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新疆乌鲁木齐地区2014届高三第二次诊断性测验数学理试题(WORD版)


新疆乌鲁木齐地区 2014 届高三第二次诊断性测验 理科数学试卷
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(60 分) 1、巳知集合 A={x|x2<1},B=[0,1] ,则 A ∩B =. A、(0,1) B.〔0,1] C. [0,1) D、 [0,1] 2.已知复数 z1=a+bi 与 z2=c+di(a,b,c,d ? R,z2≠0) ,则 A、ad+bc=0 B. ac+bd.=0 C. ac-bd=0

z1 ? R 的充要条件是 z2

D、ad-bc=0

3.已知数列{ a n }是各项均为正数的等比数列,若 a 2 ? 2, 2a3 ? a4 ? 16, 则a5 = A、4 B、8 C、16 D、32 4、某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位: cm)可得这个几何休的体积是

1 3 3 4 3 C、 cm 3
A、 cm

B、

2 3 cm 3 8 3 D、 cm 3

5、已知函数 y=f(2x)+x 是偶函数,且 f(2)=1, 则 f(-2)= A、2 B、3 C、4 D、5 6、阅读如右图所示的程序框图,若输人 n 的值为 6,运行相应程序, 则输出的 n 的值为 A、3 B、5 C、10 D.16 7 若平面向量 a,b,c 两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=1 |c|=3,则|a+b+c|等于 A、2 B、5 C 、2 或 5 D、 2 或 5

8、已知⊙A1: (x+2)2+y2=12 和点 A2(2,0) ,则过点 A2 且与⊙A1 相切的动圆圆心 P 的轨迹方程为

x2 ? y2 ? 1 A、 3
C、 x ? y ? 2
2 2

x2 ? y2 ? 1 B、 3
D、

x2 y 2 ? ?1 12 8

9、将函数 f(x)=sin(2x+θ ) (一

? ? <θ < =的图象向右平移 ? ( ? >0)介单位长 2 2
3 ) ,则 ? 的值可以 2

度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x) ,g(x)的图象都过点 P(0, 是 A、

5? 3

B、

5? 6

C、

? 2

D、

? 6

10,设 a ? log0.1 0.2, b ? log0.2 0.4, c ? log0.3 0.6 ,则 A .a>b>c B、a>c>b C、b>c>a D、c>b>a 11.从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数能被 3 整除的概率为 A、

8 27

B、

19 27

C、

19 54

D、

35 54

12 若直线 ax+by+c=0 与抛物线 y2=2x 交于 P,Q 两点,F 为抛物线的焦点,直线 PF, QF 分别交抛物线于点 M.N,则直线 MN 的方程为 A、4cx-2by+a=0 B、ax-2by+4c=0 C、4cx+2by+a=0 D、ax+2by+4c=0 第 II 卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题一第 21 题为必考题. 每个试题考生都 必须作答.第 22 题一第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分. 13.设等差数列{ a n }的前 n 项和为 Sn,若 S4=11,S12=9,则 S20=____ 14 如图,矩形 OABC 内的阴影部分由曲线 f(x)=sinx 及直线 x=a(a ? (0, 2? ) 与 x 轴围 成.向矩形 OABC 内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为

1 ,则 a=___. 2

15、直三棱柱 ABC 一 A1 B1C1 的各顶点都在同一个球面上.若 AB=AC=AA1=2,∠BAC =120°,则此球的表面积等于____ 16.已知直线 x+y+1=0 与曲线 C:y=x3 一 3px2 相交于点 A,B,且曲线 C 在 A,B 处的 切线平行,则实数 p 的值为________.

