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等差数列的求和公式1



2 若a ≠ , 则当x = 3 n 2 若a = , 则无论 x 3



由5个元素构成: a1 , d , n, a n , s n . 可知三求二.

2 ? a ) n( a 时,分式的值为零。 1 n 3 s ? 2 为何数值,分式的值都不为零 . n(n ? 1) s n ? na1 ? d

2

巩固提高 反思与小结 互动达标 合作探究 创设情景 双基回眸

互动 达 标
1 问题1 .已知数列{a n }的前n项为 s n ? n ? n 求这个 2 数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是, 它的首项与公差分别是什么?
2

s n?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 (n ? 1)
1 1 1 2 a n ? s n ? s n?1 ? n ? n ? [( n ? 1) ? (n ? 1)] ? 2n ? ① 当n >1时: 2 2 2
2

sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an
当n=1时,
2

1 3 当n=1时:a1 ? s1 ? 1 ? ? 1 ? 2 2 所以数列 的通项公式为

也满足①式.

互动 达 标

当n >1时:

1 sn ? n ? n ? 1 2
2
当n=1时,
2
2

1 5 a1 ? s1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 当n=1时: 不满足①式. 2 2 5 ( n ?1) ? 2 所以数列 的通项公式为 a ?
n

1 1 1 2 an ? sn ? sn?1 ? n ? n ? 1 ? [( n ? 1) ? (n ? 1) ? 1] ? 2n ? ① 2 2 2

? 2 n ? 1 ( n ?1) 2 ?





2 2 若a ≠ , 则当x = 时,分式的值为零。 3 3 2 1 为何数值,分式的值都不为零 . 若a = , 则无论 x 3

an ?

?

s ( n ?1) sn ? sn ?1 ( n ?1)

分类讨论思想

练习 :已知数列 {an } 前n项和 Sn ? ?n ? 12n 求证: {an } 为等差数列;
2

解: an ? S n ? S n?1

? (12n ? n ) ? [12(n ?1) ? (n ?1) ]
2 2

? 13 ? 2n (n ? N 且n ? 2)
*

a1 ? S1 ? 12 ?1 ?1 ? 11 ? 13 ? 2 ?1 , * ?an ? 13 ? 2n (n ? N ), ? an?1 ? an ? [13 ? 2(n ? 1)] ? (13 ? 2n) ? ?2

?数列{an }是等差数列,a1 ? 11, d ? ?2

2 s ? pn ? qn ? r ● 如果一个数列 {an } 的前n项和为 n

其中p、q、r为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等 差数列吗? (1)若r≠0,则这个数列一定不是等差数列.

(2)若r=0,则这个数列一定是等差数列.

n(n ? 1) d 2 d sn ? na1 ? d ? n ? (a1 ? )n 2 2 2
结论:数列是等差数列等价于

s n ? An ? Bn
2

互动达标
问题2.已知一个等差数列 {a n } 前10项的和是 310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这 个等差数列的前n项和的公式吗?
解:由题意知

n(n ? 1) d 将它们代入公式 s n ? na1 ? 2
得到

方 程 思 想

解这个关于与d的方程组,得到 所以

a1=4,d=6,

例 2:已知数列?an ? 是等差数列,Sn是其前n项和, 例题: 求证:S6 , S12 ? S6 , S18 ? S12成等差数列

证明:S6 ? a1 ? a2 ? ? ? a6
S12 ? S6 ? a7 ? a8 ? ?? a12
? a1 ? 6d ? a2 ? 6d ? ?? a6 ? 6d
? a1 ? a2 ? ?? a6 ? 36d

同理:S18 ? S12 ? a1 ? a2 ? ? ? a6 ? 72d
? 2(S12 ? S6)( ? S18 ? S12) ? S6 ? S6,S12 ? S6,S18 ? S12成等差数列

同步拓展
1.已知一个等差数列 {an }前10项的和是310,前 20项的和是1220.求前30项的和

a1 ? a2 ? ? ? a10 a11 ? a12 ? ? ? a20 a21 ? a22 ? ? ? a30
成等差数列 成等差数列 所以有 ( 2 s 20

【解析】由等差数列的性质,不难推得:

整 ? s10 ) ? s10 ? (s30 ? s20 ) 体 思 想 解得:前30项的和为2730 。

性质2:等差数列中,S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k , ??也成等差数列.

练习:等差数列?an ? 前k项和为30,前2k项 和为100,则它前3k项的和为多少? 解:Sk =30,S2k ? 100,
2(S2k ? Sk)=(S3k ? S2k)+Sk

2(100 ? 30)=(S3k ?100)+30

解得:S3k ? 210

三.两种求等差数列前n项和最值的方法

a1 ? 0, d ? 0, Sn有最大值n的值由不等式
确定

? an ? 0 ? ?an?1 ? 0

a1 ? 0, d ? 0, Sn有最小值, n的值由不等式
确定

? an ? 0 ? ?an?1 ? 0

另外 根据S n ? an ? bn利用二次函数的性质求最值
2

?注意n的取值范围?

同步拓展
2 4 问题4.已知等差数列 5,4 ,3 , ? 的前n项和 7 7

5 【解析】由题意知,等差数列的公差为 ? 7

sn

,求使得

s n最大的序号n的值.

n(n ? 1) 5 5 15 2 1125 s n ? 5n ? (? ) ? ? (n ? ) ? 2 7 14 2 56
15 于是,当n取与 2 最接近的整数即7或8时, 取最大值. n

s

函数思想





2 2 上述几个问题体现了解决数列问题常用 若a ≠ , 则当x = 时,分式的值为零。 的三种思想方法: 3 3 2 若a = , 则无论 x 为何数值,分式的值都不为零 . 函 方3 整

程 思 想

体 思 想

数 思 想


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