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对数函数-课件


对数函数

现在有一张纸,我把这张纸对折一次就变成 了两层;我对折两次纸就变成了四层;如果我们 设把纸对折的次数为x,对折后纸的层数为y,那么, x 试建立y关于x的函数关系式。 解:y ? 2
提问:如果我发现对折后的纸有4层,那么我对折了多少次? 2次 如果我发现对折后的纸有8层,那么我对折了多少次? 3次

……

>
16层呢,32层呢

……

我们可以发现:x关于y也可以建立一个函数。

你能写出这个X关于Y的函数的关系表达式吗? y ? 2 x 指数式化对数式 x ? log2 y 这个就是我们要的函数关系

y ? log2 x

交换x和y,以符合习惯

一、对数函数的定义
一般地,函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 就叫做对数函数。x为它的自变量, 函数的定义域为 (0,??).

y ? log5 x,

y ? log1 x
3

以上两个函数也是对数函数!

小试牛刀:
下列函数哪个是对数函数: (4) (1) y ? log2 (3x ? 2) (2) y ? log1 x (4)
2 3

(3)
(5)

y ? log2 x ? 5

y ? ln x

y ? 2 lg x
2

(6)y=log3 (-x)

(7)y ? loga x

y ? loga x

二、反函数定义
定义:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a x是自变量,它是 指数函数

? 1)叫做对数函数,其中

y?a

x

的反函数。

理解定义:
1.对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a 互为反函数。
x

函数 定义域 值域

x y ? a 指数函数

对数函数 y ? loga x (0,+∞) R

R

(0,+∞)

x y ? log x y ? a 的图象与指数函数 的图象关于 2.对数函数 a

直线 y=x 对称。

Y 5

Y=ax (a>1)
Y=X ● ●

4
3 2 ● ● 1● ● ●1




Y=logax (a>1)


2 3 4 5 6 7 X

-1 O -1

-2

Y 5 Y=X

4
3 ● ● 2 ● 1●

-1 O -1

● 1 2 ●



y ? a x (0 ? a ? 1)

3

4

5

6

7 X

-2



y ? loga x(0 ? a ? 1)

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图

o
y

0<a<1
y
(1, 0)

(1, 0)

x

o

x



(1)定义域: (2)值域:

(0,+∞) R

(3)过定点: (1,0), 即x=1 时, y=0

(4)0<x<1时,y<0; (4)0<x<1时, y>0; y值如何 y值如何 y<0 y>0 x>1 时, x>1 时, 质
(5) 在(0,+∞)上是增函 (5) 在(0,+∞)上是增函 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数 数还是减函数? 数还是减函数?

例1:求下列函数的定义域:
2 y ? log x ( 1) a 2 y ? log ( 9 ? x ) a ( 3)

y ? loga (4 ? x) ( 2)

解: ( 1) 由x2>0,可得x≠0,所以函数 y 域为:{x|x≠0}

? loga x 2 的定义

函数 y ? loga (4 ? x) 的定义域为:{x|x<4} (2) 可得-3<x<3,所以函数 (3) 由9-x2>0?(x-3)(x+3)<0,

y ? loga (9 ? x 2 ) 的定义域为:{x|-3<x<3}

y

y xx

练习1:求下列函数的定义域
1 (1)y ? (2)y ? log3 x log 2 x
(3) y ? log0.2 (4x ? 7) 答案: (1){x|x>0且x≠1}

(1, 0) (1, 0) oo

y ? log0.2 x

(2){x|x≥1}
?4 x ? 7 ? 0 ? ?4 x ? 7 ? 1

(3)由 log0.2 (4x ? 7) ? 0 ? log0.2 1 ?

7 ? x ? 2 ,所以函数 y ? log0.2 (4x ? 7) 4 ? 7 ? x | ? x ? 2 的定义域为: ? ? ? 4 ?

?

例2:比较下列各题中两个值的大小: (1) log23.4 , log28.5 ⑵ log0.31.8 , log0.32.7 ⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a>0 , a≠1 ) 解: ⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log23.4<log28.5

(2)考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0.3<1,
所以它在(0,+∞)上是减函数,于是 log0.31.8>log0.32.7

⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 )
分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1 还是小于1.而题中并未指出底数a与1 哪个大, 因此需要对底数a进行讨论:

解:当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是 增函数,于是loga5.1<loga5.9 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞) 上是减函数,于是loga5.1>loga5.9 注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个 对数的大 小的, 对底数与1的大小关系未明 确指出时, 要分情况对底数进行讨论来比较 两个对数的大小.

练习2: 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ lg6
⑵ log0.52 < > <

lg8
log0.53

⑶ log0.10.6
⑷ log1.51.6

log0.10.5
log1.51.4



思考:若真数相同而底数不同时,又如何
比较两个对数值的大小呢?

思考:比较 log0.1 3 与 log

的大小 3 0.2

方法:用换底公式
1 log0.1 3 ? log3 0.1
1 log0.2 3 ? log3 0.2
1 1 ? log3 0.1 log3 0.2

log3 0.1 ? log3 0.2 ? 0 ?
log0.1 3 ? log0.2 3



此外还可以借助对数函数图象进行比 较,这个留给大家课后思考。

讨论

y

1.如图 :曲线C1 , C2 , C3 , C4 分别为函数 o y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,的 图像,试问a,b ,c, d的大小关系如何?

c1 c2 x
1 c4 c3

2.如何比较log2a与log3a的大小?

练习:比较下列各组中两个值的大小: (1) log3 2 ,log4 2 (2) log5 3 , log0.4 3
答案:(1) log 2 ? 3

1 log2 3

1 log4 2 ? log2 4

0 ? log2 3 ? log2 4
log3 2 ? log4 2
(2)

?

1 1 ? log2 3 log2 4

log5 3 ? log5 1 ? 0 log0.4 3 ? log0.4 1 ? 0
log5 3 ? log0.4 3

例3


比较下列各组中两个值的大小:
log 67 , log 7 6 提示 : log aa=1 ⑵ log 4π , log 2 0.8 提示: log a1=0

解: ⑴∵ log67>log66=1
log76<log77=1 ∴ log67>log76

⑵ ∵ log4π>log41=0

log20.8<log21=0 ∴ log4π>log20.8

注: 例3是利用对数函数的增减性比较两个 对数的大小。当不能直接进行比较时,可在 两个对数中间插入一 个已知数(如1或0等), 间接比较上述两个对数的大小。

小结:两个对数比较大小
(一)同底数比较大小时
1、当底数确定时,则可由函数的单调 性直接进行判断。 2、当底数不确定时,应对底数进行分 类讨论。 (二)同真数的比较大小, 常借助函数图 象进行比较。 (三)若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。

四、课堂小结
对数函数的定义 对数函数的图象和性质 比较两个对数值的大小

五、作 业
1、 熟记对数函数的图象和性质 2、 相应课时作业


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