三、解答题:第 17~21 题每题 12 分,解答应在答卷《答题卡}的相应各颐中写出文字说 明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 如图,已知 OPQ 是半径为 3 ,圆心角为

? 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是 3

扇形的内接矩形,记∠COP=x,矩形 ABCD 的面积为 f(x) 。 (I)求函数 f(x)的解析式,并写出其定义域; (II)求函数 y=f(x)+f(x+

? )的最大值及相应的 x 值 4

18、 (本题满分 12 分) 如图在四棱锥 P 一 ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥ BC, ∠BAD=90°。 BC=2AD, AC 与 BD 交于点 O, 点 M, N 分别在线 PC、 AB 上, =2 (I)求证:平面 MNO//平面 PAD; (II)若平面 PA⊥平面 ABCD,∠PDA=60°,且 PD=DC=BC=2,求二面角 B-AM -C 的余弦值。

CM BN ? MP NA

19、 (本题满分 12 分) 袋中装有 7 个红球和 8 个黑球,一次取 4 个球。 (I)求取出的 4 个球同色的概率; (II)设取出黑球的个数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期望。

20、 (本题满分 12 分)

2 x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F,离心率为 ,短轴长为 2 5 ,过点 F 引 3 a b
两直线 l1 和 l2,l1 交椭圆于点 A 和 C,l2 交椭圆于 B 和 D。 (I)求此椭圆的方程; (II)若|FA|·|FC|=|FB|·|FD|,试求四边形 ABCD 面积的最大值。

21、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

x ?1 。 ln x

(I)求证:当 x>1 时,f(x)>1; (II)令 an?1 ? f (an ) , a1 ? e ,求证: 2k ?1 ln ak ?1 ? 1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知,在△ABC 中,D 是 AB 上一点,△ACD 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2BE。 (I)求证:BC=2BD; (II)若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长。

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标 系,已知直线 l 的参数方程为 ?

? ?x ? 2 ? t (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程是 ? =1。 ? ?y ? t

(I)求直线 l 与圆 C 的公共点个数;

(2)在平面直角坐标系中,圆 C 经过伸缩变换 ?
2 2

?x ' ? x 得到曲线 C ' ,设 M(x,y)为 ?y ' ? 2y

曲线 C ' 上一点,求 4x +xy+y 的最大值,并求相应点 M 的坐标。

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|。 (I)解不等式 f(x-1)+f(1-x)≤2; (II)若 a<0。求证:f(ax)-af(x)≥f(x) 。

新疆乌鲁木齐地区 2014 年高三第二次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 C 2 D 3 C 4 C 5 B 6 B 7 C 8 A 9 B 10 A 11 C 12 A

2 1.选 C.【解析】由 x ? 1 得 ?1 ? x ? 1 ,故 A ? ? ?1,1? ,∴ A

B ? ?0,1? .

2.选 D.【解析】∵

z1 a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i , ? ? ? z2 c ? di ? c ? di ?? c ? di ? c2 ? d 2



z1 ? R 的充要条件是 ad ? bc ? 0 . z2

1 ? ? a1q ? 2, ? a1 ? 1 ?a1 ? ? 3.选 C.【解析】由题意得, ? 解得 ? ,? 2 ,又 an ? 0 , 2 3 ? q ? 2 ?q ? ?4 ? 2a1q ? a1q ? 16. ?
∴?

? a1 ? 1 ,∴ a5 ? a1q4 ? 16 . ?q ? 2

4.选 C.【解析】 ,该几何体的直观图为右图所示 ∴V ?

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

5.选 B.【解析】∵ y ? f ? 2x ? ? x 是偶函数,∴ f ? ?2x ? ? ? ?x ? ? f ? 2x ? ? x , ∴ f ? ?2x ? ? f ? 2x ? ? 2x ,令 x ? 1 , f ? ?2? ? f ? 2? ? 2 ? 3 . 6.选 B.【解析】循环体执行第一次时: i ? 1, n ? 3 ;循环体执行第二次时: i ? 2, n ? 10 循环体执行第三次时: i ? 3, n ? 5 ;∴输出 n ? 5 . 7.选 C.【解析】当向量 a, b, c 两两成 0? 角时, a ? b ? c ? a ? b ? c ? 5 ;当向量 a, b, c
2 2 2 两两成 120? 角时,∵ a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c = 4 ; 2

∴ a ?b?c ? 2 8.选 A. 【解析】 根据题意有 PA1 ? PA2 ? 2 3 ? A1 A2 ? 4 , ∴点 P 的轨迹是以 A 1 ? ?2,0? ,

x2 A2 ? 2,0? 为焦点,实轴长为 2a ? 2 3 的双曲线, b ? c ? a ? 1 ,方程为 ? y 2 ? 1. 3
2 2 2

9.选 B.【解析】∵ f ? x ? 过 P ? 0,

? ? ?

