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【解析版】广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学文试题


增城市 2013 届高中毕业班调研测试文科试题





试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.第 I 卷(选择题)每小题选出答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上; 2

.第 II 卷(非选择题)答案写在答卷上。
2 参考公式: S 球 ? 4?R , V柱 ? Sh, V锥 ?

1 1 4 Sh,V台 ? ( S ? ? S ?S ? S )h,V球 ? ? R 3 3 3 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) .

第 I 卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 设 集 合

U ? { x x 的正整数 集合 ,? 是小于 9 }

A

集合1 , {

2 B 3 则} , ,

= {

Cu A ? Cu B ?
(A) {3} (B) {7,8} (C) {4,5,6,7,8} 答案:B 解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8} , (D) {1,2,7,8}

CU A ? { 4 , 5 , 6 CU7 ,?8 } , , B
Cu A ? Cu B ? {7,8}
考点:集合的交集,并集和补集 2.复数

{1, 2 , 7 , 8}

5 = -2+i (A) 2+i

(B)

?2 ? i

(C)

?2 ? i

(D)

2 ? i Ks5u

答案:C 解析:

5 ?2 ? i ?10 ? 5i * ? ? ?2 ? i ?2 ? i ?2 ? i 5
?2

考点:复数的化简与运算 3.已知函数 f ( x) ? x ,则

f ( x) 为偶函数且在 (0,??) 上单调增 (C) f ( x) 为偶函数且在 (0,??) 上单调减
(A) 答案:C 解析: f ( x ) ?

(B) f ( x) 为奇函数且在 (0,??) 上单调增 (D) f ( x) 为奇函数且在 (0,??) 上单调增

1 1 1 ? 2 ? f ( x) 是偶函数,在 (0,??) 单调递减 , f ( ? x) ? 2 2 x ( ? x) x

考点:函数的单调性与奇偶性的判断

4.函数 f ( x) ? log3 x 的定义域是 (A)

(0,1]

(B)

[1,??)

(C)

(3,??)

(D)

[3,??)

答案:B 解析: ?

?log 3 x ? 0 ,? x ? 1 ?x ? 0

考点:复合函数的单调性 5.抛物线 y ? 2x 的焦点坐标是
2

(A) ( 答案:D 解析:

1 1 1 1 ,0)(B) (0, )(C) (0, ) (D) (0, ) 2 2 4 8

x2 ?

1 1 1 P 1 y ? 2 ? y, P ? , 因为焦点在Y轴上,坐标为(0, )所以焦点坐标为(0,) 2 4 4 2 8
?1

考点:抛物线的焦点问题 6.已知实数 x 满足 x ? x (A) 7 (B) 答案:A 解析: x ? x
2 ?2

? 3, 则 x 2 ? x ?2 ?
(C)

7

?7

(D)

? 7

? ( x ? x?1 )2 ? 2 ? 9 ? 2 ? 7

7.在⊿ ABC 中,已知 A ? 45?, C ? 30?, c ? 10 ,则 a ? (A)

20 2

(B)

10 2

(C)

5 2

(D)

10 6 3

答案:B 解析:根据正弦定理有

a c a 10 ? ? ? ? a ? 10 2 ? sin A sin C sin 45 sin 30?
考点:正弦定理 8.给出三个命题: (1)若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行. (2)若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行. (3)若两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 答案:B 解析: (2)都不成立,只有(3)是正确的 (1) 考点:命题,直线与平面的基础知识 9.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次,每次命中的环数如下: 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则下列判断正确的是 (A) 甲射击的平均成绩比乙好 (B) 乙射击的平均成绩比甲好 (C) 甲比乙的射击成绩稳定 (D) 乙比甲的射击成绩稳定 答案:D 解析:平均成绩是算平均数,甲和乙都相等 x甲=x乙
2 2 稳定性可用方差来衡量,方差越小则越稳定, S甲 ? S乙

考点:平均数,方差,标准差

10.设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点, OA ? OB ? OC ? OD ? 则 (A) OM (B) 2OM (C) 3OM (D) 答案:D 解析:在△OAC 中,M 为 AC 中点,根据平行四边形法 则,有 OA ? OC ? 2OM ,同理有 OD ? OB ? 2OM , 故 OA ? OB ? OC ? OD ? 4OM 考点:向量的三角形法则和平行四边形法则

4OM

?? ??? ? ?

