tn=? 2 ? ?n -6n+18?n>3?.

1 3 5 5.解析:由题意知,a1=- ,a2=1,a3=- ,a4=2,a5=- ,a6=3,?,所以数 2 2 2 1 列{an}的奇数项构成了首项为- ,公差为-1 的等差数列,偶数项构成了首项为 1,公差为 2 1 的等差数列,通过分组求和可得 1 1 007×1 006 1 006×1 005 ? 1 007 S2 013=??-2?×1 007+ ×(-1)?+?1×1 006+ ×1 =- 2 . 2 2 ?? ? ? ? ? 1 007 答案:- 2 6.解析:∵an+1-an=2n,

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2n 1+2n 2+?+22+2+2=
- -

2-2n 1-2

+2=2n-2+2=2n. 2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2


答案:2n 1-2


2 7.解:(1)由 an -(2n-1)an-2n=0,

得(an-2n)· (an+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. 1 (2)由 an=2n,bn= , ?n+1?an 1 1 1 1 得 bn= = ?n-n+1?. ? 2n?n+1? 2? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn= ?1-2+2-3+?+n-1-n+n-n+1?= ?1-n+1?= 2? 2 ? ? ? 2?n+1?. 8.解:(1)当 n≥2 时,bn=an+an-1=2n-1, 当 n=1 时,b1=a1=1 适合上式, ∴bn=2n-1(n∈N*).
? ?2+b,n=1, (2)qn=? ?4n+2b-2,n≥2, ?

当 b=0 时,qn=4n-2,由于 qn+1-qn=4, 所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列. 当 b≠0 时,由于 q1=c1=2+b,q2=6+2b, q3=10+2b,此时 q2-q1≠q3-q2, 所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列.
? ?3,n=1, (3)pn=? n-1 ?3· 2 +2n-1,n≥2, ?

当 n>1 时,Tn=3+(3· 2+3)+(3· 22+5)+?+(3· 2n 1+2n-1),


∴Tn=3+3(2+22+23+?+2n 1)+(3+5+7+?+2n-1)=3· 2n+n2-4.


又 n=1 时,T1=3,适合上式,∴Tn=3· 2n+n2-4. 第Ⅱ卷:提能增分卷 5 3 13 5 1.解:(1)∵xn=- +(n-1)×(-1)=-n- ,∴yn=3xn+ =-3n- . 2 2 4 4 3 5 -n- ,-3n- ?. ∴Pn? 2 4? ? (2)∵Cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn,

2n+32 12n+5 ∴设 Cn 的方程为 y=ax+ - . 2 4 把 Dn(0,n2+1)代入上式,得 a=1, ∴Cn 的方程为 y=x2+(2n+3)x+n2+1. ∴kn=y′|x=0=2n+3, ∴ 1 1 = kn-1kn ?2n+1??2n+3?

1 1 1 = ?2n+1-2n+3?, 2? ? ∴ 1 1 1 + +?+ k1k2 k2k3 kn-1kn

1 1 ?? 1 1 1? ?1 1? - - + - +?+? = ?? 2??5 7? ?7 9? ?2n+1 2n+3?? 1 1 1 1 1 = ?5-2n+3? = - 2? ? 10 4n+6. 2.解:(1)∵Sn=3n,∴Sn-1=3n 1(n≥2),


∴an=Sn-Sn-1=3n-3n 1=2×3n 1(n≥2).
- -

当 n=1 时,2×31 1=2≠S1=a1=3,


?3,n=1, ? ∴an=? n-1 ?2×3 ,n≥2. ?

(2)∵bn+1=bn+(2n-1), ∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,?,bn-bn-1=2n-3. 以上各式相加得 ?n-1??1+2n-3? bn-b1=1+3+5+?+(2n-3)= =(n-1)2. 2 ∵b1=-1,∴bn=n2-2n.
?-3,n=1, ? (3)由题意得 cn=? n-1 ?2?n-2?×3 ,n≥2. ?

当 n≥2 时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+?+2(n-2)×3n 1,


∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+?+2(n-2)×3n, ∴相减得-2Tn=6+2×32+2×33+?+2×3n 1-2(n-2)×3n.


∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+?+3n 1)


3n-3 ?2n-5?3n+3 =(n-2)×3n- = . 2 2 -3,n=1, ? ? ∴Tn=??2n-5?3n+3 ,n≥2. ? 2 ?

?2n-5?3n+3 ∴Tn= (n∈N*). 2 3.解:(1)∵对任意正整数 n,都有 bn, an,bn+1 成等比数列, 且{an},{bn}都为正项数列, ∴an=bnbn+1(n∈N*). 可得 a1=b1b2=3,a2=b2b3=6, 又{bn}是等差数列,∴b1+b3=2b2, 3 2 2 解得 b1= 2,b2= .∴bn= (n+1). 2 2 ?n+1??n+2? (2)由(1)可得 an=bnbn+1= , 2 1 1 ? 1 2 - 则 = =2? , an ?n+1??n+2? ?n+1 n+2? 1 1? ?1 1? ? 1 - 1 ?? ∴Sn=2?? ?2-3?+?3-4?+?+ n+1 n+2

?

?

??

2 =1- , n+2 b2 n+2 4 n+1 ∴2Sn=2- ,又 2- =2- , n+2 an+1 n+3
2 ? bn+1?=n+2- 4 ∴2Sn-?2- ? ? an+1? n+3 n+2



n2-8 . ?n+2??n+3?

2 bn +1 ∴当 n=1,2 时,2Sn<2- ; an+1

b2 n+1 当 n≥3 时,2Sn>2- . an+1


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