? ? ? 3? 3 ,∴ sin ? ? ,又 ? ? ? ? ,∴ ? ? , ? ? 2 2 3 2 ? 2
? 3?

∵ g ? x ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ?

? ?

??

过 P ? 0, , ∴ ?2? ? 2? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ,∴ sin 3 3? 3? 2 ? ? ? ?

?

??

3

?

? 2 k? ?

?
3

,或 ?2? ?

?
3

? 2 k? ?

2? ? ,即 ? ? ?k? ,或 ? ? ?k? ? ,又 ? ? 0 ,选 B. 3 6

10.选 A.【解析】∵ log n 2n ? 1 ?

1 ,当 0 ? n1 ? n2 ? 1 时,有 log2 n1 ? log2 n2 ? 0 log 2 n

∴0 ?

1 1 0.1 ? 0.2 ? 0.3 , , 即, 当 0 ? n ? 1 时, ? logn 2n 的值越小, n 越大, log 2 n1 log 2 n2

∴a ? b ? c. 11.选 C.【解析】∵从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数有
3 2 A10 ? A9 ? 648 个;其中,能被 3 整除的,可以分为“含 0 ”与“不含 0 ”两类;

“含 0 ” : 由这样的数字构成:0,1, 2;0,1,5;0,1,8;0, 2, 4;0, 2,7;0, 4,5;0, 4,8;0,5,7;0,7,8 ,
1 2 它们组成的无重复数字的三位数有 9C2 A2 个;或由 0,3, 6;0,3,9;0, 6,9 构成,它们组成 1 2 1 2 的无重复数字的三位数有 3C2 A2 个,共有 12C2 A2 个

“不含 0 ” :由这样的数字构成:⑴含 3, 6, 9 中的一个,另外两个数字分别为 1, 2;1,5;1,8;
3 3 2, 4; 2, 7; 4,5; 4,8;5, 7;7,8 ,它们组成的无重复数字的三位数有 3? 9 A3 个; ? 27 A3 3 ,4 ,7 ;2 ,5 ,8 ⑵由 3, 6, 9 三个数字构成无重复数字的三位数有 A3 个; ⑶无 3, 6, 9 , 由1 3 无重复数字的三位数有 2 A3 个,

组成

故,从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被 3 整除

228 19 ? . 648 54 12.选 A.【解析】设 P( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ) , N ( x3 , y3 ) ,由 PM 过焦点 F ,易得 y1 y2 ? ?1 ,
的共有 12C2 A2 ? 30 A3 ? 228 个,∴能被 3 整除的概率为 P ?
1 2 3

? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ,? ? , 同 理 Q? ,? ? , 将 P 点 代 入 直 线 方 程 , 则 有 P? y2 ? y3 ? 4 ? 4 x2 ? 4 x3 ? 1 ? 4bx2 1 ax ? by ? c ? 0 ,有 a ? ? 4 x2c ? 0 , ? b ? ? ? ? c ? 0 ,两边乘以 4 x2 ,得 a ? y 4 x2 y 2 ? 2?
x1 x2 ?

又 y2 ? 2x2 , ? y2 ?
2

2 x2 ,所以 a ? 2by2 ? 4cx2 ? 0 ,同理 a ? 2by3 ? 4cx3 ? 0 y2 故,所求直线为 a ? 2by ? 4cx ? 0 .

二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 ?20 .【解析】依题意有 ?

? S9 ? 9a1 ? 36d ? 11 ,两式相减得, 2a1 ? 19d ? ?2 , ? S11 ? 11a1 ? 55d ? 9

∴ S20 ? 20a1 ? 190d ? ?20 . 14.填 ? .【解析】根据题意,阴影部分的面积为
a 1 ? 4? ? ? a ? ? ? ? sin xdx , 2 ? a? 0

即, ? ? cos a ? cos0? ? 2 , cos a ? ?1 ,又 a ?? 0,2? ? ,故 a ? ? . 15.填 20? .【解析】设半径为 R 的球内接直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的上下底面外接圆的圆 心分别为 O1 , O2 ,则球心 O 在线段 O1O2 的中点处,连接 OO1 , OA, O1 A , 则 R2 ? OA2 ? OO12 ? O1 A2 ? 1 ? O1 A2 ,在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2, ?BAC ? 120? , ∴ BC ? 2 3 ,