???? ?

?? ??? ? ?

???? ?

第 II 卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 30 分. 共 其中 14~15 题是选做题,只能做一题,两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题(9~13 题)
2 11.已知非空集合 A ? {x x ? a, x ? R} ,则实数 a 的取值范围是

.

答案: [0,??) 解析:因集合 A 非空,故关于 x 的二次方程有实数根,a 大于等于 0,所以取值为 [0,??) 12.函数 f ( x) ? ln x 的图像在点 x ? 1 处的切线方程是 答案: y ? x ? 1 解析: (1)求切点,把 x ? 1 带入原函数,解得 y=0,所以切点为(1,0) .

1 , f '(1) ? 1, x 根据点斜式写出方程:y-0=(x-1),即: y ? x ? 1
(2)求斜率。 f '( x) ? 13.有一问题的算法程序是

i ?1

WHILE i ?? 100

S ?0

S ? S ?i i ? i ?1

WEND PRINT S END 则输出的结果是

.

Ks5u

答案:5050 解析:当行循环,当 i ?? 100 时,执行循环,否则退出。里面的算法就是计算 1+2+3+。。 。 +100 的和,答案为 5050.也可以根据数列求。 an?1 ? an ? n, a1 ? 0 (二)选做题(14、15 题) 14(几何证明选讲选做题)已知圆 O 割线 PAB交圆 O 于 A, B ( PA ? PB) 两点,割线 PCD 经过圆心 O ( PC ? PD) ,已知 PA ? 6 , AB ? 7 , PO ? 10 ;则圆 O 的半径是

1 3

.

答案: 2 5 解析:设半径为 R .根据割线定理有 PB×PA=PC×PD

1 (7 ? 6) *6 ? (10 ? R)(10 ? R) 3 解得,R= 2 5

15 (坐标系与参数方程选做题) 曲线 ? 为参数)的交点坐标是

? x?t ? x ? cos? ( t 为参数且 t ? 0 ) 与曲线 ? (? ?y ? t ?1 ? y ? cos 2? ? 1
. Ks5u

答案: (1,2)
解析:2条曲线都是参数方程给出,分别消去参数得: C1:y=x+1 (x>0) C2: y ? 2 x
2

(注意消去参数后自变量的取值范围)

? y ? x ?1 1 , 解得x =1或者x =- (舍去) 。当 x=1 时,y=2 ? 2 2 ? y ? 2x
所以交点坐标是(1,2)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16(12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) ? 1 (1)求 f ( x) 的最小正周期及最大值; (2)用五点法画出 f (x) 在一个周期上的图像. 考点分析:该题主要考查三角函数的基本知识,1.要求能灵活运用公式进行化简 2. 对三角函数的周期,值域,图象进行考查,该题属于简单题。 解: (1) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ?1 1分 3分

? ? cos 2 x ? sin 2 x
= 2 (sin 2 x cos = 2 sin( 2 x ?

?
4
)

? sin

?
4

cos 2 x)

Ks5u

4分 5分 7分 9分 10 分 11 分 12 分

?
4

? f (x) 的最小正周期是 ? ,最小值是 2
(2)列表 画图 特征点 坐标系 17(12 分)某种饮料每箱 6 听,如果其中有两听不合格产品. (1)质检人员从中随机抽出 1 听,检测出不合格的概率多大?; (2)质检人员从中随机抽出 2 听,检测出不合格的概率多大? 考点分析:此题属于容易题,考查概率的计算

解: (1)在 6 听中随机抽出 1 听有 6 种方法 在 2 听中随机抽出 1 听有 2 种方法 所以 P ?

