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《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第十一章 排列与组合


名师伴你行
2016级高考数学一轮复习课件

§11.2 排列与组合

[高考调研 明确考向] 考纲解读 考情分析

?以实际问题为背景考查排 列、组合的应用,同时考 ?理解排列、组合的概念. 查分类讨论的思想. ?能利用计数原理推导排列 ?以选择题或填空题的形式 数公式、组合数公式. ?能解决简单的实际问

题. 考查,或在解答题中和概 率相结合进行考查.

知识梳理 1.排列与排列数 (1)排列的定义:一般地,从n个 1 □ ______元素中取出

2 ______排成一列,叫做从n m(m≤n)个元素,按照一定的 □ 个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 3 ________________的个数,叫做从n个不同元素中取出 的□ m个元素的排列数,记为Am n. (3)排列数公式 4 Am n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=□________.
n 5 ______,规定0!=1. An =n· (n-1)· (n-2)· …· 3· 2· 1=□

2.组合与组合数 6 ________的元素中取 (1)组合的定义:一般地,从n个 □ m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合. 7 ______元素中取出m(m≤n) (2)组合数的定义:从n个 □ 8 ________________的个数,叫做从n个不同元素 个元素的 □ 中取出m个元素的组合数,用符号Cm n 表示.

(3)组合数公式 9 10 ________________ Cm n = □ ____________________= □ 11 ____________________. =□ (4)组合数的性质 12 ____________. 性质1:Cm n =□ 性质2:C N*).
m n+1

13 ____________(m≤n,n∈N*,m∈ = □

1 不同 答案: □ n! ?n-m?!
m A n 9 m □ Am
-m Cn n

2 顺序 □ 3 所有不同排列 □ 4 □

5 n! □ 6 不同 □ 7 不同 □ 8 所有不同组合 □ 12 □

n?n-1??n-2?…?n-m+1? n! 10 11 □ □ m! m!?n-m?! 13 Cm □ n
-1

+Cm n

名师微博 ●一个区别 排列与组合,排列与组合最根本的区别在于“有序”和 “无序”.取出元素后交换顺序,如果与顺序有关是排列, 如果与顺序无关即是组合.

●24字方针12个技巧 解排列组合题的“24字方针,12个技巧”: (1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律:即排 组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类为加、分步 为乘. (2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径.即:

①相邻问题捆绑法;②不相邻问题插空法;③多排问题 单排法;④定序问题倍缩法;⑤定位问题优先法;⑥有序分 配问题分步法;⑦多元问题分类法;⑧交叉问题集合法;⑨ 至少(多)问题间接法;⑩选排问题先取后排法;?局部与整 体问题排除法;?复杂问题转化法. ●四字口诀 求解排列组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有 序排列,无序组合;分类相加,分步相乘.”

基础自测 1.设直线的方程是Ax+By=0,从1,2,3,4,5这五个数中每 次取两个不同的数作为A、B的值,则所得不同直线的条数是 ( ) A.20 B.19 C.18 D.16

解析:重合的有x+2y=0与2x+4y=0;2x+y=0与4x+ 2y=0,∴有A2 5-2=18(条).

答案:C

2.某校开设10门课程供学生选修,其中A、B、C三门 由于上课时间相同,至多选一门.学校规定,每位同学选修 三门,则每位同学不同的选修方案种数是( A.120 C.63 B.98 D.56 )

解析:分两类:第一类A,B,C三门课都不选,有C 3 7= 35(种)方案.第二类A,B,C中选一门,剩余7门课中选两
2 门,有C1 C 3 7=63(种)方案.故共有35+63=98(种)方案.