BC 2 3 ? 2O1 A ,∴ O1 A ? ? 2 ,∴ R ? 5 , sin ?BAC 2sin ?BAC
2

∴此球的表面积等于 4? R ? 20? . 16.填 1 .【解析】曲线 C : y ? x ? 3 px ,则 y? ? 3x ? 6 px ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
3 2 2

2 2 依题意知 m ? 3x1 ∴ x1 , x2 是方程 3x2 ? 6 px ? m ? 0 ? 6 px1 ?⑴, m ? 3x2 ? 6 px2 ?⑵,

的两个根∴ x1 ? x2 ? 2 p ?⑶,下证线段 AB 的中点在曲线 C 上,
2 2 3 2 x1 ? x2 ? ? 3x1 x2 ? ? 3 p ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? x13 ? 3 px12 ? x2 ? 3 px2 ? ? ? ? ? ∵ 2 2

8 p 3 ? 12 p 3 ?x ?x ? ? x ? x ? ? 2p ? ? 2p ? 3 ? ? ?2 p 3 ,而 ? 1 2 ? ? 3 p ? 1 2 ? ? ? ? 3p? ? ? ? ?2 p 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
∴线段 AB 的中点在曲线 C 上,由⑶知线段 AB 的中点为 ? p, ? p ? 1?

3

2

3

2

? p ?1 ? p3 ? 3 p ? p2 ? ?2 p3 ,解得 p ? 1 .
三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)在 Rt ?COB 中, CB ? 3 sin x , OB ? 3 cos x

OA ? DA tan 30? ? CB tan 30? ? sin x , AB ? OB ? OA ? 3 cos x ? sin x

f ? x ? ? AB ? BC ?

?

3 cos x ? sin x ? 3 sin x ? 3sin x ? cos x ? 3 sin 2 x
?6 分

?

3 3 ?? 3 ? ?? ,x ? ? 0, ? ? sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? ? 3 sin ? ? 2x ? ? ? 2 2 6? 2 ? 3? ?
(Ⅱ)由 0 ? x ?

?
3

,0 ? x ?

?
4

?

?
3

,得 0 ? x ?

?
12

而 y ? f ? x? ? f ? x ?

? ?

??

?? 3 ? ? ?? ?? 3 ? ? 3 sin ?2 ? x ? ? ? ? ? ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? 4? 6? 2 4 ? 6? 2 ? ? ?

5? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 3 ?sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ?? ? 3 ? 6 sin ? 2 x ? ?? 3 12 ? 6? 6 ?? ? ? ? ?
∵0 ? x ? ∴ 2x ?

?
12

,∴ 0 ? 2 x ?

?
6



5? ? ? ? ,即 x ? 时, ymax ? 6 ? 3 12 2 24

5? 5? 7? ? 2x ? ? , 12 12 12
?12 分

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AD ∥ BC ,∴ OC : OA ? BC : AD ? 2 , 又 BN ? 2 NA ,∴ NO ∥ BC ∥ AD 在 ?PAC 中,∵ OC : OA ? BC : AD ? 2 , CM ? 2MP ,∴ OM ∥ AP ∴平面 MNO ∥平面 PAD ; (Ⅱ)在 ?PAD 中, PA ? PD ? AD ? 2PD ? AD cos ?PDA ? 3
2 2 2
2 2 2 ∴ PA ? AD ? PD ,即 PA ? AD ,又平面 PAD ⊥平面 ABCD

?6 分

∴ PA ⊥平面 ABCD ,而 ?BAD ? 90? 故,如图,以点 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 在梯形 ABCD 中, CD ? BC ? 2 AD ? 2 ,

?BAD ? 90? ,∴ AB ? 3 ,
则有 A ? 0, 0, 0 ? , B 0, 3, 0 , C 2, 3, 0 , D ?1, 0, 0 ? , P 0, 0, 3 , 由 PM ?

?

? ?

?

?

?