Ks5u

1分 2分 4分

2 1 ? 6 3

答: 5分 (2)设合格饮料为 1,2,3,4,不合格饮料为 5,6 6分 则 6 听中选 2 听共有(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)共 15 种 8分 有 1 听不合格的有(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6)共 8 种 9 分 有 2 听不合格的有(5,6) 10 分 所以所求概率为

8 ?1 3 ? 15 5

12 分

18(14 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VA ? 平面 ABC , ?ABC ? 90 ? ,且 AC ? 2 BC ? 2VA ? 4 . (1)求证:平面 VBA ? 平面 VBC ; (2)求 VV ? ABC . B

V

A

Ks5u C 考点分析:考查立体几何中,面与面垂直的证明,三棱锥体积的计算,也是属于容易题。 18.(1)? VA ? 平面 ABC ?VA ? BC 2分 3分 5分 7分 8分 10 分

? ?ABC ? 90? ? BC ? AC ? BC ? 平面 VBA Ks5u ? 平面 VBA ? 平面 VBC
(2) ? ?ABC ? 90?, AC ? 2BC ? 2VA ? 4 ?VA ? VB ? 2

? AB ? 2 3, BC ? 2,VA ? 2
1 1 ?VV ? ABC ? ? AB ? BC ?VA 3 2 1 ? ? 2 3 ? 2? 2 6

12 分 13 分

?

4 3 3

14 分

19(14 分)在等比数列 {an }(q ? 1) 中,已知 a3 ? (1)求 {an } 的通项公式;

3 9 , S3 ? . 2 2

(2)求和 Sn ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan . 考点分析:该题考查等比数列。1.要求会求简单数列的通项公式。2.第二问考查数列错位 相减法求 Sn 19.(1)解:由条件得: a1q ?
2

3 2 9 2

1分 2分 4分

a1 ? a1q ? a1q 2 ?

?

1? q ?2 q2
1 2
6分 7分

? q ? 1 ?q ? ?

5分

1 时, a1 ? 6, 2 1 n ?1 所以 an ? 6( ? ) 6 分 2
当q ? ? 或解:当 q ? 1 时由条件得:

3 ? 2 ? a1q ? 2 ? ? a (1 ? q 3 ) 9 ? 1 ? ? 1? q 2 ?

2分

1 ? q3 ? 3 ,即 2q3 ? 3q 2 ? 1 ? 0 q 2 (1 ? q)

3分

?(2q ?1)(1 ? q)2 ? 0
?a1 ? 6
当 q ? 1 时, a1 ? 所以

?q ? ?

1 2

4分 5分

3 符合条件 2

6分 7分

1 0 1 1 2 1 n ?1 ] 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ? S n ? 6[( ? ) ? 2 ? (? ) 2 ? 3 ? (? )3 ? ? ? n(? ) n ] 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 ? S n ? 6[1 ? (? ) ? (? ) 2 ? ? ? (? ) n ?1 ? n(? ) n ] 2 2 2 2 2 1 1 ? (? ) n 3 2 ? n( ? 1 ) n ] ? S n ? 6[ 1 2 2 1? 2
(2) S n ? 6[( ? ) ? 2 ? (? ) ? 3 ? (? ) ? ? ? n(? )

8分 10 分 11 分

13 分

? Sn ?

8 4 1 ? (3n ? 2)( ? ) n 3 3 2

14 分

20(14 分)已知点 P 是圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 上的动点,圆心为 B , A(1,0) 是圆内的定点; PA 的中垂线交 BP 于点 Q . (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 交轨迹 C 于 M , N ( MN 与 x 轴、 y 轴都不平行) 两点,G 为 MN 的中点, 求 k MN ? kOG 的值( O 为坐标系原点). 考点分析:考查圆锥曲线。 1,对椭圆定义的考查。2.中点弦问题,可以采用点差法求解。 20.(1)解:由条件知: QA ? QP 1分 2分 3分 4分 5分 6分

? QB ? QP ? 4 ? QB ? QA ? 4

? AB ? 2 ? 4
所以点 Q 的轨迹是以 B, A 为焦点的椭圆 Ks5u

? 2a ? 4,2c ? 2 ?b2 ? 3
所以点 Q 的轨迹 C 的方程是

x2 y2 ? ?1 4 3
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

7分 8分

(2)解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则 G (

?

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3

9分 10 分

1 1 2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 ) ? 0 4 3

?

2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

11 分

? k MN ?

y1 ? y2 y ? y2 , kOG ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2
2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

13 分

? kMN ? kOG ?

14 分

或解:解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,直线 MN 的方程为 y ? kx ? b(k ? 0)

则 G(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

8分 9分

? y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b

? kOG ?

y1 ? y2 2b Ks5u ?k? x1 ? x2 x1 ? x2

10 分

将 y ? kx ? b 代入椭圆方程得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0

11 分 12 分

? x1 ? x2 ? ?

