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2013广州调研数学理试题及答案含解析


试卷类型:A

广州市 2013 届高三年级调研测试 数 学(理 科)
2013.1

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上. 2

. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 用 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 i(2 ? 3 i A.第一象限 B. 第二象限 对应的点位于 ) C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ? A. {0} B. {0,4} C. {2,4} D. {0,2,4}

3.已知函数 f

? x?

?log x, x ? 0 ? ? 1 ?? ? ? x 2 , 则 f ? f ? ? ? 的值是 ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
B.

A. 9

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

4.设向量 a ? 2, x ? 1 , b ? x ? 1, 4 ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.函数 y ? f (x) 的图象向右平移 则 y ? f (x) 的解析式是 A. f B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?

?
6

单位后与函数 y ? sin 2 x 的图象重合,

? x?

? cos(2 x ?

?
3

)

B. f

? x?

? cos(2 x ?

?
6

)

6 6.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是
A. 3 B. 2 5 C. 6

C. f

? x?

? cos(2 x ?

?

)

D. f

? x?

? cos(2 x ?

?
3

)

3

3

D. 8
4 正视图 2 侧视图 2

7.在区间 ?1,5? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , ? ? ? ?
2 2

2

2

则方程

3 x y 的椭圆的概率为 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 2 俯视图 2 a b
图1

A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

8.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y ). 若对任意 x ? 2 ,不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?1,7 ? ? ? B. ??,3? ?

?

?

?

C. ??,7 ? ?

?

D. ??, ?1? ? ?7, ?? ? ?

?

?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为
2

开始

i ? 1,S ? 0
. .

1 10.若 (ax - )9 的展开式的常数项为 84,则 a 的值为 x
11.若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线, 则实数 m 的值为 .

ai ? i cos

i? ?1 2

S ? S ? ai

i ? i ?1
i ? 2012
是 _ . .
否 输出 S

12.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 上到直 线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点的个数是 13.图 2 是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

结束

14.(几何证明选讲选做题) 如图 3,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 , 则 PC 的长是
图2
C A P O B

图3

15.(坐标系与参数方程选讲选做题)

已知圆 C 的参数方程为 ? 轴建立极坐标系,直线 则直线
l

? x ? cos ? , (? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? sin ? ? 2,
l

的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , .

截圆 C 所得的弦长是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 a ? 1,b ? 2, B ? (1) 求 sin A 的值; (2) 求 cos 2C 的值. 17.(本小题满分 12 分) 某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

?
3

.

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学 生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列.
P

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ^ 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN . (1) 求证: MN // 面 PAD ; (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值.
D A B N

M 图4

C

19.(本小题满分 14 分) 如图 5, 已知抛物线 P : y 2 ? x ,直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B 两点,
y

uur uuu uuu r r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
(1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值.
O M

A

C x

B

图5 20.(本小题满分 14 分) 在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数 列,将这 n ? 2 个数 的乘积记为 An ,令 an ? log 2 An , n ? N (1)求数列 An 的前 n 项和 S n ; (2)求 Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ? ? tan a2 n ? tan a2 n ? 2 .
*

.

? ?

21.(本小题满分 14 分) 若函数 f ( x) 对任意的实数 x1 , x2 ? D ,均有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ,则称函数

f ( x) 是区间 D 上的“平缓函数”
(1) 判断 g ( x) ? sin x 和 h( x) ? x ? x 是不是实数集 R 上的“平缓函数”,并说明理由;
2

(2) 若数列 ? xn ? 对所有的正整数 n 都有 xn ?1 ? xn ? 求证: yn ?1 ? y1 ?