答案:B

3.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有 重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有( 1 2 3 3 1 2 2 3 1 A.6种 B.12种 )

C.24种 D.48种

解析:如图,不同填法有:C1 C1 C1 3· 2· 2=12(种). C1 3 C1 2 C1 1 C1 2 C1 1 C1 1 C1 1 C1 1 C1 1

答案:B

4.现有甲、乙、丙三个盒子,其中每个盒子中都装有 标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片,现从甲、乙、丙 三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差 数列的取法数为( A.14 C.18 B.16 D.20 )

解析:由等差数列性质,得x+y=2z(x,y,z为所取卡
2 片标号),x,y必同奇同偶,不同取法有2C2 3C3=18(种).

答案:C

5.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广 告和两个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则 共有__________种不同的播放方式(结果用数值表示).

解析:采用特殊位置法,先让两个不同的公益广告排在 首尾两个位置,再让4个商业广告排在剩下的4个位置,据分
4 步计数原理可知共有2A4 =48(种)播放方式.

答案:48

考点一

排列问题

[例1] 的站法?

六个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同

①甲不站在两端;②甲、乙必须相邻;③甲、乙不相邻; ④甲、乙之间恰有两人;⑤甲不站在左端,乙不站在右端;⑥ 甲、乙、丙三人顺序已定.

2 4 2 5 4 2 解析:①A 5 A 4 =480;②A 2 A 5 =240;③A 4 A 5 =480;④ 2 2 3 5 4 3 A2 A4A3=144;⑤A6 6-2A5+A4=504;⑥A6=120.

方法点睛

有条件的排列问题大致分四种类型:

(1)某元素不在某个位置上问题,①可从位置考虑用其它 元素占上该位置,②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排 列问题);③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排 列个数. (2)某些元素相邻, 可将这些元素排好看作一个元素(即捆 绑法)然后与其它元素排列.

(3)某些元素互不相邻,可将其它剩余元素排列,然后用 这些元素进行插空(即插空法). (4)某些元素顺序一定,可在所有排列位置中取若干个位 置,先排上剩余的其它元素,这些元素也就一种排法.

变式训练 1

用 0,1,2,3,4,5 六个数字排成没有重复数字的

6 位数,分别有多少个?①0 不在个位;②1 与 2 相邻;③1 与 2 不相邻;④0 与 1 之间恰有两个数;⑤1 不在个位;⑥偶 数数字从左向右从小到大排列.

2 4 2 1 4 5 2 1 4 解析:①A5 A4=480;②A2 A4A4=192;③A1 5A5-A2A4A4 2 1 2 3 6 5 4 3 =408;④A4 A2A2+A2 4A3=120;⑤A6-2A5+A4=504;⑥A6 3 -A5 =60.

考点二

组合问题

[例 2]

某医院有内科医生 12 名,外科医生 8 名,现选派

5 名参加赈灾医疗队,其中 (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不 同选法? (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法? (4) 队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选 法?

3 解析:(1)只需从其他 18 人中选 3 人即可,共有 C18 =

816(种);
5 (2)只需从其他 18 人中选 5 人即可, 共有 C18 =8 568(种);

(3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有
4 3 C1 C + C 2 18 18=6 936(种);

(4)方法一(直接法):至少有一名内科医生和一名外科医 生的选法可分四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内
4 2 3 3 2 4 1 一外,所以共有 C1 C + C C + C C + C C 12 8 12 8 12 8 12 8=14 656(种).

方法二(间接法): 由总数中减去五名都是内科医生和五名
5 5 都是外科医生的选法种数,得 C5 20-(C12+C8)=14 656(种).

方法点睛

对于有条件的组合问题, 可能遇到含某个(些)

元素与不含某个 (些)元素问题;也可能遇到 “至多 ”或“至 少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计 算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误.

变式训练 2

甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门.

(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种? (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种?

解析:(1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,且甲、
1 1 乙所选课程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C2 4C2C2=24(种).

(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为
2 C2 又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C2 4C4, 4种, 2 2 因此满足条件的不同选法种数为 C2 4C4-C4=30(种).

考点三

排列、组合的综合应用

[例3]

(1)7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子中,

试问:每个盒子都不空的放法共有多少种? (2)计算x+y+z=6的正整数解有多少组; (3)计算x+y+z=6的非负整数解有多少组.