8kb 4k 2 ? 3

? kOG ? k ?

2b 4k 2 ? 3 3 ?k? ?? ? 8kb 4k 4k 4k 2 ? 3
3 3 )?? 4k 4

13 分

所以 k MN ? kOG ? k ? (?

14 分

21(14 分)圆 x ? y ? 1内接等腰梯形 ABCD ,其中 AB 为圆的直径(如图).
2 2

(1)设 C ( x, y )( x ? 0) ,记梯形 ABCD 的周长为

y
D A O C B

f ( x) ,求 f ( x) 的解析式及最大值;
(2)求梯形 ABCD 面积的最大值. Ks5u

x

考点分析:本题涉及几何与函数,用函数的方法求解几何题中最值问题。题目稍难,1.需要 考虑几何图形中未知量的取值范围, 2.第一问及到换元法 (注意换元之后元的取值范围会发 生变化) 。3.第二问中,求最值采用了导数的方法。注意复合函数的求导法则。 解: (1)过点 C 作 CE ? AB 于 E , 则 OE ? x(0 ? x ? 1)

? EB ? 1 ? x

1分 2分 3分 4分 5分 6分

? x 2 ? y 2 ? 1,? CB ?

y 2 ? (1 ? x) 2

? 2 ? 2x

? f ( x) ? 2 ? 2x ? 2 2 ? 2x (0 ? x ? 1)
令 2 ? 2x ? t ,则 2x ? 2 ? t 2 (0 ? t ? 2 )

? f ( x) ? 4 ? t 2 ? 2t ? ?(t ?1)2 ? 5 ? 5

1 时 f (x) 有最大值 5 2 1 (2)设 C ( x, y )(x ? 0) ,则 S ( x ) ? ( AB ? DC ) y 2 1 ? (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2
当 t ? 1 ,即 x ?

7分 8分 9分

1 ? 2x ? S ?( x) ? 1 ? x 2 ? ( x ? 1) ? ? 2 1? x2

Ks5u

10 分

?

? 2x2 ? x ?1 1? x2

=0

11 分

? 2 x 2 ? x ? 1 ? 0, (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0,? x ?
且当 0 ? x ? 所以当 x ?

1 2

12 分 13 分

1 1 时, S ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 1 时, S ?( x) ? 0 2 2

1 3 3 时, S (x) 有最大值 ,即 2 4

14 分

或解:设 ?BAC ? ? (0 ? ? ? 90?) ,过点 C 作 CE ? AB 于 E

? AB 是直径,? ?ACB ? 90? ? AC ? 2 cos ?
? AE ? AC ? c o ? ? 2 c o 2s? , CE ? AC ? s i n ? 2 s i n c o ? s ? ? s
? OE ? 2 s i n c o s ? 1 ? ? 1 3 S (? ) ? (2 ? 4 s i n c o s ? 2)2 s i n c o s ? 4 s i n ? c o s ? ? ? ? ? 2
2 3 ? S ?(? ) ? 4 ? 3s i n? c o ? c o ? ? 4 s i n? (? s i n ) s s ?

8分 9分 10 分 11 分

? 4 sin 2 ? (3 cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 4 sin 2 ? cos2 ? (3 ? tan2 ? ) ? 0

12 分

? tan? ? 3,?? ? 60? Ks5u

13 分

当 0 ? ? ? 60? 时, S ?(? ) ? 0 ,当 60? ? ? ? 90? 时, S ?(? ) ? 0 所以当 ? ? 60? 时 S (? ) 有最大值 或解:设 C ( x, y )(x ? 0) ,则 S ( x ) ?

3 3 4

14 分 8分 9分 10 分

1 ( AB ? DC ) y 2 1 ? (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2
? ( x ? 1) 3 (1 ? x)

?

1 ( x ? 1)(x ? 1)(x ? 1)(3 ? 3x) 3 1 6 4 3 3 ( ) ? 3 2 4
13 分

11 分

?
当且仅当 x ? 1 ? 3 x ? 3 ,即 x ? 所以当 x ?

12 分

1 时等号成立 Ks5u 2
14 分

1 3 3 时, S (x) 有最大值 2 4


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