?2 3 2 3? 1 1 PC ,得 AM ? PC ? AP ? ? ?3, 3 , 3 ? ?, 3 3 ? ?

AB ? 0, 3, 0 , AC ? 2, 3, 0 ,

?

?

?

?

设平面 ABM 的法向量为 n1 ? ? a, b, c ? , 由?

? ?n1 ? AB ? 0 ? ?n1 ? AM ? 0

, 得?

? ? 3b ? 0 ? ?2a ? 3b ? 2 3c ? 0



令 c ? ? 3 ,解得 b ? 0, a ? 3 ,∴ n1 ? 3, 0, ? 3 同理,可得平面 ACM 的法向量为 n2

? ? ? ? 3, ?2 3, 0 ?
?
2


设二面角 B ? AM ? C 的平面角为 ? ,易知 0 ? ? ? ∴ cos ? ?

n1 ? n2 3 7 ? . n1 n2 14

?12 分

19. (本小题满分 12 分)
4 (Ⅰ)若取出的 4 个球都是红色,共有 C7 ? 35 种情形,若取出的 4 个球都是黑色,共有

4 C7 ? C84 1 ? ; C ? 70 种情形,故取出的 4 个球同色的概率为 4 C15 13
4 8

?6 分

(Ⅱ)依题意知 ? ? 0,1, 2,3, 4

P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 3? ?

4 1 3 2 C80C7 C8 C7 C82C7 1 8 28 ; ; ? P ? ? 1 ? ? P ? ? 2 ? ? ; ? ? ? ? 4 4 4 C15 39 C15 39 C15 65

3 1 0 C8 C7 56 C84C7 2 ; ? P ? ? 4 ? ? ? ? 4 4 C15 195 C15 39

∴ ? 的分布列为

?
P

0
1 39

1

2

3

4

8 28 56 195 39 65 1 8 28 56 2 32 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? ∴ E? ? 0 ? 39 39 65 195 39 15
20. (本小题满分 12 分)

2 39
?12 分

?c 2 ? ? 2 2 2 (Ⅰ)根据题意有 ? a 3 ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 3, b ? 5, c ? 2 ?2b ? 2 5 ?
∴椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ?1 9 5

?5 分

(Ⅰ)不妨设 F 为椭圆 M 的右焦点 ? 2, 0 ?

当直线 l1 的斜率 k1 存在时, l1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2? ? k1x ? m ? m ? ?2k1 ? ?⑴, 设 A ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,把⑴代入椭圆的方程,得关于 x 的一元二次方程:

? 5 ? 9k ? x
2 1

2

? 18mk1 x ? 9m 2 ? 45 ? 0 ?⑵

?18mk1 9m2 ? 45 ∵ x1 , x2 是方程⑵的两个实数解,∴ x1 ? x2 ? ?⑶ , x1 x2 ? 5 ? 9k12 5 ? 9k12
又 y1 ? k1 ? x1 ? 2? , y2 ? k1 ? x2 ? 2? ∴ FA ?

? x1 ? 2? ? ? y1 ? 0?
2

2

? 1 ? k12 x1 ? 2 ,同理 FC ? 1 ? k12 x2 ? 2 ,

2 ∴ FA ? FC ? 1 ? k1 x1 x1 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ?⑷

?

?

把⑶代入⑷得, FA ? FC ? 1 ? k

?

2 1

?

?18mk1 9m2 ? 45 ?2 ? 4 ?⑸ 2 5 ? 9k1 5 ? 9k12
25 ?⑹ 9 ? 4cos 2 ?1 ? ? 5? 3?

记 ?1 为直线 l1 的倾斜角,则 k1 ? tan ?1 ,由⑸知 FA ? FC ?

当 l1 的斜率不存在时, ?1 ? 90? ,此时 A, C 的坐标可为 ? 2, ? 和 ? 2, ? ?

? ?

5? 3?

或 ? 2, ? ? 和 ? 2, ? ,∴ FA ? FC ?

? ?

5? 3?

? ?

5? 3?

25 ?⑺ 9

由⑹⑺知,当直线 l1 的倾斜角为 ?1 时 FA ? FC ?

