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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第2讲 两直线的位置关系


第 2 讲 两直线的位置关系

1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件

两直线位 置关系 平行

斜率的关系

k1=k2 k1 与 k2 都不存在 k1k2=-1

两条不重合的 直线 l1, l2, 斜 率分别为 k1,

k2<

br />2.两条直线的交点

垂直

k1 与 k2 一个为零、另一个不
存在

3.三种距离 点点距 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的 距离 点 P0(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C =0 的距离 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax +By+C2=0 间的距离 |P1P2|= (x2-x1) +(y2-y1)
2 2

点线距

d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2
|C1-C2|

线线距 [做一做]

d=

A2+B2

1.两条直线 l1:2x+y-1=0 和 l2:x-2y+4=0 的交点为( 2 9 A.( , ) 5 5 2 9 C.( ,- ) 5 5 2 9 B.(- , ) 5 5 2 9 D.(- ,- ) 5 5

)

答案:B 2.(2015·天津模拟)若直线 y=2x 与 kx+y+1=0 垂直,则实数 k=________. 1 答案: 2

1.辨明三个易误点 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有 斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率,要单独考虑. (2)求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应化为一般式. |C1-C2| (3)在运用两平行直线间的距离公式 d= 2 时,一定要注意将两方程中 x,y 的系 A + B2 数化为相同的形式. 2.与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0(m∈R); (2)平行:Ax+By+n=0(n∈R,且 n≠C). [做一做] 3.点(1,1)到直线 x+2y=5 的距离为( A. 5 5 3 5 5 B. 8 5 5 2 5 5 )
2 2

C.

D.

答案:D 4.若直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 答案:A B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 )

考点一__两条直线平行与垂直__________________

(1)“a =2”是“直线 (a - a)x + y = 0 和直线 2x+ y + 1 = 0 互相平行”的 ( ) A.充要条件 B.必要不充分条件

2

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件
2

(2)(2015·河北保定调研)与直线 x+4y-4=0 垂直,且与抛物线 y=2x 相切的直线方 程为________. [解析] (1)当 a=2 时,两直线平行;但两直线平行时,a=2 或者 a=-1.故“a=2” 是“直线(a -a)x+y=0 和直线 2x+y+1=0 互相平行”的充分不必要条件. (2)所求直线与直线 x+4y-4=0 垂直,故所求直线斜率为 4.由题意知:y′=4x=4, ∴x=1, 从而 y=2,即切点为(1,2), 故所求直线方程为 y-2=4(x-1),即 4x-y-2=0. [答案] (1)C (2)4x-y-2=0 [规律方法] 两直线平行、垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ②两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1. [提醒] 当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况. (2)已知两直线的一般方程 两直线方程 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 中系数 A1,B1,C1,A2,B2,C2 与 垂直、平行的关系:
2

A1A2+B1B2=0?l1⊥l2; A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0?l1∥l2.
1.已知直线 l1:ax+2y+6=0 和 l2:x+(a-1)y+a -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)当 l1⊥l2 时,求 a 的值. 解:(1)法一:当 a=1 时, 直线 l1 的方程为 x+2y+6=0, 直线 l2 的方程为 x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,直线 l1 的方程为 y=-3,直线 l2 的方程为 x-y-1=0,l1 不平行于 l2;
2

a 1 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线的方程可化为 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1),由 2 1-a a 1 ? ?- = , l1∥l2?? 2 1-a ? ?-3≠-(a+1),
解得 a=-1. 综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 法二:由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0;

由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a -1)-1×6≠0, 因此 l1∥l2??
2

2

? ?a(a-1)-1×2=0, ?a(a -1)-1×6≠0, ?
2

?a -a-2=0 ? ?? ?a=-1, 2 ?a(a -1)≠6 ?

故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)法一:当 a=1 时,直线 l1 的方程为 x+2y+6=0,直线 l2 的方程为 x=0,

l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立.
当 a=0 时,直线 l1 的方程为 y=-3,直线 l2 的方程为 x-y-1=0,l1 不垂直于 l2. 当 a≠1 且 a≠0 时,直线 l1 的方程为 y=- x-3, 2 1 直线 l2 的方程为 y= x-(a+1), 1-a

a

a 1 2 由(- )· =-1?a= . 2 1-a 3
2 法二:由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0?a= . 3 考点二__两条直线的交点______________________

求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x -4y+5=0 垂直的直线 l 的方程. [解] 法一:由方程组? 即 P(0,2). 4 ∵l⊥l3,∴kl=- , 3 4 ∴直线 l 的方程为 y-2=- x, 3 即 4x+3y-6=0. 法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ (x+y-2)=0, 即(1+λ )x+(λ -2)y+4-2λ =0. ∵l 与 l3 垂直, ∴3(1+λ )+(-4)(λ -2)=0, ∴λ =11, ∴直线 l 的方程为 12x+9y-18=0,
?x-2y+4=0 ? ?x+y-2=0 ?