解析:(1)方法一:先将其中4个相同的小球放入4个盒子 中,有1种放法;再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒 子中,有以下3种情况; ①某一个盒子放3个小球,就可从这4个不同的盒子中任 选一个放入这3个小球,有C1 4种不同的放法; ②这3个小球分别放入其中的3个盒子中,就相当于从4 个不同的盒子中任选3个盒子,分别放入这3个相同的小球, 有C3 4种不同的放法;

③这3个小球中有两个小球放在1个盒子中,另1个小球 放在另一个盒子中,从这4个不同的盒子中任选两个盒子排
2 成一列,有A4 种不同的方法.

综上可知,满足题设条件的放法为C 20(种).

1 4

+C

3 4

+A

2 4



方法二:“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至 少有一个小球”,若用“挡板法”,可易得C3 6=20.

(2)可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中,每盒非 空有多少种放法.转化为6个0,2个1的排列,要求1不排在两 端且不相邻,共有C 2 5 =10种排法,因此方程x+y+z=6有10 组不同的正整数解; (3)可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中,转化 为6个0,2个1的排列,共有C
2 8

=28种排法,因此方程x+y+z

=6有28组不同的非负整数解.

方法点睛 排列与组合的根本区别在于是“有序”还是 “无序”,对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中, 此类问题可利用“挡板法”求解,实质上是最终转化为组合 问题.(2)在计算排列组合问题时,可能会遇到“分组”问 题,要特别注意是平均分组还是不平均分组.可从排列与组 合的关系出发,用类比的方法去理解分组问题,比如将4个
3 元素分为两组,若一组一个、一组三个共有C 1 4 C 3 种不同的分 2 C2 4C2 法;而平均分为两组则有 A2 种不同的分法. 2

变式训练3

有6本不同的书按下列分配方式分配,问共

有多少种不同的分配方式? (1)分成1本、2本、3本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本,一人 3本; (3)分成每组都是2本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.

1 解析:(1)分三步:先选一本有C 6 种选法;再从余下的5 3 本中选2本有C 2 5 种选法;对于余下的三本全选有C 3 种选法, 2 3 由分步乘法计数原理知有C1 C 6 5C3=60种选法.

(2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还
2 3 3 应考虑再分配的问题,因此共有C1 6C5C3A3=360种选法.

2 2 2 (3)先分三步,则应是C6 C4 C2 种选法,但是这里面出现了

重复,不妨记6本书分别为A、B、C、D、E、F,若第一步 取了(AB,CD,EF),则C
2 6

C

2 4

C

2 2

种分法中还有(AB、EF、

CD),(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、 (EF、AB、CD)共有A
3 3

种情况,而且这A

3 3

种情况仅是AB、

CD、EF的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方式
2 2 C2 C 6 4 C2 有 3 =15(种). A3

(4)在问题(3)的基础上再分配,故分配方式有
2 2 C2 C 6 4 C2 3 2 2 A3=C2 C 3 · 6 4C2=90(种). A3

易错矫正(三十三) 漏致误 [试题]

实际问题意义不清,计算重复、遗

有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若

从20个零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法 有多少种?

错解:按分步原理,第一步确保1个一等品,有C 1 16 种取 法;第二步从余下的19个零件中任意取2个,有C 2 19 种不同的
2 取法,故共有C1 C 16 19=2 736种取法.

错因:第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有 了先后顺序,从而使取法重复.

正解:方法一:将“至少有1个是一等品的不同取法” 分三类:“恰有1个一等品”,“恰有2个一等品”,“恰有
2 2 1 3 3个一等品”,由分类计数原理有:C 1 C + C C + C 16 4 16 4 16 =1

136(种). 方法二:考虑其对立事件“3个都是二等品”,用间接
3 法:C3 - C 20 4=1 136(种).

点评:“至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求 解,多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.


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