25 ?⑻ 9 ? 4cos 2 ?1

同理,记直线 l2 的倾斜角为 ?2 时 FB ? FD ?

25 ?⑼ 9 ? 4cos 2 ? 2

由 FA ? FC ? FB ? FD 得, cos2 ?1 ? cos2 ?2 ,

0 ? ?1,?2 ? ? ,∴ ?1 ? ?2 或 ?1 ? ? ? ?2 ,依题意 ?1 ? ?2 ,∴ ?1 ? ? ? ?2
当 ?1 ? 90? 时, AC ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

? 1 ? k12

? x1 ? x2 ?

2

? 4x1x2

? 1? k
?

2 1

2 2 ? ?18mk1 ? 9m2 ? 45 30 ?1 ? k1 ? 30 ?1 ? tan ?1 ? ?4 ? ? ? 2 ? 5 ? 9k12 5 ? 9k12 5 ? 9 tan 2 ?1 ? 5 ? 9k1 ? 2

30 ?⑽ 9 ? 4 cos 2 ?1

当 ?1 ? 90? 时, AC ? 2 ?

5 10 ? ?⑾ 3 3

由⑽、⑾知当直线 l1 的倾斜角为 ?1 时, AC ?

30 ?⑿ 9 ? 4cos 2 ?1

同理, BD ?

30 30 ?⒀ ? 2 9 ? 4cos ?? ? ?1 ? 9 ? 4cos 2 ?1
450sin 2?1 1 AC ? BD sin 2?1 ? 2 2 ? 9 ? 4 cos2 ? ?
1

由⑿、⒀知,四边形 ABCD 的面积为 S ?

令 g ?? ? ?

? 9 ? 4 cos ? ?
2

sin 2?

2

,∵ cos ? ?
2

1 ? cos 2? sin 2? ,∴ g ?? ? ? 2 2 ? 7 ? 2cos 2? ?

? ?? 2 ? 2 cos 2? ? 1?? cos 2? ? 4 ? sin 2? ? ? 则 g ? ?? ? ? ? 3 ? ? 7 ? 2 cos 2? ?2 ? ? 7 ? 2 cos 2? ? ? ?
∵ 0 ? ? ? ? , ∴ 0 ? 2? ? 2? ,当 0 ? 2? ?

?

3 5? 时, g? ?? ? ? 0 , g ?? ? 递减, g ?? ? 递增,当 ? 2? ? 3 3

,或

?

5? ? 2? ? 2? 时, g? ?? ? ? 0 , 3

∴当 2? ?

? ? ?? 3 ?? ? ? ? ? 时, g ?? ? 取最大值,即 g ?? ?max ? g ? ? ? ? 3 ? 6? ? 6 ? 72
时, 四边形 ABCD 的面积 Smax ?

∴当 ? ?

?
6

25 3 4

?12 分

21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)令 g ? x ? ? ln x ? x ? 1,则 g ? ? x ? ?

1 1? x ?1 ? x x

当 0 ? x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ? x ? 在 0 ? x ? 1 时为增函数, ∴ 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ? x ? 在 x ? 1 时为减函数, ∴ x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 , 则,当 x ? 1 时, 0 ? ln x ? x ? 1 ,∴ (Ⅱ)下面用数学归纳法证明 2 ln an ? 1
n

x ?1 ? 1 , f ? x? ? 1; ln x

?5 分

ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? e ,知 2ln a1 ? 2ln e ? 1,∴ n ? 1 时,命题成立

ⅱ)假设 n ? k 时,命题成立.即 2k ln ak ? 1
1

要证明 n ? k ? 1 时,命题成立.即证明 2k ?1 ln ak ?1 ? 1 ,只需证明 ak ?1 ? e 2

k ?1

a ?1 a ? 1 2k ?1 依题意知 ak ?1 ? k ,即证明: k ?e ln ak ln ak
1 1 1 ln x ? ? 1 ? ln ? ? 1 ? ? x ?1 ? x x x f ?? x? ? ? ? ? ? 2 2 ? ln x ? ? ln x ? ? ln x ?
当 x ? 1 时,有 0 ?