,得?

?x=0 ? ?y=2 ?



即 4x+3y-6=0. [规律方法] (1)两直线交点的求法: 求两直线的交点坐标, 就是解由两直线方程组成的方程组, 以方程组的解为坐标的点即 为交点. (2)常见的三大直线系方程: ①与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C). ②与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R). ③过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R),但不包括 l2. 1 2.已知直线 l1:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+ky+k+ =0, 2 分别求满足下列条件的 k 的值: (1)l1,l2,l3 相交于一点; (2)l1,l2,l3 围成三角形.
? ?x-y-1=0 解:(1)直线 l1,l2 的方程联立得? , ?2x+3y+8=0 ?

解得?

?x=-1 ? ?y=-2 ?

,即直线 l1,l2 的交点为 P(-1,-2).

1 1 又点 P 在直线 l3 上,所以-1-2k+k+ =0,解得 k=- . 2 2 1 (2)由(1)知 k≠- . 2
?2k-3≠0 ? 3 当直线 l3 与 l1,l2 均相交时,有? ,解得 k≠ 且 k≠-1, 2 ?k+1≠0 ?

1 3 综上可得 k≠- ,且 k≠ ,且 k≠-1. 2 2 考点三__距离公式(高频考点)__________________

距离公式包括两点间的距离、 点到直线的距离和两平行线间的距离. 在高考中经常出现, 试题难度不大,多为容易题或中档题. 高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度: (1)求距离; (2)已知距离求参数值; (3)已知距离求点的坐标. (1)已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是

________. (2) 若两平行直线 3x - 2y- 1 = 0 , 6x +ay + c =0 之间的距离为 ________. [解析] (1)由题意得,点 P 到直线的距离为 |4×4-3×a-1| |15-3a| = . 5 5 又 |15-3a| ≤3, 5 2 13 ,则 c 的值是 13

即|15-3a|≤15, 解之得,0≤a≤10, 所以 a 的取值范围是[0,10]. 6 a c (2)依题意知, = ≠ , 3 -2 -1 解得 a=-4,c≠-2, 即直线 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0, 2 2 13 又两平行线之间的距离为 , 13 | +1| 2 3 +(-2)
2 2

c

c

所以



2 13 ,因此 c=2 或-6. 13

[答案] (1)[0,10] (2)2 或-6 [规律方法] 距离的求法: (1)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离 ①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离; ②利用两平行线间的距离公式. 3.(1) 平行于直线 3x + 4y - 2 = 0 ,且与它的距离是 1 的直线方程为 ________. (2)已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点 P,使 |PA|=|PB|,且点 P 到直线 l 的距离为 2. 解析:(1)设所求直线方程为 3x+4y+c=0(c≠-2),

|-2-c| 则 d= =1, 2 2 3 +4 ∴c=3 或 c=-7, 即所求直线方程为 3x+4y+3=0 或 3x+4y-7=0. 答案:3x+4y+3=0 或 3x+4y-7=0 (2)解:设点 P 的坐标为(a,b). ∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段 AB 的中点 M 的坐标为(3,-2). -3+1 而 AB 的斜率 kAB= =-1, 4-2 ∴线段 AB 的垂直平分线方程为

y+2=x-3,
即 x-y-5=0. ∵点 P(a,b)在直线 x-y-5=0 上, ∴a-b-5=0.① 又点 P(a,b)到直线 l:4x+3y-2=0 的距离为 2, ∴ |4a+3b-2| =2, 5

即 4a+3b-2=±10,② 27 a= , ? ? 7 ?a=1 ? 由①②联立可得? 或? ? 8 ?b=-4 b=- . ? ? 7 27 8 ∴所求点 P 的坐标为(1,-4)或( ,- ). 7 7 考点四__对称问题____________________________

已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程. [解] (1)设 A′(x,y),由已知

y+2 2 ? ?x+1×3=-1, ? x-1 y-2 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0,

33 x=- , ? ? 13 解得? 4 y= . ? ? 13

? 33 4 ? ∴A′?- , ?. ? 13 13?
(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设 M′(a,b),则

a+2 b+0 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0, ?b-0 2 ? ?a-2×3=-1.

