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含参数的一元二次不等式的解法(讲)


复习回顾

如何求解一元二次不等式?

如:求不等式-3x2 +19 x-6 ? 0的解集
3x 2 -19 x+6 ? 0 分析:

(3x-1)(x-6) ? 0

1 相对应方程(3x-1)(x-6)=0的根x1 = ,x2 =6 3

1 不等式的解集( , )

6 3

解一元二次不等式的步骤
ax2 +bx+c>0或ax2 +bx+c<0(a>0) (1)化成标准形式

(2) 因式分解,不能因式分解的判断判别式△与0 的关系,求出相应一元二次方程的实根X1,X2; (3)写出不等式的解集.

课前自测:
解下列不等式:

?1? x

2

? x?6 ? 0
2

(-2,3)

(2) ? x ? 2 x ? 5 ? 0 (??,1 ? 6) ? (1 ? 6 ,+?) 2 (3) x ? 3 x ? 5 ? 0 ?
思考:
解一元二次不等式时要考虑哪些要素?



解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2

考点 例1

等 式

含参数的一元二次不等式
1 1 ? x ? }, 2 3

含参数的不等式的就是指 在不等式中含有待定系数
{x ?






解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2

解析:原不等式等价于 x ? 1)( x ? a) ? 0 (

相对应一元二次方程的两根 x1 ? 1, x2

? a>0??a ? 0

? ?a

-a

1

不等式的解集为(-?, ) ? (1,+?) -a



解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2
2

变式:解不等式x +(a-1)x-a ? 0(a ? R)

( 解析:原不等式等价于 x ? 1)( x ? a) ? 0
相对应一元二次方程的两根 x1 ? 1, x2 ? ?a

-a

1 (-a)

-a

(1)-a<1(2) -a=1 (3)-a>1

例3

解不等式ax +(a-1)x-1>0(a ? R)
2

二次项含有参数应如何求解?

考点

含参数的一元二次不等式
y x1 O
x2 x

y x1 O
x2 x

解不等式ax +(a-1)x-1>0(a ? R)
2

成果验收

课堂练习:

若不等式( x 2 ? 4 x ? 6 ? 0的解集是{-3<x <1}, 1-a) 求实数a的值.

相信我能行!

议一议:

(1)总结:含参数的一元二次不等式包含哪两种 类型? (2)如何求解含参数的一元二次不等式?

温馨提醒

考点 例1

含参数的一元二次不等式
1 1 ? x ? 则a+b }, (1)一是二次项系数为常数,参 2 3 ) 数在一次项或常数项 {x ?

若不等式ax2+bx+2>0的解集为 的值为(

类型:

A.-14
C.-16

B.-15

(2)二次项含有参数 D.-17

议一议:

(1)总结:含参数的一元二次不等式包含哪两种 类型? (2)如何求解含参数的一元二次不等式?

温馨提醒

解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)二次项系数为参数时,应讨论是等于 0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。 (2)因式分解,求出相对应方程的根, 不能确定根的大小时,应讨论方程两 根的大小关系,从而确定解集。

(1)解关于x的不等式:ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0

课堂总结:
(1)会求解含有参数的一元二次不等 式,一般讨论的顺序是:①讨论二次项系数 ②判断二次不等式相对应方程的两根的大 小 (2)能够熟练应用分类讨论及数形结合的数 学思想。


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