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滨海县八滩中学2013届高三上学期周练数学试题(2)


八滩中学 2013 届高三数学周练习 2
班级____________________姓名__________________________ 一.填空题 1.已知集合 A={x|x2<3x+4,x∈R},则 A∩Z 中元素的个数为____4_____。 2.若(1-2i)i=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位) ,则 ab=____2_______。 3.某工厂生产

A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比 依次为 2:3:5,现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样 本中 A 种型号的产品有 16 件,那么此样本的容量 n=__80___。 4.在大小相同的 4 个小球中,2 个是红球,2 个是白球,若从中随 机抽取 2 个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是__ 开始 x←1,y←1,n←1 n←n+2 x←3x y←y-2 n>4 N Y 输出(x,y) 结束
(第 5 题图)

5 ___。 6

5.已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时输出的结果 为__ (9,?3) ____。 6.已知 cos(

1 π ?? 2 ) ? ,则 cos? =___ ______。 2 3 9

7.已知一个正六棱锥的高为 10cm,底面边长为 6cm,则这个正 六棱锥的体积为___ 180 3 ______cm 。 8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=18, S3=26,则{an}的公比 q=____3_____。
3

3 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=1,A=60°,c= 3 ,

则△ABC 的面积为_____
2

3 ______。 6
) F ( x) ? ,

10.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c , bc R ( , ?

f ?( x) ,若 F ( x) 图象在 x ? 0 处的 ex

切线方程为 y ? ?2 x ? c ,则函数 f ( x) 的最小值是______0_____。 11.已知直线 y=a 与函数 f ( x) ? 2 及函数 g ( x) ? 3 ? 2 的图象分别相交于 A,B 两点,则
x x

A,B 两点之间的距离为_____ log 2 3 _______。 π 12.如图,A,B 是半径为 1 的圆 O 上两点,且∠AOB=3。若点 C C O
1 (第 12 题图)

B A

→ → 3 1 是圆 O 上任意一点,则 OA ? BC 的取值范围为__ [? , ] ___。

2 2

提示:建立坐标系 13. 已知过点 P(9, 3 ) 的直线 l 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于 A 、B 两点, 则距离 AB 最小值为

8 3



提示:设角 ?BAO ? ? ,则 AB ?

3 9 , ? sin ? cos?
2 2 2

14.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 1, x ? y ? z ? 3 ,则 xyz 的最大值是 提示:设 x ? a ? b, y ? a ? b ,则 f (a) ? xyz ? ?8a ? 8a ? 1
3 2

5 27



二.解答题 15.已知平面向量 a ? (1,2 sin ? ), b ? (5 cos? ,3) 。 (1)若 a ∥ b ,求 sin2θ 的值; 3 sin2θ=5 π (2)若 a ⊥ b ,求 tan(θ+4)的值。 π 1 tan(θ+4)= 11

16.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点。 (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1。

A1 B1

C1

A B

C D

17.在一个矩形体育馆的一角 MAN 内(如图所示) ,用长为 a 的围栏设置一个运动器材储 存区域,已知 B 是墙角线 AM 上的一点,C 是墙角线 AN 上的一点。 (1)若 BC=a=10,求储存区域三角形 ABC 面积的最大值;25 (2)若 AB=AC=10,在折线 MBCN 内选一点 D,使 DB+DC=a=20,求储存区域四边形 DBAC 面积的最大值。 M 提示:建立适当的坐标系, B D 2 2 得 D 的轨迹方程:

x y ? ?1 100 50

A
2

C

N

S ? S ? ABC ? S ?DBC
2a 2 ? a ln x(a ? R) 。 x (1)讨论函数 y ? f ( x) 的单调区间;

18.已知函数 f ( x) ? x ?

(2)设 g ( x) ? x2 ? 2bx ? 4 ? ln 2 , a=1 时, 当 若对任意的 x1, 2∈[1,e] e 是自然对数的底数) x ( ,
f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。

提示:当 a ? 0 时, f ( x) ? x 。

当 a ? 0 时, f (x) 在 (2a,??) 上是增函数,在 (0,2a) 上是减函数。

当 a ? 0 时, f (x) 在 (?a,??) 上是增函数,在 (0,?a) 上是减函数。

19.设 f k (n) ? c0 ? c1n ? c2 n2 ? ??? ? ck n k ? k ? N ? ,其中 c0 , c1 , c2 , ???, ck 为非零常数,数列{an}的 首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数 n,an+Sn= f k (n) 。 (1)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列。 提示:若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. 若 k=1,设 f1 (n) ? bn ? c ( b, c 为常数), 当 n ? 2 时, a n ? S n ? bn ? c ,③

a n?1 ? S n?1 ? b(n ? 1) ? c ,④
…………

3

20. 已知椭圆

x2 y 2 2 2 1 , 且过点 P( , ) , 记椭圆的左顶点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 2 2 a b

为 A。 (1)求椭圆的方程; (2)设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B, C 两点, 试求 ?ABC 面积的最大值; (3)过点 A 作两条斜率分别为 k1 , k 2 的直线交椭圆于 D, E 两点, 且 k1k2 ? 2 , 求证: 直线

DE 恒过一个定点。 2 2 (1)椭圆 C 的方程为 x ? 2 y ? 1 (2)设 B(m, n) , C (?m, n) ,则 1 S?ABC ? ? 2 | m | ? | n |?| m | ? | n | 2
又 1 ? m ? 2n ? 2 2m n ? 2 2 | m | ? | n | ,
2 2 2 2

y P · A O x

所以 | m | ? | n |? 当且仅当 | m |?

2 , 4
2 | n | 时取等号,从而 S ?ABC ?

第 20 题

2 2 , 即 ?ABC 面积的最大值为 4 4 (3) 因为 A(-1,0),所以 AB : y ? k1 ( x ? 1), AC : y ? k2 ( x ? 1) ,
由?

? y ? k1 ( x ? 1) 1 ? 2k12 2 2 2 2 ,消去 y,得 (1 ? 2k1 ) x ? 4k1 x ? 2k1 ? 1 ? 0 ,解得 x=-1 或 x ? , 2 2 1 ? 2k12 ?x ? 2y ?1 1 ? 2k12 2k1 , ) ……………11 分 1 ? 2k12 1 ? 2k12 1 ? 2k 2 2 2k 2 , ) ,而 k1k2 ? 2 , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2

∴点 B(

同理,有 C ( ∴ C(

k12 ? 8 4k1 , ) …12 分 8 ? k12 8 ? k12

4k1 2k1 ? 2 2k1 8? k 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? 2 1 ? (x ? ), ∴直线 BC 的方程为 y ? 1 ? 2k12 k1 ? 8 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? 8 ? k12 1 ? 2k12
2k1 3k1 1 ? 2k12 ? ? (x ? ), 1 ? 2k12 2(k12 ? 2) 1 ? 2k12 3k1 5k1 x? 即y? ………………………14 分 2 2(k1 ? 2) 2(k12 ? 2)
即y? 所以 2 yk1 ? (3x ? 5) k1 ? y ? 0 ,则由 ?
2

?

y?0

?3 x ? 5 ? 0

,得直线 BC 恒过定点 ( ? , 0) 。

5 3

4

5


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