? 6 30? 解得 M′? , ?. ?13 13?
设直线 m 与直线 l 的交点为 N,
?2x-3y+1=0, ? 则由? ?3x-2y-6=0. ?

得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. 在本例条件下,求直线 l 关于点 A(-1,-2)对称直线 l′的方程. 解:直线 l 与 l′平行,设 l′的方程为 2x-3y+c=0,因为点到两直线距离相等. 则 |-2+2×3+1| |-2+2×3+c| = , 2 2 2 2 2 +(-3) 2 +(-3)

解得 c=1(舍去),c=-9, ∴直线 l′的方程为 2x-3y-9=0. [规律方法] (1)关于中心对称问题的处理方法: ①若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得?
?x=2a-x1, ? ?y=2b-y1. ?

②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它 们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两 直线平行,由点斜式得到所求直线方程. (2)关于轴对称问题的处理方法: ①点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称,则线段 P1P2 的中点在 l

上,而且连接 P1P2 的直线垂直于 l,由方程组

x +x y +y A( )+B( )+C=0, ? ? 2 2 可得到点 P 关于 l 对称的点 P 的坐标(x ,y )(其 ?y -y A ? ?x -x ·(-B)=-1,
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1

中 B≠0,x1≠x2). ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决, 有两种情况: 一是已知直线与对称轴相 交;二是已知直线与对称轴平行. 4.直线 x+2y-3=0 与直线 ax+4y+b=0 关于点 A(1,0)对称,则 b =________. 解析:法一:由题知,点 A 不在直线 x+2y-3=0 上, ∴两直线平行, 1 a ∴- =- ,∴a=2. 2 4 又点 A 到两直线距离相等, ∴ |1-3| |2+b| = , 5 2 5

∴|b+2|=4,∴b=-6 或 b=2. ∵点 A 不在直线 x+2y-3=0 上, ∴两直线不能重合,∴b=2. 法二:在直线 x+2y-3=0 上任取两点 P1(1,1)、P2(3,0), 则 P1、P2 关于点 A 的对称点 P1′、P2′都在直线 ax+4y+b=0 上. ∵易知 P1′(1,-1)、P2′(-1,0),
?a-4+b=0, ? ∴? ? ?-a+b=0,

∴b=2. 答案:2

交汇创新——直线和不等式的交汇

(2014·高考四川卷)设 m∈R, 过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的 动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. [解析] ∵直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 分别过定点 A,B,

∴A(0,0),B(1,3). 当点 P 与点 A(或 B)重合时,|PA|·|PB|为零; 当点 P 与点 A,B 均不重合时,∵P 为直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 的交点,且易 知此两直线垂直, ∴△APB 为直角三角形,∴|AP| +|BP| =|AB| =10, |PA| +|PB| 10 ∴|PA|·|PB|≤ = =5,当且仅当|PA|=|PB|时,上式等号成立. 2 2 [答案] 5 [名师点评] 1.本题是直线与不等式的交汇, 把直线问题和基本不等式进行结合, 体现 了当今数学命题的新动向,其解题思路是利用图形找出关系式|AP| +|BP| =|AB| ,再利用 基本不等式求解. 2.直线方程还可以与集合、向量、概率等知识交汇. 1.(2015·湖北八市联考)已知 M=?(x,y)|
? ?
2 2 2 2 2 2 2 2

y-3 ? =3?, N={(x, y)|ax x-2 ?

+2y+a=0},且 M∩N=?,则 a=( A.-6 或-2 C.2 或-6

) B.-6 D.-2

解析: 选 A.集合 M 表示去掉一点 A(2, 3)的直线 3x-y-3=0, 集合 N 表示恒过定点 B(- 1,0)的直线 ax+2y+a=0,因为 M∩N=?,所以两直线要么平行,要么直线 ax+2y+a=0 -a 与直线 3x-y-3=0 相交于点 A(2,3).因此 =3 或 2a+6+a=0,即 a=-6 或 a=-2. 2 2.将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,设两条 直线 l1:ax+by=2,l2:x+2y=2 平行的概率为 P1,相交的概率为 P2,则复数 P1+P2i 所 对应的点 P 与直线 l2:x+2y=2 的位置关系是( A.P 在直线 l2 上 B.P 在直线 l2 的左下方 C.P 在直线 l2 的右上方 D.无法确定 )