1 ,设 yn ? sin xn , (2n ? 1) 2

1 . 4

广州市 2013 届高三年级调研测试 数学(理科)试题解析
一、选择题 1. A 分析: 2. D 分析: 3. B , , ,其对应的点为 ,位于第一象限

2013-1-9

分析: 4. A 分析:当 所以 件 5. B 时,有 ,但



,解得 ,故“

; ”是“ ”的充分不必要条

分析:逆推法,将 即

的图象向左平移

个单位即得

的图象,

6. C

分析: 三棱锥如图所示,





, 7. B

分析:方程

表示焦点在 轴且离心率小于

的椭

圆时,有



即 ,

,化简得

,又



画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所 示,

求得阴影部分的面积为 8. C 分析:由题意得 , 化简得 故原题等价于

,故

,故不等式

化为

, 在 上恒成立,

由二次函数

图象,其对称轴为

,讨论得

或 综上可得 二、填空题 9. 分析:方法一、 基本量法)由 ( ,

,解得







,即

化简得

,故

方法二、等差数列中由

可将

化为





,故

10.

分析: ,得其常数项为 即 11. 分 析 : 设 切 点 为 ,解得 ,

,令

, 由

得 故切线方程为

, ,整理得 ,

与 12. 分析: 圆方程 式为 , 半径 直 线

比较得

,解得

,故

化为标准 ,其圆心坐标

,由点到直线的距离公式得圆心到 的 距 离

,由右图 所示,圆上到直线 13. 分析:由题意 的距离为 的点有 4 个.















, ?

, ; 以上共 503 行, 输出的





14. 分析:如图,因为 由相交弦定理知 即 15. 分析:圆 的参数方程化为平面直角坐标方程为 , , ,故 ,所以 是弦 , 中点,

直线 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为

如右图所示,圆心到直线的距离 故圆 截直线 所得的弦长为



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

(本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识,考查化 归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)

(1)解:∵

,

依据正弦定理得:

,

…………… 1 分

即 (2)解:∵ ,

,解得

.

…………… 3 分



.

…………… 4 分



.

…………… 5 分



,

…………… 6 分

. ∵ ,

…………… 7 分



.

…………… 8 分



…………… 9 分

…………… 10 分

.

…………… 12 分

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识,考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) (1)解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,

抽取的样本容量与总体个数的比值为 ∴应从

. . …………… 4 分

四所中学抽取的学生人数分别为

(2)解:设“从参加问卷调查的 中学”为事件 ,

名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所

从参加问卷调查的

名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C C C C

种,… 5 分 . …………… 6 分

这两名学生来自同一所中学的取法共有 C

∴ 答:从参加问卷调查的

. 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学

的概率为

. 名学生中,来自

…………… 7 分 两所中学的学生人数分别

(3) 解:由(1)知,在参加问卷调查的 为 . ,

依题意得, 的可能取值为

…………… 8 分





. …………… 11 分

∴ 的分布列为:

…………… 12 分

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象 概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法)

(1)证法 1:取 ∵点 是 的中点,

的中点

,连接



∴ ∵点 是 的中点,底面

.

…………… 1 分 是正方形,



.

…………… 2 分

∴ ∴四边形 ∴ .

. 是平行四边形. …………… 3 分

∵ ∴ 证法 2:连接 ∵点 是 面 .

平面



平面



…………… 4 分 的延长线亍点 ,连接 ,

幵延长交 的中点,

∴ ∴点 ∵点 ∴ ∵ ∴ 证法 3: 取 ∵点 ∴ 面 面 的中点 是 是 是 的中点. 的中点, . , . ,连接

, …………… 1 分 …………… 2 分

…………… 3 分 平面 , …………… 4 分 , 是 . 的中点,

的中点,点 ,

∵ ∴ ∵ ∴

面 面 面 面

, . , .

平面

, …………… 1 分

平面

, …………… 2 分

∵ 面 , ∴平面 ∵ ∴ (2)解法 1:∵ ∴ ∵ ∴ 过 ∵ ∴ ∵ ∴ 面 面 . . , 作 面 面 . ,垂足为 , 面 ,连接 , , . , 平面 面 . , 面 , …………… 4 分 面 , . …………… 3 分



平面





…………… 5 分

…………… 6 分



, …………… 7 分

…………… 8 分

∴ 在 Rt△

是二面角 中, ,

的平面角. ,得

…………… 9 分 , …………… 10 分

在 Rt△

中,

,得



.

