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2013-2014学年高二数学(苏教版选修2-2):1.3 导数在研究函数中的应用 同步练测 Word版含解析]


1.3
建议用时 45 分钟

导数在研究函数中的应用(苏教版选修 2-2)
实际用时 满分 100 分 实际得分

一、填空题(每小题 5 分,共 55 分) 1.函数 y

? x 2 ? x 3 的单调增区间为
.

,单调

减区间为 2. 在

[ a,

b ] 上, f ?( x) ? 0 恒成立是函数 y ? f ( x) 单
条件 (填 “充分不必要” “必

调递增的

要不充分” “充要”或“既不充分也不必要” ). 3. 函数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3
. 10. 已知函数 f ( x) ? 中 a 为实数. (1 )已知函数 . 值;

时取得极值,则 a = 4. 函数

f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 时有极值
,b=
3 2

10,那么 a= 5. 函数

. 有极大值和

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 ,其 3 2

f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1

f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的

极小值,则 a 的取值范围是 6. 函数

y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0 ,3] 上的最大
. .

值、最小值分别是 7.函数的极值点个数为

8.若函数 f(x)=a-3x 在(-1,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 . 函 数

二、解答题(每小题 20 分,共 60 分) x ?1 和 x ? 2 是 9. 已 知
3 2

f ( x) ? ax ? bx ? 6x ? 1的两个极值点.
(1)求 a,b 的值;

(2)求

f ( x) 的单调区间.

(2)已知不等式

f ?( x)>x2 ? x ? a ? 1 对 任 意

a ? ( 0 ,? ? ) 都成立,求实数 x 的取值范围.

(1)若函数

f ( x) 的图象过原点,且在原点处的

切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值;

(2)若函数

f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a ...

的取值范围.

11. 已知函数

f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b

( a, b ? R ) .

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1.3

导数在研究函数中的应用(苏教版选修 2-2) 答题纸
得分:

一、填空题 1. 5. 二、解答题 9. 2. 6. 3. 7. 4. 8.

10.

11.

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1.3

导数在研究函数中的应用(苏教版选修 2-2) 参考答案

一、填空题 1. (0, )

2 3

解析:因为,令得

当变化时,的变化情况如下表:

x

() -

0 0 0 + 0

() -

y
所以函数的单调减区间为单调增区间为 2.必要不充分 解析:若函数

y ? f ( x) 在 [a, b] 上为常数函数,满足 f ?( x) ? 0 恒成立,但函数

y ? f ( x) 不 是 增 函 数 ; 若 函 数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上 单 调 递 增 , 则 f ?( x) ? 0 恒 成 立 . 故 f ?( x) ? 0 恒成立是函数 y ? f ( x) 单调递增的必要不充分条件.
3.5 解析:因为函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,所以 f′(x)=+ 2ax+3. 又 f ( x ) 在 x 得极值, 所以 3×-6a+3=0,解得 a=5. 4. 4 -11 解析: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b. 由已知得f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0, f (1) ? 1 ? a ? b ? a2 ? 10,
3 2

? ?3 时取

?2a ? b ? ?3, ?a ? ?3, ?a ? 4, 当 a ? ?3 时, x ? 1 不是极值点. 联立 ? 2 得? 或? ?b ? ?11. ?a ? a ? b ? 9 ?b ? 3
当时满足题意. 5. a ? 6或a ? ?3 解析:由函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1,得 f′(x)= +2ax+a+6,因

为函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,所以+2ax+a+6=0 有两个不相等 的实数根,所以 4-12(a+6)>0,解得 a ? 6或a ? ?3 .
6.5,-15 解析:由函数

y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 得 y′=-6x-12.令-6x-12=0,得 x=-1 或 x=2,

所 以 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在 [0 , 2] 上 为 减 函 数 , 在 [2 , 3] 上 为 增 函 数 , 所 以 函 数

y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最小值为 f(2)=-15.又 f(0)=5,f(3)=-4,所
以函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值为 5.
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7.0

解析:因为恒成立,所以 f(x)无极值点. 解析:f′(x)=3a-3,由题意知 f′(x)≤0 在 (-1,1)上恒成立.若 a≤0,显然有 f′(x)

8.a≤1

<0;若 a>0,由 f′(x)≤0,得-≤x≤,于是≥1,∴ 0<a≤1.综上知 a≤1. 二、解答题 9.解: (1)

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 6 ,

由 已 知 可 得

f ?(1) ? 3a ? 2b ? 6 ? 0 ,

f ?(2) ? 3a ? 22 ? 2b ? 2 ? 6 ? 0 , 解 得

a ?1 b , ??

9 . 2

(2)由(1)知

f ?( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x2 ? 3x ? 2) ? 3( x ?1)( x ? 2).

∪ (2, ??) 时, 当 x ? (??,1)
因此

f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 .

f ( x) 的单调增区间是 (??,1),(2, ??); f ( x) 的单调减区间是 (1, 2) .
f ?( x) ? ax2 ? 3x ? (a ? 1) .

10.解:(1) 由于函数 所以有

f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,

f ?(1) ? 0 ,即 a ? 3 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1.
2

(2)由题设知 ax 即 a( x
2

? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,

? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立,
x2 ? 2x x2 ? 2x a ? (0, ?? ) ? 0 , ? ?2 ? x ? 0 . 对任意 都成立,即 x2 ? 2 x2 ? 2

于是 a ?

从而实数 x 的取值范围为 ?2 ? x ? 0 . 11.解: (1)由题意得

f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) .

f (0) ? b ? 0, ? 又? 解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 . ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3,
(2)函数

f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,等价于导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上既能取到大于 0 的 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点, f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,
,

实数,又能取到小于 0 的实数,即函数 根据零点存在性定理,有

即 [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0 整理得 (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1)
2

? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 .

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