a 1 a 1 解析: 选 B.易知当且仅当 ≠ 时两条直线相交, 而 = 的情况有三种: ①a=1, b=2(此 b 2 b 2
时两条直线重合),②a=2,b=4(此时两条直线平行),③a=3,b=6(此时两条直线平行), 3 11 而投掷两次的所有情况有 36 种, 所以两条直线相交的概率 P2=1- = , 两条直线平行的 36 12 2 1 1 11 1 11 概率 P1= = ,则 P1+P2i 所对应的点 P 为( , ),易判断点( , )在直线 l2:x+2y 36 18 18 12 18 12 =2 的左下方.

1. 若直线 l1: ax+2y+6=0 与直线 l2: x+(a-1)y+a -1=0 垂直, 则实数 a=( A. 2 3 B.-1 D.-1 或 2

2

)

C.2

2 解析:选 A.由 a×1+(a-1)×2=0,∴a= . 3 2.直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标为 ( ) A.(3,0) C.(0,-3) B.(-3,0) D.(0,3)

解析:选 D.∵l1∥l2,且 l1 的斜率为 2,∴l2 的斜率为 2. 又 l2 过点(-1,1),∴l2 的方程为 y-1=2(x+1), 整理即得:y=2x+3,令 x=0,得 y=3,∴P 点坐标为(0,3). 3.(2015·广州模拟)直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0 B.2x+y-1=0 D.x+2y-3=0 )

解析:选 D.由题意得直线 x-2y+1=0 与直线 x=1 的交点坐标为(1,1). 又直线 x-2y+1=0 上的点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点为(3,0),所以由直线方

y-0 x-3 程的两点式,得 = ,即 x+2y-3=0. 1-0 1-3
4.已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1=0 为 l2,直线 x+ny +1=0 为 l3.若 l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n 的值为( A.-10 C.0 解析:选 A.∵l1∥l2, 4-m ∴kAB= =-2. m+2 解得 m=-8. 又∵l2⊥l3, 1 ∴- ×(-2)=-1,解得 n=-2, B.-2 D.8 )

n

∴m+n=-10. 5.若向量 a=(k+2,1)与向量 b=(-b,1)共线,则直线 y=kx+b 必经过定点( A.(1,-2) C.(-1,2) B.(1,2) D.(-1,-2) )

解析:选 A.因为向量 a=(k+2,1)与向量 b=(-b,1)共线,则 k+2=-b,即 b=- 2-k,于是直线方程化为 y=kx-k-2,即 y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2). 6.(2015·昆明三中、玉溪一中统考)已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y 10 =0 和 x+ay=0 上,且线段 AB 的中点为 P(0, ),则线段 AB 的长为________.

a

?x-2y=0 ? 解析:依题意,a=2,P(0,5),设 A(x,2x)、B(-2y,y),故? ,则 A(4, ?2x+y=10 ?

8)、B(-4,2), ∴|AB|= (4+4) +(8-2) =10. 答案:10 7.已知直线 l1 与 l2:x+y-1=0 平行,且 l1 与 l2 的距离是 2,则直线 l1 的方程为 ________. 解析:因为 l1 与 l2:x+y-1=0 平行,所以可设 l1 的方程为 x+y+b=0(b≠-1). 又因为 l1 与 l2 的距离是 2,所以 解得 b=1 或 b=-3, 即 l1 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. 答案:x+y+1=0 或 x+y-3=0 8.设直线 l 经过点 A(-1,1),则当点 B(2,-1)与直线 l 的距离最远时,直线 l 的方 程为________. 解析:设点 B(2,-1)到直线 l 的距离为 d, 当 d=|AB|时取得最大值, 此时直线 l 垂直于直线 AB,kl=- 1 |b+1| 1 +1
2 2 2 2

= 2,

kAB 2

3 = ,

3 ∴直线 l 的方程为 y-1= (x+1), 2 即 3x-2y+5=0. 答案:3x-2y+5=0 9.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1);

(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解:(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 又∵直线 l1 过点(-3,-1), ∴-3a+b+4=0. 故 a=2,b=2. (2)∵直线 l2 的斜率存在,l1∥l2, ∴直线 l1 的斜率存在. ∴k1=k2,即 =1-a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b.