…………… 11 分

在 Rt△

中,



…………… 12 分

.

…………… 13 分

∴二面角 解法 2:∵ ∴ 在 Rt△ 面 中, , .

的余弦值为 面 ,

.

…………… 14 分

,

,得

, …………… 5 分

以点

为原点,

所在直线为 轴, ,

所在直线为

轴,

所在直线为 轴, …………… 6 分

建立空间直角坐标系



.

∴ 设平面 由

, , 的法向量为 , ,

. …………… 8 分 ,





,得



.

∴ 又

是平面 是平面

的一个法向量. 的一个法向量,

…………… 11 分 …………… 12 分

.

…………… 13 分

∴二面角

的余弦值为

.

…………… 14 分

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与 方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设 ∵ ∴ 是线段 , 的中点. ????? 2 分 ,



,①

????? 3 分

.



????? 4 分

∵ ∴ 依题意知 ∴



∴ . ,

. ????? 5 分

.



????? 6 分

把②、③代入①得:

,即

.

????? 7 分

∴点

的轨迹方程为

. 是矩形,

????? 8 分

(2)解:依题意得四边形 ∴四边形 的面积为

????? 9 分

. ∵ ∴ ∴四边形 解法二: (1)解:依题意,知直线 的斜率存在,设直线 的斜率为 , . 的面积的最小值为 . ,当且仅当

????? 11 分 时,等号成立, ????? 12 分 ????? 13 分 …………… 14 分

由于

,则直线

的斜率为

.

????? 1 分

故直线

的方程为

,直线

的方程为

.



消去

,得

.

解得



.

????? 2 分

∴点

的坐标为 的坐标为 , 是线段 的中点. ,

. .

????? 3 分 ????? 4 分

同理得点 ∵ ∴ 设点

????? 5 分

的坐标为



????? 6 分

消去 ,得

.

????? 7 分

∴点

的轨迹方程为

. 是矩形,

????? 8 分

(2)解:依题意得四边形 ∴四边形 的面积为

????? 9 分

????? 10 分

????? 11 分

.

????? 12 分

当且仅当 ∴四边形

,即

时,等号成立. .

????? 13 分 …………… 14 分

的面积的最小值为

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1)解法 1:设 依题意, 构成等比数列,其中 , , 由亍 ① ②得 ∵ , ① ② , , …………… 1 分 …………… 2 分 …………… 3 分 .…………… 4 分



.

…………… 5 分

∵ ∴数列 是首项为

, ,公比为 的等比数列.

…………… 6 分 …………… 7 分

∴ 解法 2: 设 则 ,即 构成等比数列,其中 .

.

…………… 8 分 ,公比为 , …………… 1 分

依题意,得 …………… 2 分 …………… 3 分

…………… 4 分 . …………… 5 分

∵ ∴数列 是首项为

, ,公比为 的等比数列.

…………… 6 分 …………… 7 分



.

…………… 8 分

(2)解: 由(1)得

,

…………… 9 分



,

……………10 分

∴ ∴

,

N .

……………11 分

. 21.(本小题满分 14 分)

…………… 14 分

(本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识,考查函数与方程、分类与整合、化归与 转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解: 设 不妨设 则 又 即 由①、②得 因此, 当 又当 时,同理有 时,不等式 , ,对 都成立. 成立 , 是 R 上的“平缓函数” ,但 ,则 ,则 . ,即 ① , …………… 2 分 . …………… 3 分 ,则 不是区间 R 的“平缓函数” ; 是实数集 R 上的增函数, , …………… 1 分

也是 R 上的增函数,则 , ②

故对任意的实数 因此 由亍 取 因此, ,

R,均有

. …………… 5 分 …………… 6 分

是 R 上的“平缓函数”.

,则 不是区间 R 的“平缓函数”.



…………… 7 分 …………… 8 分

(2)证明:由(1)得: 则

是 R 上的“平缓函数” , , 所以 . …………… 9 分







.

…………… 10 分

∵ ∴ .

,……… 11 分 …………… 12 分



…………… 13 分

.

…………… 14 分


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