1

1 1 1 1 1 ? 1 ,由(Ⅰ)可知 ln ? ? 1 ? 0 ,即 ? ln ? ? 1 ? 0 x x x x x

∴当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? f ? x ? , x ? 1 时为增函数
1

由归纳假设 2 ln ak ? 1,即 ak ? e
k

2k

? 1,

? 21k ∴ f ? ak ? ? f ? e ? ?

? e 2k ? 1 e 2k ? 1 ? ?⑴ ? 1 ?? 1 ? ln e 2k 2k
1 2k ?1

1

1

依题意知 ak ?1 ? f ? ak ? , 故又只需证明 f ? ak ? ? e
x 2

? 21k , 即只需证明 f ? e ? ?

1 ? 2k ?1 ? ??e , ?

x x x ? 2 x 2 x? 2 构造函数 h ? x ? ? e ? 1 ? xe , h? ? x ? ? e ? e ? e ? e ? e ? 1 ? ? 2 2? ?
x

x

x 2

x e ? 1 ,由(Ⅰ)知 ln e ? e ? 1 ? 0 ,即 e ? ? 1 ? 0 ,∴ h? ? x ? ? 0 2
∴函数 y ? h ? x ? , x ? 0 为增函数,∴ h ?

x 2

x 2

x 2

x 2

? 1 k ?2

? k 1 1 ? 2k ,即 e ? 1 ? e2 2 ? 0 ? h 0 ? 0 ? ? ? k 2 ?

1

1

? 1k 则 f ? e2 ? ?

1 1 ? e 2k ? 1 2k ?1 2k ?1 ,即 k ?1 ? ? e ?⑵,由⑴⑵及题意知 2 ln ak ?1 ? 1 a ? e ? k ?1 ? 1 ? 2k
*

1

综合ⅰ)ⅱ)知,对 ?n ? N ,都有 2 ln an ? 1成立.
n

22.选修 4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)连接 DE ,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形, 所以 ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA ,

BE BD ? , AB BC 又 AB ? 2 BE ,所以 BC ? 2 BD ?5 分 BE ED ? (Ⅱ)由(Ⅰ) ?DBE ∽ ?CBA ,知 , AB AC 又 AB ? 2 BE ,∴ AC ? 2 DE , ∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 ,而 CD 是 ?ACB 的平分线 ∴ DA ? 1 ,设 BD ? x ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC
所以 ?DBE ∽ ?CBA ,即有 即 x ? x ? 1? ?

1 1 ,解得 x ? 1 ,即 BD ? 1 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ? ? 2 ?2 ?

?10 分

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 圆心到直线的距离为 d ? 圆 C 的方程是 x ? y ? 1
2 2

0?0? 2 12 ? 12

? 1 ,等于圆半径,
?5 分

∴直线 l 与圆 C 的公共点个数为 1 ; (Ⅱ) 圆 C 的参数方程方程是 ? ∴ 4x
2

? x ? cos ? ? x ? cos ? ? 0 ? ? ? 2? ? ∴曲线 C ? 的参数方程是 ? ? y ? sin ? ? y ? 2sin ?

+xy ? y 2 ? 4cos 2 ? ? cos ? ? 2sin ? ? 4sin 2 ? ? 4 ? sin 2?
?
4
或? ?

当? ?

5? 2 2 时, 4 x +xy ? y 取得最大值 5 4

此时 M 的坐标为 ?

? 2 ? ? ? 2 或?? , 2 , ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

?10 分

24.选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)∵ f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? x ? 2 ? x . 因此只须解不等式 x ? 2 ? x ? 2 . 当 x ? 0 时,原不式等价于 2 ? x ? x ? 2 ,即 x ? 0 . 当 0 ? x ? 2 时,原不式等价于 2 ? 2 ,即 0 ? x ? 2 . 当 x ? 2 时,原不式等价于 x ? 2+x ? 2 ,即 x =2 . 综上,原不等式的解集为 ?x | 0 ? x ? 2? . (Ⅱ)∵ f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? a x ?1 又 a ? 0 时, ax ?1 ? a x ?1 ? ax ?1 ? ?ax ? a ? ax ?1? ax ? a ? a ? 1 ? f (a ) ∴ a ? 0 时, f (ax) ? af ( x) ? f (a ) . 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. ?10 分 ?5 分


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