a b

b

2 故 a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 10.已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于直线 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 解:设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). ∵kPP′·kl=-1,即

y′-y ×3=-1.① x′-x

又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, ∴3×

x′+x y′+y
2 - 2

+3=0.②

-4x+3y-9 x′= ? ? 5 由①②得? . 3x+4y+3 ? ?y′= 5

③ ④

(1)把 x=4,y=5 代入③④,得 x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7). (2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x, y, 得关于直线 l 对称的直线方程为 3x+4y+3 - -2=0, 5 化简得 7x+y+22=0. -4x+3y-9 5

1.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( )

A.3 2 C.3 3

B.2 2 D.4 2

解析:选 A.依题意知,AB 的中点 M 的集合为与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 距离相等的直线, 则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离. 设点 M 所在直线的方 |m+7| |m+5| 程为 l: x+y+m=0, 根据平行线间的距离公式得 = ?|m+7|=|m+5|?m=- 2 2 6, 即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式, |-6| 得中点 M 到原点的距离的最小值为 =3 2. 2 2.(2015·洛阳统考)已知点 P(x0,y0)是直线 l:Ax+By+C=0 外一点,则方程 Ax+By +C+(Ax0+By0+C)=0 表示( A.过点 P 且与 l 垂直的直线 B.过点 P 且与 l 平行的直线 C.不过点 P 且与 l 垂直的直线 D.不过点 P 且与 l 平行的直线 解析:选 D.因为点 P(x0,y0)不在直线 Ax+By+C=0 上,所以 Ax0+By0+C≠0,所以直 线 Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0 不经过点 P,排除 A、B;又直线 Ax+By+C+(Ax0+By0+ )

C)=0 与直线 l:Ax+By+C=0 平行,排除 C,故选 D.
3.已知点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B(-2,1),则直线 y=kx+b 在 x 轴上的截距是________. 3-1 ? ?1+2·k=-1 1 解析:由题意得线段 AB 的中点(- ,2)在直线 y=kx+b 上,故? , 2 1 ? ?2=k·(-2)+b 3 5 3 5 3 5 5 解得 k=- ,b= ,所以直线方程为 y=- x+ .令 y=0,即- x+ =0,解得 x= ,故 2 4 2 4 2 4 6 5 直线 y=kx+b 在 x 轴上的截距为 . 6 5 答案: 6 4.已知平面上三条直线 x+2y-1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划 分为六部分,则实数 k 的所有取值为________.

解析:若三条直线有两条平行,另外一条与这两条直线相交,则符合要求,此时 k=0 或 2;若三条直线交于一点,也符合要求,此时 k=1,故实数 k 的所有取值为 0,1,2.

答案:0,1,2 5.已知直线 l1:x+a y+1=0 和直线 l2:(a +1)x-by+3=0(a,b∈R). (1)若 l1∥l2,求 b 的取值范围; (2)若 l1⊥l2,求|ab|的最小值. 解:(1)因为 l1∥l2,所以-b-(a +1)a =0, 1 2 1 2 2 4 2 2 即 b=-a (a +1)=-a -a =-(a + ) + , 2 4 因为 a ≥0,所以 b≤0. 又因为 a +1≠3,所以 b≠-6. 故 b 的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0]. (2)因为 l1⊥l2,所以(a +1)-a b=0, 1 1 显然 a≠0,所以 ab=a+ ,|ab|=|a+ |≥2,
2 2 2 2 2 2 2 2

a

a

当且仅当 a=±1 时等号成立,因此|ab|的最小值为 2. 6.(选做题)A,B 两个工厂距一条河分别为 400 m 和 100 m,A,B 两工厂之间距离 500 m, 把小河看作一条直线,今在小河边上建一座供水站,供 A,B 两工厂用水,要使供水站到 A,

B 两工厂铺设的水管长度之和最短,问供水站应建在什么地方?
解:如图,以小河所在直线为 x 轴,过点 A 的垂线为 y 轴,建立直 角坐标系, 则点 A(0,400),点 B(a,100). 过点 B 作 BC⊥AO 于点 C. 在△ABC 中,AB=500,AC=400-100=300, 由勾股定理得 BC=400, ∴B(400,100). 点 A(0,400)关于 x 轴的对称点 A′(0,-400), 5 由两点式得直线 A′B 的方程为 y= x-400. 4 令 y=0,得 x=320,即点 P(320,0). 故供水站(点 P)在距 O 点 320 m 处时,到 A,B 两厂铺设的水管长度之和最短.


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