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(4.3.1空间直角坐标系)


知识探究(一):空间直角坐标系

思考1:数轴上的点M的坐标用一个实 数x表示,它是一维坐标;平面上的 点M的坐标用一对有序实数(x,y) 表示,它是二维坐标.设想:对于空 间中的点的坐标,需要几个实数表 示? (x,y) y
O x x O x

思考2:平面直角坐标系由两条互相 垂直的数轴组成,设想:空间直角 坐标系由几条数轴组成?其相对位 置关系如何? 三条交于一点且两 两互相垂直的数轴

思考3:在空间中,取三条交于一点 且两两互相垂直的数轴:x轴、y轴、 z轴,组成空间直角坐标系Oxyz,在 平面上如何画空间直角坐标系?
z

∠xOy=135° ∠yOz=90°

O

y

x

思考4:在空间直角坐标系中,对三条数 轴的方向作如下约定:伸出右手,拇指 指向为x轴正方向,食指指向为y轴正方 向,中指指向为z轴正方向,并称这样 的坐标系为右手直角坐标系.那么下列 空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标 z 系?
O

y

x

z y O x x

z y O

(1)
z x y O y

(2)
O
z

x

(3)

(4)

思考5:在空间直角坐标系Oxyz中, 其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、 z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面,并分别称为 xOy平面、yOz平面、xOz平面.这三 个坐标平面的位置关系如何?
z

O

y

x

思考6:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,以点D为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,那么x轴、y轴、z轴 应如何选取? z
D1 A1 D A B B1

C1
C

y

x

知识探究(二)空间直角坐标系中点的坐标

思考1:在平面直角坐标系中,点M的 横坐标、纵坐标的含义如何?
y (x,y) |x| |y| O x

(2) 空间直角坐标系上点M的坐标?
z

R

M
O Q y

P x

思考2:上述有序实数组(x,y,z) 称为点M的空间坐标,其中x、y、z 分别叫做点M的横坐标、纵坐标、 竖坐标,这三个坐标的值一定是正 数吗? z
C

M
O A

z y

x

B

y

x

思考3:x轴、y轴、z轴上的点的坐标 有何特点?xOy平面、yOz平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点?
z

x轴上的点:(x,0,0)
O

y

x

xOy平面上的点:(x,y,0)

思考4:设点M的坐标为(a,b,c) 过点M分别作xOy平面、yOz平面、 xOz平面的垂线,那么三个垂足的坐 标分别如何?
z

B(0,b,c)
B M y A

C(a,0,c)
C O

x

A(a,b,0)

思考5:设点M的坐标为(x,y,z) 那么点M关于x轴、y轴、z轴及原点 对称的点的坐标分别是什么?
M(x,y,z)
x z

O

y

N(x,-y,-z)

思考6:设点A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则线段AB的中点 M的坐标如何?

x 1 + x 2 y1 + y 2 z 1 + z 2 M( , , ) 2 2 2

理论迁移

例1 如图,在长方体OABCD′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4, |OD′|=2,写出长方体各顶点的坐标.
z D′ A′ O A B′ C B y C′

x

理论迁移

例2 在空间中,已知点A(1, 0, -1),B (4, 3, -1),求A、B两点中 点坐标及距离. 例3 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2),点P在z轴上,若 |PA|=|PB|,求点P的坐标.

练习
1、在空间直角坐标系中标出下列各点: A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)
z D 4

1

O
D`

3

y

x

作业: P136练习:1,2,3. P138习题4.3A组1,2,3,4.


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